Matematik

Multiplikativ principräkningstekniker och exempel

Multiplikativ principräkningstekniker och exempel

Vad är den multiplikativa principen?

han multiplikativ princip Det är en teknik som används för att lösa räkningsproblem för att hitta lösningen utan att den är nödvändig för att lista sina element. Det är också känt som den grundläggande principen för kombinatorisk analys; Det är baserat på på varandra följande multiplikation för att bestämma hur en händelse kan inträffa.

Denna princip konstaterar att om ett beslut (D1) Det kan fattas på n -sätt och ett annat beslut (D2) Mneror kan tas, det totala antalet sätt på vilka beslut d kan fattas1 och D2 Det kommer att vara detsamma som multiplicy av n * m. Enligt principen fattas varje beslut efter det andra: antal sätt = n1 * N2.. * Nx sätt.

Exempel

Exempel 1

Paula planerar att gå på bio med sina vänner och välja kläderna hon kommer att bära, separera 3 blusar och 2 kjolar. Hur många sätt kan Paula klä sig ut?

  • Lösning

I detta fall måste Paula fatta två beslut:

d1 = Välj mellan 3 blusar = n

d2 = Välj mellan 2 kjolar = m

På så sätt har Paula n * m beslut att fatta eller olika sätt att klä sig.

n * m = 3* 2 = 6 beslut.

Den multiplikativa principen är född från Tree Diagram Technique, som är ett diagram som relaterar alla möjliga resultat, så att var och en kan förekomma ett begränsat antal gånger.

Exempel 2

Mario var väldigt törstig, så han gick till bageriet för att köpa en juice. Luis tjänar honom och berättar för honom att han har i två storlekar: stora och små; och fyra smaker: äpple, apelsin, citron och druvor. Hur många sätt kan Mario välja juicen?

  • Lösning

I diagrammet kan man se att Mario har 8 olika sätt att välja juice och att, som i multiplikativ princip, detta resultat erhålls genom multiplikation av N*m. Den enda skillnaden är att genom detta diagram kan du veta vilka sätt som Mario väljer juicen är.

Kan tjäna dig: klassmärke

Å andra sidan, när antalet möjliga resultat är mycket stort, är det mer praktiskt att använda den multiplikativa principen.

Räkningstekniker

Räkningstekniker är metoder som används för att göra en direkt räkning och vet därför antalet möjliga arrangemang som elementen i en specifik uppsättning kan ha. Dessa tekniker är baserade på flera principer:

Tilläggsprincip

Denna princip konstaterar att om två M- och N -händelser inte kan inträffa samtidigt kommer antalet sätt som den första eller andra händelsen att vara summan av M + N:

Antal formulär = m + n ... + x olika former.

Exempel

Antonio vill göra en resa men bestämmer inte vilken destination; I South Tourism Agency erbjuder de en befordran för att resa till New York eller Las Vegas, medan Eastern Tourism Agency rekommenderar att resa till Frankrike, Italien eller Spanien. Hur många olika resealternativ erbjuder Antonio?

Lösning

Med Southern Tourism Agency Antonio har två alternativ (New York eller Las Vegas), medan den med Eastern Tourism Agency har 3 alternativ (Frankrike, Italien eller Spanien). Antalet olika alternativ är:

Antal alternativ = m + n = 2 + 3 = 5 alternativ.

Permutationsprincip

Det handlar om att specifikt beställa alla eller några av de element som bildar en uppsättning för att underlätta räkningen av alla möjliga arrangemang som kan göras med elementen.

Antalet permutationer av n olika element, tagna på en gång, representeras som:

nPn = n!

Exempel

Fyra vänner vill ta en bild och vill veta hur många olika sätt som kan beställas.

Lösning

Du vill veta uppsättningen på alla möjliga sätt på vilka de fyra personerna kan placeras för att ta fotografiet. Således måste du:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 olika sätt.

Om antalet permutationer av tillgängliga N -element tas av delar av en uppsättning som bildas av R -element, representeras det som:

Kan tjäna dig: vad är statistikområdet? (Med exempel)

nPR = n! ÷ (n - r)!

Exempel

I ett klassrum har du 10 positioner. Om 4 elever deltar i klassen, hur många olika sätt elever kan ockupera positionerna?

Lösning

Det totala antalet stolar är 10, och dessa kommer bara att användas 4. Den givna formeln tillämpas för att bestämma antalet permutationer:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 sätt att ockupera positionerna.

Det finns fall där några av de tillgängliga elementen i en uppsättning upprepas (de är lika). För att beräkna antalet arrangemang som tar alla element samtidigt används följande formel:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

Exempel

Hur många olika ord med fyra bokstäver kan bildas från ordet "varg"?

Lösning

I det här fallet finns det fyra element (bokstäver) varav två av dem är exakt samma. Tillämpa den givna formeln är det känt hur många olika ord är:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 olika ord.

Kombinationsprincip

Det handlar om att fixa alla eller några av de element som bildar en uppsättning utan en specifik ordning. Om du till exempel har ett XYZ -arrangemang kommer detta att vara identiskt med ZXY, YZX, ZYX -arrangemang, bland andra; Detta beror på att, trots att de inte är i samma ordning, är elementen i varje arrangemang desamma.

När vissa element (r) av uppsättningen (n) tas, ges principen för kombination av följande formel:

nCR = n! ÷ (n - r)!r!

Exempel

I en butik säljer de 5 olika typer av choklad. Hur många olika sätt kan 4 choklad väljas?

Kan tjäna dig: kongruens: kongruenta siffror, kriterier, exempel, övningar
Lösning

I det här fallet måste du välja 4 choklad av de 5 typerna som säljer i butiken. Den ordning de väljs spelar ingen roll, och dessutom kan en typ av choklad väljas mer än två gånger. Tillämpa formeln måste du:

nCr = n! ÷ (n - r)!r!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 olika sätt att välja 4 choklad.

När alla element (r) för uppsättningen (n) tas, ges principen för kombination av följande formel:

nCn = n!

Löst övningar

Övning 1

Du har ett basebollag med 14 medlemmar. Hur många sätt kan 5 positioner tilldelas för ett spel?

  • Lösning

Uppsättningen består av 14 element och du vill tilldela 5 specifika positioner; det vill säga ordningen är viktig. Permutationsformeln tillämpas där tillgängliga n element tas av delar av en uppsättning som bildas av r.

nPR = n! ÷ (n - r)!

Där n = 14 och r = 5. Det ersätts i formeln:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 sätt att tilldela de 9 spelspositionerna.

Övning 2

Om en familj på 9 medlemmar åker på en resa och köper sina biljetter med på varandra följande positioner, hur många olika sätt kan sitta?

  • Lösning

Det här är 9 element som kommer att ockupera 9 platser i följd.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 olika sätt att sitta.

Referenser

  1. Hopkins, b. (2009). Resurser för undervisning i diskret matematik: Klassrumsprojekt, historikmoduler och artiklar.
  2. Johnsonbaugh, r. (2005). Diskret matematik. Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, l. TILL. (2012). Ändlig och diskret matematikproblemlösare. Redaktörer för forskning och utbildningsförening.
  4. Padró, f. C. (2001). Diskret matematik. Politisk. av katalonien.
  5. Steiner, E. (2005). Matematik för tillämpade vetenskaper. Reverte.