Fyrkantig binomial

Vad är en fyrkantig binomial?

I elementär algebra En binomial är summan eller subtraktionen av två monomialer, vars form är (A ± B), där till är den första terminen och b den andra. ± symbolen, som läser "mer", anger kompakt till summan och subtraktionen av dessa termer.

Sedan skrivs torget binomial i formen (A ± B)², för att representera multiplikationen av binomialen med sig själv. Denna operation utförs enkelt med hjälp av den distribuerande multiplikationsegenskapen med avseende på tillägget.

Geometrisk tolkning av fyrkantiga binomial som tillägg av två monomialer: området på det stora fyrkanten består av området på det gröna torget, plus det på den orange torget, plus de av de två gula rektanglarna, vilket resulterar i en² + 2a⋅b + b². Källa: Wikimedia Commons.

På detta sätt erhålls ett resultat som är bekvämt att memorera, eftersom utvecklingen av ett fyrkantigt binomial visas i många algebra -applikationer, beräkningen och vetenskaperna i allmänhet.

Förklaring

Utvecklingen av fyrkantiga binomial utförs med hjälp av den nämnda distribuerande egendomen. På detta sätt får du:

(A ± B)² = (a ± b) × (a ± b) = a² ± A⋅B ± b⋅A + B² = a² ± 2a⋅b + b²

Resultatet, som alltid har tre termer och kallas Anmärkningsvärd produkt, Det läser på detta sätt:

Kvadrat av den första terminen, plus/mindre den dubbla produkten från den första terminen för den andra, plus kvadratet för den andra terminen.

Definitionen är tillämplig på alla binomial, oavsett form av dess villkor.

Kvadrat av summan och skillnaden

Kvadratet för en summa är:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + AB + BA + B² = a² + 2AB + B²

Medan skillnaden är:

(A - B)² = (a - b) × (a - b) = a² - AB - BA + B² = a² - 2AB + B²

Det kan tjäna dig: nominell variabel: koncept och exempel

Observera att skillnaden mellan båda utvecklingen ligger i det tecken som läggs till den korsade termen.

Exempel

Exempel 1

När man utvecklar torget för binomialen (x + 5)², Det erhålls med hjälp av resultatet som erhållits i föregående avsnitt:

(x + 5)² = x² + 2x ∙ 5 + 5² = x² + 10x + 25

Exempel 2

För att hitta utvecklingen av fyrkantiga binomial (2x - 3)², Fortsätt på ett analogt sätt:

(2x - 3)² = (2x)² - 2 ∙ 2x ∙ 3 + 3² = 4x² - 12x + 9

Exempel 3

Inte alltid termen som innehåller texter går först på plats. Till exempel, fyrkantig binomialen (12 - 7x), den erhålls:

(12 - 7x)² = 12² - 2 ∙ 12 ∙ 7x + (7x)² = 144 - 168x + 49x²

Övningar

Utveckla följande fyrkantiga binomialer:

a) (3xy - 1)²
b) (2z + 5y)²
c) [(x+y) - 6]²

Lösning till

(3xy - 1)² = (3xy)² - 2 ∙ 3xy ∙ 1 + 1² = 9x²och² - 6xy + 1

Lösning B

(2Z + 5y)² = (2Z)² + 2 ∙ 2Z ∙ 5y + (5y)² = 4Z² + 20zy + 25y²

Lösning C

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 2 ∙ (x +y) ∙ 6 +6² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36

Trinomials första termin kan utvecklas i sin tur:

(x+y)² = x² + 2x ∙ y + och²

Och ersätt det föregående resultatet:

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36 = x² + 2x ∙ y + och² - 12 ∙ (x + y) + 36

Perfekt fyrkantig trinomial

Resultatet av att utveckla en fyrkantig binomial innehåller tre termer, enligt: ​​(A ± B)² = a² ± 2AB + B². Det är därför det kallas trinomiell (Tre monomialer) och det är också perfekt, eftersom det erhålls av Square A Binomial.

Att identifiera en perfekt fyrkantig trinomial och hitta motsvarande binomial som ger upphov till det är målet med faktoriseringen.

Till exempel trinomial x² + 14x + 49 är en perfekt fyrkantig trinomial, eftersom:

Kan tjäna dig: transcendenta nummer: vad är, formler, exempel, övningar

x² + 14x + 49 = (x + 7)²

Läsaren kan enkelt kontrollera och utveckla torget för binomialen (x + 7)² Enligt de tidigare formlerna:

(x + 7)² = x² + 2x ∙ 7 + 7² = x² + 14x + 49