Simpson regelformel, demonstration, exempel, övningar

De Simpson Rule Det är en metod att beräkna ungefär, definierade integraler. Det är baserat på att dela integrationsintervallet i ett par subintervalos lika åtskilda.

De extrema värdena på två på varandra följande underinterval definierar tre punkter, som justerar en parabola, vars ekvation är en andra grads polynomial. 

Figur 1. I Simpson -metoden är integrationsintervallet indelat i ett par intervall med lika stor bredd. Funktionen är ungefärlig av en liknelse i varje 2 underintervalos och de integrerade tillvägagångssätten med summan av området under liknelserna. Källa: UPV.är.

Därefter approximeras området under kurvan för funktionen i de två på varandra följande intervallen av interpoleringspolynomområdet. Att lägga till bidraget till området under liknelsen om alla successiva underintervaller, det finns det ungefärliga värdet på integralen.

Å andra sidan, eftersom integralen av en liknelse kan beräknas algebraiskt exakt, är det möjligt att hitta en analytisk formel för det ungefärliga värdet på den definierade integralen. Är känd som Simpson -formel.

Felet för det ungefärliga resultatet som således erhålls minskar i den utsträckning antalet underavdelningar n är större (att vara ett vridmoment) antal.

Nedan kommer ett uttryck att ges som möjliggör att uppskatta den övre nivån i tillvägagångssättet till det integrerade I, när en partition av regelbundna underintervaler av det totala intervallet [a, b] har gjorts [b].

[TOC]

Formel

Integrationsintervallet [a, b] är indelat i n underintervaller med n är ett vridmoment. Bredden på varje underavdelning kommer att vara:

H = (b - a)/n

På detta sätt görs på intervallet [a, b] partitionen:

X0, x1, x2, ..., xn-1, xn

Att vara x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, ..., xn-1 = x0 + (n-1) h, xn = x0 + nh = b.

Det kan tjäna dig: skillnad mellan cirkel och omkrets (med exempel)

Formeln som tillåter ungefär att beräkna den definierade integrerade och kontinuerliga funktionen, och helst mjuk, i intervallet [a, b] är:

Demonstration

För att erhålla Simpson -formeln, i varje subinterval [xi, xi+2], tillvägagångssättet Funktion f (x) med en andra grad p (x) polynom (liknelse) som passerar genom de tre punkterna: [xi, f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f xi)]; [Xi+1, f (xi+1)] och [xi+2, f (xi+2)]]].

Sedan beräknas den integrerade polynomiska p (x) i [xi, xi+2] som ungefärligar integralen av funktion f (x) i det intervallet.

figur 2. Graf för att demonstrera Simpson -formeln. Källa: f. Zapata.

Interpolationspolynomkoefficienter

Parabola -ekvationen P (x) har den allmänna formen: p (x) = a x² + B x + c. När liknelsen går igenom de punkter som anges i rött (se figur) bestäms sedan koefficienterna A, B, C från följande ekvationssystem:

AH)² - B h + c = f (xi)

C = f (xi+1)

AH)² + B h + c = f (xi + 2)

Det kan observeras att koefficient C bestäms. För att bestämma koefficienten lägger vi till den första och tredje ekvationen som erhålls:

2 a h² + 2 c = f (xi) + f (xi + 2).

Sedan ersätts värdet på C och det är tydligt:

A = [f (xi) - 2 f (xi+1)+f (xi+2)] / (2 h²)

För att bestämma koefficient B subtraheras den första ekvationen för den första och B rensar sig själv:

B = [f (xi+2) - f (xi)] = 2 h.

Sammanfattningsvis har den andra graden polynom P (x) som passerar genom punkterna Qi, Qi+1 och Qi+2 koefficienter:

A = [f (xi) - 2 f (xi+1)+f (xi+2)] / (2 h²)

B = [f (xi+2) - f (xi)] = 2 h

C = f (xi+1)

Beräkning av den ungefärliga integralen i [xi, xi+2]

Ungefärlig beräkning av integralen i [a, b]

Som redan har sagts, på det totala integrationsintervallet [a, b] en partition x0, x1, x2, ..., xn -1, xn med steg h = xi+1 - xi = (b - (b -) / n, där n är ett par.

Kan tjäna dig: provtagningsfel: formler och ekvationer, beräkning, exempel

Sedan är den integrerade definierade i det totala intervallet [a, b] summan av integralerna i subintervalen [xi, xi+2], som närmar sig av integralerna i interpolationspolynomerna p (x):

I föregående avsnitt hittades formeln för polynomintegraler i underintervalen. Tillämpa detta resultat på varje integrerad har:

Som kan skrivas om på ett mer kompakt sätt på följande sätt:

Tillvägagångssätt

Om den funktion du vill integrera i intervallet [a, b] har härstammat till den fjärde ordningen, kontinuerlig i det intervallet, är det möjligt att hitta en formel som gör det möjligt att bestämma den maximala felnivån i tillvägagångssättet med hjälp av medel av Simpson SN -formel För värdet på integralen:

Observera att felet minskar med den fjärde effekten av intervallet underavdelningar. Om du till exempel går från N -underavdelningar till 2n minskar felet med en 1/16 faktor.

Den övre felnivån som erhålls genom Simpson -metoden kan erhållas från samma formel, vilket ersätter det fjärde derivatet med det maximala absoluta värdet för det fjärde derivatet i intervallet [A, B].

Löst exempel

- Exempel 1

Tänk på funktionen f (x) = 1 / (1 + x²). 

Hitta den definierade integralen i f (x) -funktionen i intervallet [-1, 1] med Simpson-metoden med två underavdelningar (n = 2).

Lösning 

Tas n = 2. Integrationsgränserna är A = -1 och B = -2, då är partitionen så här: 

X0 = -1; X1 = 0 och x2 = +1.

Därför antar Simpsons formel enligt följande:

Med n = 2 → xo = -1, x1 = 0; x2 = 1, därför:

- Exempel 2

Tänk på funktionen f (x) = 1 / (1 + x²). 

Hitta den definierade integralen av funktionen f (x) i intervallet [-1, 1] med Simpson-formeln med fyra underavdelningar (n = 4).

Det kan tjäna dig: uppskattning med intervall

Lösning 

Tas n = 4. Integrationsgränserna är A = -1 och B = -2, då är partitionen så här: 

X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 och x4 = +1.

Simpsons formel är etablerad enligt följande:

Integrerad ≃ [(b -a)/(3 n)] [f (x0) + 4 i + 2 p + f (xn)]

För det fall det tillämpas är det följande:

Integral ≃ (1- (1))/(3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1)

Integrerad ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1.5666

- Exempel 3

Bestäm den definierade integralen av de tidigare exemplen exakt och gör en jämförelse av det exakta resultatet med de som erhållits av Simpson -formeln i exempel 1A och 1B.

Lösning 

Den obestämda integralen av funktionen f (x) = 1 / (1 + x²) är funktionen Arctan (x).

Vid utvärdering av integrationsgränserna:

Integral = arctan (1) - arctan (-1) = π/4 - (-π/4) = π/2 = 1,5708

Om vi ​​jämför resultatet av den exakta lösningen med den som erhållits med Simpson -metoden med n = 2 och n = 4 har vi:

För n = 2 är skillnaden mellan den exakta och den ungefärliga lösningen π/2 -5/3 = -0959, det vill säga en procentuell skillnad på -0,06%.

Och för Simpson -metoden med n = 4 är skillnaden mellan den exakta och den ungefärliga lösningen π/2 - 47/30 = 0,0041, det vill säga en procentuell skillnad på 0,003%.

Föreslagen träning

Simpsons metod är lämplig för att tillämpas på programmeringsspråk och datorapplikationer riktade till matematiska beräkningar. Det föreslås för läsaren som, baserat på formlerna som anges i den här artikeln, skriver sin egen kod i sitt favoritprogram.

Följande figur visar en övning där Simpson -formeln har implementerats i SMATH -studio, Gratis programvara tillgänglig för operativsystem Fönster och Android.

Figur 3. Exempel på numerisk integration genom Simpson -regeln med programvara. Källa: f. Zapata.

Referenser

1. Casteleiro, J. M. 2002. Omfattande beräkning (illustrerad utgåva). Madrid: ESIC -redaktion.
2. UPV. Simpson Method. polytekniska universitet i Valencia. Återhämtat sig från: YouTube.com
3. Purcell, E. 2007. Nionde upplagan. Prentice hall.
4. Wikipedia. Simpson Rule. Återhämtad från: är.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange polynominterpolation. Återhämtad från: är.Wikipedia.com