Halvcirkel hur man beräknar omkretsen, området, centroid, övningar

han halvcirkel Det är en platt figur som avgränsas med en diameter av omkretsen och en av de två platta cirkulära bågarna bestämda med nämnda diameter.

På detta sätt gränsar en halvcirkel av en halvcirkumferens, som består av en platt cirkulär båge och ett rak segment som förenar ändarna på den platta cirkulära bågen. Halvcirkeln täcker halvcirkeln och alla inre pekar på samma.

Figur 1. Radio R Radio Semicircle. Källa: f. Zapata.

Vi kan se detta i figur 1, som visar en radio rión r, vars mått är hälften av diametern ab. Observera att till skillnad från en cirkel, där det finns oändliga diametrar, finns det i halvcirkeln bara en diameter.

Semicircle är en geometrisk figur med många användningsområden inom arkitektur och design, som vi ser i följande bild:

figur 2. Seminicírculo som ett dekorativt element i arkitekturen. Källa: Pikist.

[TOC]

Element och mått på en halvcirkel

Elementen i en halvcirkel är:

1.- Den platta cirkulära bågen a⌒b

2.- Segmentet [AB] 

3.- Interiören pekar på halvcirkel som består av A⌒B -bågen och segmentet [AB].

En halvcirkel

Omkretsen är summan av bågens kontur plus det för det raka segmentet, därför:

Omkrets = båglängd a⌒b + segmentlängd [AB]

I fallet med en radiohalv kommer dess omkrets p att ges av formeln:

P = πillar + 2⋅r = (π + 2) ⋅R

Den första termen är hälften av omkretsen av en radie r omkrets, medan den andra är längden på diametern, som är dubbelt radie.

Kan tjäna dig: termometriska skalor

Halvcirkelområde

Eftersom en halvcirkel är en av de platta vinkelsektorerna som återstår genom att dra en diameter genom omkretsen, kommer dess område A att vara hälften av cirkelområdet som innehåller radiohalvcirkeln R:

A = (π⋅r²) / 2 = ½ π⋅r²

Centroid av en halvcirkel

Centroiden för en halvcirkel är på sin symmetrix.

Detta motsvarar cirka 0,424⋅R, mätt från mitten av halvcirkeln och på dess symmetriaxel, som visas i figur 3.

Figur 3. Semicircle of Radio R, som indikerar formlerna för att bestämma området, omkretsen och platsen för dess centroid. Källa: f. Zapata.

Tröghetsmoment

Tröghetsmomentet för en platt figur definieras med avseende på en axel, till exempel X -axel, till exempel:

Integrationen av kvadratet på avståndet från punkterna som tillhör figuren till axeln, varvid integrationsdifferensen är ett oändligt område i området, taget i varje punkt. 

Figur 4 visar definitionen av tröghetsmomentet i_x av halvcirkeln av Radio R, med avseende på X -axeln som passerar genom dess diagonal:

Figur 4. Definition av tröghetsmoment ix av en halvcirkel med avseende på X -axeln som passerar genom dess diagonal. Resultatet visas för tröghetsmoment med avseende på X- och Y -axlarna. Källa: f. Zapata.

Tröghetsmomentet med avseende på x -axeln ges av:

Yo_x = (π⋅r⁴) / 8

Och tröghetsmomentet med avseende på symmetriens axel och är:

Kan tjäna dig: böljande optik

Iy = (π⋅r⁴) / 8

Det visar att båda ögonblicken av tröghet sammanfaller i sin formel, men det är viktigt att betona att de hänvisas till olika axlar.

Registrerad vinkel

Vinkeln registrerad i halvcirkeln är alltid 90º. Oavsett vilken del av bågen tas till punkten är vinkeln som bildas mellan sidorna AB och BC för figuren alltid rak.

Figur 5. Vinkel registrerad i halvcirkeln. Källa: Math Open Reference.

Löst övningar

Övning 1 

Bestäm omkretsen av en 10 cm radie halvcirkel.

Lösning

Kom ihåg att omkretsen beroende på radien ges av den formel vi såg tidigare:

P = (2 + π) ⋅R

P = (2 + 3,14) ⋅ 10 cm = 5,14 ⋅ 10 cm = 51,4 cm.

Övning 2

Hitta området för en 10 cm radiosemikircle.

Lösning

Formeln för området för en halvcirkel är:

A = ½ π⋅R² = ½ π⋅ (10 cm)² = 50π cm² = 50 x 3,14 cm² = 157 cm².

Övning 3

Bestäm höjden h på centroiden på en radie halvcirkel r = 10 cm mätt från basen, samma är halvcirkelns diameter. 

Lösning

Centroid är halvcirkeljämviktspunkten och dess position är på symmetriaxeln vid en höjd h på basen (halvcirkeldiameter):

H = (4⋅r) / (3π) = (4⋅10 cm) / (3 x 3,14) = 4 246 cm

Övning 4

Hitta tröghetsmomentet i en halvcirkel med avseende på axeln som sammanfaller med dess diameter, och vet att halvcirkeln är gjord av ett tunt ark. Radie är 10 cm och dess massa är 100 gram.

Lösning

Formeln som ger tid av tröghet för halvcirkeln är:

Kan tjäna dig: Solid State Physics: Egenskaper, struktur, exempel

Yo_x = (π⋅r⁴) / 8

Men eftersom problemet säger att det är en materiell halvcirkel, måste det tidigare förhållandet multipliceras med ytdensiteten för halvcirkelmassan, som kommer att betecknas med σ.

Yo_x = σ (π⋅r⁴) / 8

Vi bestämmer sedan σ, vilket inte är annat än massan på halvcirkeln uppdelad mellan området av samma.

Området bestämdes i övning 2 och resultatet var 157 cm². Då kommer den ytliga densiteten för denna halvcirkel att vara:

σ = 100 gram / 157 cm² = 0,637 g/cm²

Då kommer tröghetsmomentet med avseende på diametern att beräknas enligt följande:

Yo_x = (0,637 g/cm²) [3 1416 ⋅ (10 cm)⁴]/ 8

Resulterande:

Yo_x = 2502 g⋅cm²

Övning 5

Bestäm tröghetsmomentet för en radie halvcirkel 10 cm byggt av ett materialark med en ytdensitet på 0,637 g/cm² med en axel som passerar genom sin centroid och är parallell med dess diameter.

Lösning

För att lösa denna övning är det nödvändigt att komma ihåg Steiners teorem på ögonblick av tröghet av parallella axlar, som säger:

Tröghetsmomentet I med avseende på en axel som är på ett avstånd H av centroiden är lika med summan av tröghetsmomentet i_c När det gäller en axel som passerar genom centroiden och är parallell med den första till degen produkten genom kvadratet för de två axlarna.

I = i_c + M h²

I vårt fall är det känt att det är tröghetsmomentet med avseende på diametern, som redan beräknades i övning 4. H vet också mellan diametern och centroiden, som beräknades i övning 3.

Vi måste bara rensa IC:

Yo_c = I - m h²

Yo_c = 2502 g⋅cm² - 100g ⋅ (4 246 cm)² vilket resulterar i tröghetsmomentet med en axel parallell med diametern och som passerar genom centroiden är: 

Yo_c = 699.15 G⋅CM²

Referenser

1. Alexander, D. 2013. Geometri. Femte. Utgåva. Cengage Learning.
2. Matematik öppen referens. Halvcirkel. Återhämtat sig från: MathPenref.com.
3. Universumsformler.Halvcirkel. Återhämtat sig från: universalformulor.com.
4. Universumsformler. Halvcirkelområde. Återhämtat sig från: universalformulor.com.
5. Wikipedia. Halvcirkel. Hämtad från: i.Wikipedia.com.