Exponentiella funktionsegenskaper, exempel, övningar

De exponentiell funktion Det är en matematisk funktion av stor betydelse för de många applikationer som den har. Det definieras på följande sätt:

f (x) = b^x, Med B> 0 och B ≠ 1

Där B är en verklig konstant alltid positiv och annorlunda än 1, vilket är känt som bas. Observera att den verkliga variabeln x finns i exponent, På detta sätt är f (x) alltid ett verkligt antal.

Figur 1. Exponentiella funktioner med baser 2 och 1/2

Exempel på exponentiella funktioner är följande:

-f (x) = 2^x

-g (x) = 5⋅E^-3x

-H (x) = 4⋅ (10^2x)

Det här är funktioner som växer - eller minskar, enligt exponentens tecken - mycket snabbt, så det talas om den "exponentiella tillväxten" när någon storlek ökar mycket snabbt. Det är därför de är lämpliga för att modellera tillväxten av levande varelser, till exempel bakterier.

En annan mycket intressant applikation är av sammansatt ränta. Ju mer pengar du har på ett konto, desto fler intressen, och de kan beräkna varje viss tidsintervall, så små du vill.

Med hjälp av den logaritmiska funktionen, som är den omvända funktionen av den exponentiella, kan det vara känt efter hur länge ett visst kapital ökar till ett visst värde.

[TOC]

Exponentiella funktionsegenskaper

figur 2. Exempel på exponentiella funktioner. Källa: f. Zapata.

Följande är de allmänna egenskaperna för någon exponentiell funktion:

-Grafen för alla exponentiella funktioner korsar alltid den vertikala axeln vid punkten (0,1), vilket kan ses i figur 2. Detta beror på att b⁰ = 1 för alla B -värde.

-Den exponentiella funktionen korsar inte på x -axeln, i själva verket är denna axel en horisontell asymptot för funktionen.

-Sedan B¹ = b, punkt (1, b) tillhör alltid funktionsgrafiken.

Det kan tjäna dig: hepagonalt prisma

-Domänen för den exponentiella funktionen är uppsättningen av verkliga siffror och f (x) = b^x Det är kontinuerligt inom alla dess domän.

-Utbudet av exponentiell funktion är alla verkliga siffror större än 0, vilket också märks med grafiken.

-Exponentiell funktion är en efter en, det vill säga varje x -värde som tillhör funktionens domän har en unik bild i ankomstuppsättningen.

-Den inversa av det exponentiella är den logaritmiska funktionen.

Särskilda egenskaper för exponentiell funktion

Som vi har sagt tidigare kan den exponentiella funktionen öka eller minska.

Om grafen i figur 2 studeras noggrant, noteras det att om b> 1 växer funktionen till exempel y = 3^x, Men i fallet med y = (1/3)^x, med B < 1, la función decrece.

Vi har två typer av exponentiella funktioner med följande särskilda egenskaper:

För B> 1

-Funktionen växer alltid.

-När värdet på B ökar växer funktionen snabbare, till exempel y = 10^x växer snabbare än y = 2^x.

-När variabeln är större än 0 förvärvar funktionen värden större än 1, det vill säga:

För x> 0: y> 1

-Och om x<0, entonces f(x) < 1.

För B < 1

-Funktionen minskar alltid.

-Genom att minska värdet på B minskar funktionen snabbare fortfarande. Till exempel y = (1/5)^x minskar snabbare än y = (1/3)^x.

-För värden på x lägre än 0 tar funktionen värden större än 1, det vill säga:

För x 1

-Slutligen, när x> 0, då och < 1.

Exempel på exponentiella funktioner

Exponentiell funktion är mycket användbar för att modellera fenomen inom vetenskap och ekonomi, som vi kommer att se nedan:

Naturlig exponentiell funktion

Bild 3: Naturlig exponentiell funktionsgraf

Det är funktionen vars bas är numret E eller Euler -numret, ett irrationellt nummer vars värde är:

Kan tjäna dig: kompletterande vinklar: vad är, beräkning, exempel, övningar

E = 2.718181828 ..

Denna bas, även om den inte är ett rund nummer, fungerar mycket bra för många applikationer. Därför anses det vara den viktigaste grunden för alla exponentiella funktioner. Den naturliga exponentiella funktionen uttrycks på matematiskt sätt som:

f (x) = e^x

Den exponentiella funktionen visas ofta i sannolikhet och statistik, eftersom olika sannolikhetsfördelningar, såsom normal distribution, Poisson och andra, kan uttryckas genom exponentiella funktioner.

Kontinuerlig sammansatt ränta

Bild 4: Jämförelse av enkelt och sammansatt ränta

Det kallas också Kontinuerlig kapital. Att veta hur mycket pengar TILL Du har efter t År, exponentiellt uttryck används:

A (t) = p ⋅ e^Rt

Där p är det belopp som ursprungligen deponerats, är r räntan per år och slutligen t är antalet år.

Bakterietillväxt

Bild 5: Bakterietillväxtkurva där latens, exponentiella, stationära och dödsfaser observeras

Bakterier växer exponentiellt, så tillväxt kan modelleras av:

N (t) = n_antingen ⋅ E ^Kt

Där n (t) är den befintliga befolkningen efter tiden t (nästan alltid i timmar), n_antingen Det är den initiala befolkningen och K är en konstant som beror på bakterietypen och förhållandena under vilka de tillgängliga näringsämnena.

Radioaktivt avfall

Vissa kärnor i naturen är instabila, så de avvisar att förvandlas till mer stabila, en process som kan vara mycket kort eller ta tusentals år, beroende på isotopen. Under de radioaktiva förfallet släpps partiklar och ibland fotoner.

Vissa radioaktiva isotoper har medicinska tillämpningar, till exempel radioaktivt jod I-131, som läkare använder vid diagnos och behandling av vissa sköldkörtelförhållanden.

Radioaktivt förfall modelleras av en exponentiell funktion.

Kan tjäna dig: hur många tiondelar finns det i en enhet?

Löst övningar

Ekvationerna där det okända framträder som exponent kallas exponentiella ekvationer. För att rensa värdet på det okända används olika algebraiska manipulationer och användningen av logaritmfunktionen, vilket är den omvända funktionen för den exponentiella.

Låt oss titta på några lösta övningar som illustrerar poängen.

- Övning 1

Lös följande exponentiella ekvationer:

till 5^x = 625

b) 5^x = 2^X-1

Lösning till

Numret 625 är en multipel av 5, i själva verket när vi sönderdelar det finner vi att:

625 = 5⁴

Därför kan vi skriva:

5^x = 5⁴

Eftersom baserna är lika med både vänster och höger kan vi matcha exponenterna och få:

x = 4

Lösning B

För denna övning kan vi inte ta till den som tidigare använts, eftersom baserna inte är desamma. Men vi kan tillämpa logaritm på båda sidor av jämlikhet på detta sätt:

5^x = 2^X-1

Log (5^x) = log (2^X-1)

Nu tillämpas följande egenskap hos logaritmerna:

Loggⁿ = n⋅log m

Och återstår:

X⋅Log 5 = (x-1) ⋅Log 2

x⋅ (log 5 - log 2) = -log 2

x = - log 2 ÷ (log 5 - log 2)

- Övning 2

Ange vilken funktion var och en av graferna som visas nedan motsvarar:

Figur 6. Grafikparast De exponentiella funktionerna för den upplösta övningen 2. Källa: Stewart. J. Förkalkning.

Lösning till

Eftersom det är en växande graf är B större än 1 och vi vet att punkten (2.9) tillhör därför grafen:

y = b^x → 9 = B²

Vi vet att 3² = 9, därför b = 3 och funktionen är y = 3^x

Lösning B

Återigen ersätter vi den givna punkten (-1, 1/5) vid y = b^x att få:

1/5 = B^-1 = 1/b

Sedan är B = 5 och den eftertraktade funktionen:

y = 5^x

Referenser

1. Figuera, J. 2000. Matematik 1: a. Diversifierad. Co-bo-utgåvor.
2. Gid Hoffmann, J. Urval av matematikfrågor för 4: e. År. Ed. Spphinx.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice hall.
4. Larson, r. 2010. Beräkning av en variabel. 9na. Utgåva. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik för beräkning. Femte. Utgåva. Cengage Learning.