Moivre -teorem

Vi förklarar vad Moivres teorem är, vi demonstrerar och föreslår lösade övningar

Vad är Moivres teorem?

han Moivre -teorem Tillämpa grundläggande algebra -processer, såsom krafter och rötter i komplexa antal. Satsen anges av den berömda franska matematikern Abraham de Moivre (1730), som associerade de komplexa siffrorna med trigonometri.

Abraham Moivre gjorde denna förening genom uttryck för bröst och koseno. Denna matematiker genererade en slags formel genom vilken den är möjlig.

Förklaring

Moivres teorem upprättar följande:

Om du har ett komplext nummer i polarformen z = r_Ɵ, där r är modulen för det komplexa antalet z, och vinkeln ɵ kallas amplitud eller argument för något komplext nummer med 0 ≤ ɵ ≤ 2π, för att beräkna dess n-denna effekt kommer det inte att vara nödvändigt för att multiplicera det i sig själv n- Tvoppar; Det vill säga, det är inte nödvändigt att göra följande produkt:

Zⁿ = z _* z _* z_{*... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *... *} r_Ɵ   Du är.

För Contario säger teoremet att när du skriver Z i sin trigonometriska form för att beräkna den enda kraften, fortsätt enligt följande:

Ja z = r (cos ɵ + i _* synd ɵ) då zⁿ = rⁿ (cos n*ɵ + i _* Sin n*ɵ).

Till exempel om n = 2, då z² = r²[cos 2 (ɵ) + i Sen 2 (ɵ)]. Om du måste n = 3, då z³ = z² _* z. Förutom:

z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i Sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[COS 3 (ɵ) + i Sen 3 (ɵ)].

På detta sätt kan de trigonometriska orsakerna till bröst och kosinus erhållas för multiplar av en vinkel, så länge de trigonometriska orsakerna till vinkeln är kända.

På samma sätt kan det användas för att hitta mer exakta och mindre förvirrande uttryck för n -denna rot till ett komplext nummer z, så att zⁿ = 1.

För att demonstrera Moivres teorem används den matematiska induktionsprincipen: om ett heltal "A" har en "P" -egenskap, och om för något heltal "n" större än "A" som har fastigheten "P" följer att n n + 1 har också "P" -egenskapen, så hela antalet större eller lika att "A" har "P" -egenskapen.

Demonstration av Moivres sats

På detta sätt görs demonstrationen av teoremet med följande steg:

Induktor

Först kontrolleras det för n = 1.

Kan tjäna dig: curtos: definition, typer, formler, vad är det för till exempel

Som Z¹ = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ)))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* Sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], det måste n = 1 teoremet är uppfyllt.

Induktiv hypotes

Formeln är tänkt att vara sant för något positivt heltal, det vill säga n = k.

z^k = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ)))^k  = r^k (cos k ɵ + i _* Sin k ɵ).

Verifiering

Det bevisas att det är sant för n = k + 1.

Som Z^K+1= z^k _* Z, då z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ)))^K+1 = r^k (Cos kɵ + i _* synd kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* senɵ).

Sedan multipliceras uttrycken:

z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*sinɵ) + (i _* synd kɵ)_*(cosɵ) + (i _* synd kɵ)_*(Yo_* Senɵ))).

För ett ögonblick ignoreras faktorn R^K+1,  Och du får gemensam faktor i:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Som jag² = -1, vi ersätter det i uttrycket och får:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Nu beställs den verkliga och imaginära delen:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(sinɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

För att förenkla uttrycket appliceras trigonometriska identiteter av vinklar för kosinus och sinus, som är:

cos (a+b) = cos a _* cos b - sen a _* synd.

synd (a+b) = sen a _* cos b -cos a _* cos b.

I detta fall är variablerna vinklarna ɵ och kɵ. Tillämpa trigonometriska identiteter har du:

cos kɵ _* cosɵ -  synd kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

synd kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* Sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

På detta sätt kvarstår uttrycket:

z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* synd (kɵ + ɵ))

z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i _* synd [(k +1) ɵ]).

Således kan det visas att resultatet är sant för n = k+1. Enligt principen om matematisk induktion dras slutsatsen att resultatet är sant för alla positiva heltal; det vill säga n ≥ 1.

Negativ helhet

Moivres sats tillämpas också när N ≤ 0. Låt oss överväga en negativ hel "n"; Sedan "n" kan skrivas som "-m", det vill säga n = -m, att vara "m" ett positivt heltal. Därför:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^-m

För att få exponenten "M" på ett positivt sätt skrivs uttrycket i omvänd riktning:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^m

Kan tjäna dig: nollvinkel: definition och egenskaper, exempel, övningar

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mɵ + i _* synd mɵ)

Nu används det att om z = a+b*i är ett komplext nummer, så 1 ÷ z = a-b*i. Därför:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (mɵ) - i _* Sen (Mɵ).

Med hjälp av den cos (x) = cos (-x) och att -sen (x) = sen (-x) måste det:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = [cos (mɵ) - i _* synd (mɵ)]

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (nɵ) - i _* synd (nɵ).

På detta sätt kan det sägas att teoremet gäller för alla hela värdena på "n".

Löst övningar

Positiv effektberäkning

En av operationerna med komplexa siffror i sin polära form är multiplikationen mellan två av dessa; I så fall multipliceras modulerna och argumenten läggs till.

Om du har två komplexa nummer z₁ och z₂ Och du vill beräkna (z₁*z₂)², Fortsätt sedan på följande sätt:

z₁z₂ = [r₁ (cos ɵ₁ + Yo _* Sen ɵ₁)] * [R₂ (cos ɵ₂ + Yo _* Sen ɵ₂)]]

Distributiv egendom tillämpas:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo _* cos ɵ_1* Yo _* Sen ɵ₂ + Yo _* Sen ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂).

De är grupperade och drar termen "i" som en vanlig faktor för uttryck:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + I (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂) + i²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Som jag² = -1, det ersätts i uttrycket:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + I (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂) - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

De verkliga termerna med verkliga och imaginära med imaginära omgrupperas:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos ɵ_1* cos ɵ₂ - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂)]]

Slutligen tillämpas trigonometriska egenskaper:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)]].

Sammanfattningsvis:

(z₁*z₂)²= (r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂))))²

= R₁²r₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + i sin 2*(ɵ₁ + Ɵ₂)]].

Övning 1

Skriv det komplexa numret i polär form om z = - 2 -2i. Beräkna sedan med Moivres sats, beräkna z⁴.

Lösning

Det komplexa antalet z = -2 -2i uttrycks i den rektangulära formen z = a +bi, där::

A = -2.

B = -2.

Att veta att polarformen är z = r (cos ɵ + i _* Sen ɵ), det är nödvändigt att bestämma värdet på modulen "R" och värdet på argumentet "ɵ". Som r = √ (a²+b²) ersätts de givna värdena:

Det kan tjäna dig: trigonometriska funktioner: grundläggande, i det kartesiska planet, exempel, träning

R = √ (a²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

För att bestämma värdet på "ɵ" tillämpas den rektangulära formen för detta, som ges av formeln:

Så ɵ = B ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Som (ɵ) = 1 och det måste<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Som redan uppnåtts med värdet av "r" och "ɵ" kan det komplexa antalet z = -2 -2i uttryckas i polär form som ersätter värdena:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* synd (5π/4)).

Nu används Moivres sats för att beräkna Z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* synd (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* synd (5π)).

Övning 2

Hitta produkten av komplexa siffror som uttrycker den i sin polära form:

Z1 = 4 (cos 50^antingen + Yo_* Sen 50^antingen)

Z2 = 7 (cos 100^antingen + Yo_* Sen 100^antingen).

Beräkna sedan (z1*z2) ².

Lösning

Först bildas produkten av de givna siffrorna:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^antingen + Yo_* Sen 50^antingen)] * [7 (cos 100^antingen + Yo_* Sen 100^antingen)]]

Sedan multipliceras modulerna med varandra, och argumenten läggs till:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [COS (50^antingen + 100^antingen) + i_* Sen (50^antingen + 100^antingen)]]

Uttrycket är förenklat:

z₁ z₂ = 28 _* (COS 150^antingen + (Yo_* Sen 150^antingen).

Slutligen gäller Moivres sats:

(Z1*z2) ² = (28 _* (COS 150^antingen + (Yo_* Sen 150^antingen)) ² = 784 (cos 300^antingen + (Yo_* Sen 300^antingen).

Beräkning av negativa krafter

Att dela två komplexa siffror z₁ och z₂ I sin polära form är modulen uppdelad och argumenten subtraheras. Således är kvoten z₁ ÷ z₂ Och det uttrycks på följande sätt:

z₁ ÷ z₂ = R1/r2 ([cos (ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ - Ɵ₂)))).

Liksom i föregående fall, om du vill beräkna (Z1 ÷ Z2) ³ Divisionen är första effekter och sedan används moivre -teoremet.

Övning 3

Tärningar:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

Beräkna (z1 ÷ z2) ³.

Lösning

Efter de steg som beskrivs ovan kan man dra slutsatsen att:

(Z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4))) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Referenser

1. Arthur Goodman, L. H. (nitton nittiosex). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. Kupong, m. (s.F.). Av Moivres teorem för trigidentiteter. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, m. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra och trigonometri.
5. Pérez, c. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.F.). Linjär algebra. Graw-hill.
7. , M. (1997). Prequalculus. Pearson Education.