Perfekta siffror hur man identifierar dem och exempel

En Perfekt antal är ett naturligt nummer så att Summan av dess delare är densamma som antalet. Uppenbarligen kan det inte inkluderas bland delarna till själva numret.

Ett av de enklaste exemplen på perfekt nummer är 6, eftersom dess delare är: 1, 2 och 3. Om vi ​​lägger till delarna erhålls det: 1 + 2 + 3 = 6.

Figur 1. Numret 6 är perfekt, eftersom summan av dess delare, inte inklusive själva numret, ger nummer 6. Källa: Självgjord

Summan av delarna av ett heltal, som inte inkluderar själva numret, kallas alikvot. Därför är ett perfekt nummer lika med sin alikvot.

Men om summan av delare av ett nummer själv ingår, kommer ett perfekt nummer att vara ett som summan av alla dess delare dividerat med 2 är lika med själva numret.

[TOC]

Historia

Antikens matematiker, särskilt grekerna, gav stor betydelse för det perfekta antalet och tillskrivs gudomliga egenskaper.

Till exempel hävdade Philo de Alejandría, runt 1: a århundradet, att 6 och 28 är perfekta nummer som sammanfaller med de sex dagarna av skapandet av världen och de tjugoåtta dagarna som det tar för månen att vända sig runt jorden.

De perfekta siffrorna finns också i naturen, till exempel på Northern Pole of Saturn verkar också det perfekta nummer 6, en hexagonformad virvel som hittas av Cassini -sonden och som har fascinerat till forskare. 

Binen honungskakor har celler i hexagonal form, det vill säga med 6 sidor.  Det visas att polygonen med det perfekta nummer 6 är den som tillåter maximering av antalet celler i bikupan, med det minsta vaxet för dess utarbetande.

figur 2. Det perfekta nummer 6 finns i bin honungskakor. Det visas att med detta antal sidor är mängden vax som ska användas för att bilda cellerna minimal. Källa: Pixabay.

Perfekta siffror egenskaper

Summan av alla delare av ett naturligt nummer n betecknas med σ (n). I ett perfekt antal är det sant att: σ (n) = 2n.

Euklidformel och kriterier

Euclid upptäckte en formel och ett kriterium som gör att du kan hitta de perfekta siffrorna. Denna formel är:

2^(N-1) (2ⁿ -1)

Antalet som genereras av formeln kommer dock att vara perfekt när faktorn (2ⁿ -1) Var kusin.

Kan tjäna dig: rektangulära komponenter i en vektor (med övningar)

Låt oss se hur de första perfekta siffrorna genereras:

Om n = 2 så har vi 2¹ (2² - 1) = 2 x 3 = 6 som vi redan såg att det är perfekt.

När n = 3 har du 2² (2³ - 1) = 4 x 7 = 28 vilket också är perfekt som det verifieras i detalj i exempel 1.

Låt oss se vad som händer med n = 4. Genom att ersätta i Euclid -formeln har vi:

2³ (2⁴ - 1) = 8 x 15 = 120

Det kan verifieras att detta nummer inte är perfekt, som visas i detalj i exempel 3. Detta motsäger inte Euclid -kriterierna, eftersom 15 inte är en kusin, ett nödvändigt krav för att resultatet ska vara ett perfekt antal.

Låt oss se vad som händer när n = 5. Tillämpa den formel vi har:

2⁴ (2⁵ - 1) = 16 x 31 = 496

Eftersom 31 är ett primtal, så måste nummer 496 vara perfekt, enligt Euclid -kriterier. I exempel 4 visas det i detalj att det är effektivt.

De främsta siffrorna som har form 2^p - 1 De kallas kusiner till Mersenne, för att hedra munken Marin Mersenne, som studerade primtalen och de perfekta siffrorna tillbaka på sjuttonhundratalet.

Därefter visade Leonhard Euler under det artonde århundradet att allt perfekt antal genererade av Euclid -formeln är par.

Hittills har en perfekt hittats som är udda.

Det största perfekta numret känt

Till det aktuella datumet är 51 perfekta siffror kända, alla genererade av formeln och Euclid -kriterierna. Detta nummer erhölls när Mersennes kusin hittades, vilket är: (2^82589933 - 1).

Det perfekta numret #51 är (2^82589933) X (2^82589933 - 1) och har 49724095 digitos.

Ett perfekt nummer är vän till dig själv

I siffror teori sägs att två nummer är vänner när summan av delarna till en, inte inklusive själva antalet, är lika med det andra numret och vice versa.

Det kan tjäna dig: linje och semi -flodsegment

Läsaren kan verifiera att summan av delarna av 220, inte inklusive 220 är 284. Å andra sidan är summan av delarna av 284, inklusive 284, lika med 220. Därför är siffrorna par 220 och 284 vänner.

Ur denna synvinkel är ett perfekt antal vän till dig själv.

Exempel på perfekta siffror

Därefter listas de första åtta perfekta siffrorna:

6

28

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

Övningar

I följande övningar kommer det att vara nödvändigt att beräkna delarna av ett nummer och sedan göra summan av dem och verifiera om numret är ett perfekt nummer eller inte.

Därför kommer vi att granska konceptet innan de tar upp övningarna och visar hur de beräknas.

Till att börja med måste du komma ihåg att siffrorna kan vara kusiner (när de bara kan delas upp i exakt med sig själva och 1) eller föreningar (när de kan sönderdelas som en produkt av primtal).

För ett sammansatt nummer n har du:

N = aⁿ . b^m. c^p ... r^k 

Där a, b, c ... r är primtal och n, m, p ... k är exponenter som tillhör naturliga siffror, vilket kan vara värt från 1 och framåt.

När det gäller dessa exponenter finns det en formel att veta hur många delare numret N har, även om det inte säger vad dessa är. Låt C vara detta belopp, då:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Nedbrytningen av nummer N som en produkt av primtal och kunskapen om hur många delare som har, både kusiner och icke -kusiner, kommer att hjälpa oss att avgöra vad dessa delare är.

När alla har gjort det, utom den sista som inte krävs i summan, kan det verifieras om det är ett perfekt antal eller inte.

- Övning 1

Verifiera att nummer 28 är perfekt.

Lösning

Det första är att sönderdelas antalet i sina främsta faktorer.

28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1

Dess delare är: 1, 2, 4, 7, 14 och 28. Om vi ​​utesluter 28 summan av delarna ger:

Kan tjäna dig: hälften av 15

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28

Därför är 28 ett perfekt nummer.

Dessutom är summan av alla dess delare 28 + 28 så regeln σ (28) = 2 x 28.

- Övning 2

Besluta om nummer 38 är perfekt eller inte.

Lösning

Antalet delas upp i dess främsta faktorer:

39 | 3
13 | 13
01 | 1

Delarna av 39 utan att inkludera själva antalet är: 1, 3 och 13. Sum 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 är inte lika med 39, därför är 39 ett ofullkomligt eller icke-perfektionsnummer. 

- Övning 3

Ta reda på om nummer 120 är perfekt eller ofullkomlig.

Lösning

Antalet delas upp i dess främsta faktorer:

120 | 2
060 | 2
 30 | 2
 15 | 3
  5 | 5
  1 | 1

Från de främsta faktorerna hittas delarna:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 och 120

Om 120 var perfekta när du lägger till alla dess delare bör erhållas 2 x 120 = 240. 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Detta resultat skiljer sig tydligt från 240, så det dras slutsatsen att nummer 120 inte är ett perfekt nummer.

- Övning 4

Kontrollera att nummer 496, som erhålls enligt Euclid -kriterierna, är ett perfekt nummer.

Lösning

Numret 496 delas upp i sina främsta faktorer:

496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1

Då är deras delare:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496

Nu läggs alla till, utom 496:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Bekräftar att det verkligen är ett perfekt nummer.

Referenser

1. Baldor, a. 1986. Aritmetisk. Codex -utgåvor och distributioner.
2. Allt om primtal. VÄNNER NUMMER. Återhämtat sig från: sjuksköterska.org.
3. Wolfram Mathworld. Eulers regel. Återhämtat sig från: Mathworld.Volfram.com.
4. Wolfram Mathworld. Perfekt nummer. Återhämtat sig från: Mathworld.Volfram.com.
5. Wikipedia. Perfekta siffror. Hämtad från: i.Wikipedia.org.
6. Wikipedia. VÄNNER NUMMER. Återhämtad från: är.Wikipedia.org.