Omvänd matrisberäkning och träning löst

De Omvänd matris av en given matris är det matrisen som multipliceras med de ursprungliga resultaten i identitetsmatrisen. Den omvända matrisen är användbar för att lösa system med linjära ekvationer, därmed vikten av att veta hur man beräknar den.

Matriserna är mycket användbara inom fysik, teknik och matematik, eftersom de är ett kompakt verktyg för att lösa komplexa problem. Matrisernas användbarhet förbättras när de är inverterbara och även deras omvända är känt.

Figur 1. En generisk 2 × 2 -matris och dess omvända matris visas. (Förberedd av Ricardo Pérez)

I de grafiska bearbetningsfälten används big data, data mining, maskininlärning och andra effektiva och snabba algoritmer för att utvärdera NXN -matriserna omvänd matris med N mycket stor, i ordning av tusentals eller miljoner.

För att illustrera användningen av den omvända matrisen i hanteringen av systemet med linjära ekvationer kommer vi att börja med det enklaste fallet av alla: 1 × 1 matriser.

Det enklaste fallet: En linjär ekvation av en enda variabel beaktas: 2 x = 10.

Tanken är att hitta värdet på X, men det kommer att vara "Matrixly". 

Matrisen M = (2) som multiplicerar vektorn (x) är en 1 × 1 -matris som resulterar i vektorn (10):

M (x) = (10)

Den inversa av M -matrisen betecknas av M^-1.

Det allmänna sättet att skriva detta "linjära system" är:

M x = b, där x är vektorn (x) och b är vektorn (10).

Per definition är den omvända matrisen en som multipliceras med den ursprungliga matrisen resulterar i identitetsmatrisen I:

M^-1 M = i

I det fall som övervägs, matris m^-1 Det är matrisen (½), det vill säga m^-1 = (½) sedan m^-1 M = (½) (2) = (1) = i

Kan tjäna dig: 90 delare: vad är och förklaring

För att hitta den okända vektorn x = (x), i den upphöjda ekvationen, multipliceras båda medlemmarna med den omvända matrisen:

M^-1 M (x) = m^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Jämställdhet mellan två vektorer har uppnåtts, som är desamma endast när deras motsvarande element är lika, det vill säga x = 5.

Beräkning av den inversa av en matris

Det som motiverar beräkningen av den omvända matrisen är att hitta en universell metod för lösning av linjära system såsom följande 2 × 2 -system:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Efter stegen i fall 1 × 1, studerad i föregående avsnitt, skriver vi systemet med ekvationer på ett matris sätt:

figur 2. Linjärt system i matrisform.

Observera att detta system är skrivet i kompakt vektorotation enligt följande:

M x = b

var

Nästa steg är att hitta m.

Metod 1: Genom Gaussisk eliminering

Gauss elimineringsmetoden kommer att tillämpas. Som består av att göra elementära operationer på matrisens rang, dessa operationer är:

- Multiplicera en rad med ett icke -nollnummer.

- Lägg till eller subtrahera en annan rad, eller multipel i en annan rad.

- Utbytesrader.

Målet är genom dessa operationer att konvertera den ursprungliga matrisen till identitetsmatrisen. 

Eftersom detta görs appliceras i Matrix M exakt samma operationer till identitetsmatrisen. När den efter flera operationer i R -raderna förvandlas till den enhetliga matrisen, kommer den som ursprungligen var enheten att förvandlas till den omvända matrisen för M, det vill säga M^-1.

Kan tjäna dig: Corollary (Geometry)

1- Vi börjar processen genom att skriva matrisen M och bredvid enhetsmatrisen:

2- Vi lägger till de två raderna och resultatet läggs i den andra raden, på detta sätt får vi noll i det första elementet i den andra raden:

3- Vi multiplicerar den andra raden med -1 för att få 0 och 1 i den andra raden:

4- Den första raden multipliceras med ½:

5- Den andra och den första lägger till och resultatet placeras i första raden:

6- För att avsluta processen multipliceras den första raden med 2 för att få i den första identitetsmatrisen och i den andra den omvända matrisen för den ursprungliga matrisen M:

Det vill säga:

Systemlösning

När den omvända matrisen har erhållits löses ekvationssystemet genom att applicera den omvända matrisen i båda medlemmarna i den kompakta vektorekvationen:

M^-1M x = m^-1B

X = m^-1B

Det förblir uttryckligen så här:

Sedan görs matrismultiplikationen för att erhålla vektor x:

Metod 2: Genom bifogad matris

I denna andra metod beräknas den omvända matrisen baserat på den bifogade matrisen för den ursprungliga matrisen TILL.

Anta att en matris som ges av:

vart man ska_{I j} Det är elementet i raden Yo och kolumnen J av matrisen TILL.

Fästningen av matrisen TILL Det kommer att kallas Adj (a) Och dess element är:

Annons_{I j} = (-1)^(i+j) ¦ai, j¦

var Ai, j Det är den kompletterande mindre matrisen som erhålls genom att eliminera rad I och kolumn J från den ursprungliga matrisen TILL. Barer ¦ ¦ ange att determinanten beräknas, det vill säga ¦ai, j¦ Det är bestämningen av den kompletterande mindre matrisen.

Kan tjäna dig: homologa sidor

Omvänd matrisformel

Formeln för att hitta den omvända matrisen baserad på den bifogade matrisen för den ursprungliga matrisen är som följer:

Det vill säga den omvända matrisen av TILL, TILL^-1, är överföringen av fästningen av TILL dividerad av avgörande faktor TILL.

Den översatta TILL^Tav en matris TILL Det är den som erhålls genom att utbyta rangordningar för kolumner, det vill säga den första raden blir den första kolumnen och den andra raden till den andra kolumnen och så vidare tills N -raderna i den ursprungliga matrisen.

Träning löst

Vara matrisen till nästa:

Var och en av elementen i den bifogade matrisen för a: adj (a) beräknas

Vilket resulterar att den bifogade matrisen för a, adj (a) är följande:

Sedan beräknas determinanten för matris A, det (a):

Slutligen erhålls den omvända matrisen för A:

Referenser

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Godkänd publicering.
2. Awol Assen (2013) En studie om beräkningen av determinanterna för 3 × 3
3. Casteleiro villalba m. (2004) Introduktion till linjär algebra. ESIC -redaktion.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematik: De 50 mest mind-expanderande teorierna i matematik. Ivy Press Limited.
7. Matris. Lap Lambert Academic Publishing.