Fysisk

Torricelli -teorem

Torricelli -teorem

Vad är Torricellis sats?

han Torricelli -teorem o Torricelli -principen säger att hastigheten på vätskan som kommer ut genom hålet i väggen i en tank eller behållare, är identisk som ett föremål förvärvar som tappas fritt från en höjd som är lika med den för vätskans fria yta till vätskan till vätskan Hålet.

Satsen illustreras i följande figur:

Illustration av Torricellis sats. Källa: Självgjord.

På grund av Torricellis sats kan vi då säga att vätskans hastighet med ett hål som är upp till höjd h under vätskans fria yta ges av följande formel:

Där g är accelerationen av tyngdkraften och h är höjden från hålet till vätskans fria yta.

Evangelist Torricelli var en kroppsbyggnad och matematiker född i staden Faenza, Italien 1608. Torricelli tillskrivs uppfinningen av kvicksilverbarometern och i erkännande finns det en tryckenhet som kallas ”Torr”, motsvarande en kvicksilvermillimeter (mm Hg).

Demonstration av teoremet

I Torricellis sats och i formeln som ger hastigheten antar den att förlusterna på grund av viskositet är föraktliga, som vid det fria fallet antas det att friktionen på grund av luften som omger objektet som faller är obetydliga.

Det tidigare antagandet är rimligt i de flesta fall och innebär också bevarande av mekanisk energi.

För att demonstrera teoremet hittar vi i första hand hastighetsformeln för ett objekt som släpps med noll initial snabbhet, från samma höjd som vätskan i tanken.

Kan tjäna dig: tre -dimensionella vågor: koncept, typer och exempel

Principen om bevarande av energi kommer att tillämpas för att få hastigheten på objektet som faller precis när en höjd har sjunkit h lika med den från hålet till den fria ytan.

Eftersom det inte finns några friktionsförluster är det giltigt att tillämpa principen om mekanisk energibesparing. Anta att objektet som faller har massa m och höjden h mäts från vätskanivån.

Objekt som faller

När objektet frigörs från en höjd som är lika med den för den fria ytan på vätskan är dess energi endast gravitationspotential, eftersom dess hastighet är noll och därför är dess kinetiska energi noll. Den potentiella energip -EP ges av:

EP = m g h

När den går framför hålet är höjden noll, då är den potentiella energin noll, så den har bara kinetisk energi EC som ges av:

EC = ½ m v2

Eftersom energin bevaras EP = EC för vad som erhålls:

½ m v2 = m g h

Rensa hastigheten v Torricelli -formeln erhålls sedan:

Vätska som kommer ut ur hålet

Därefter hittar vi vätskans hastighet genom hålet för att visa att det sammanfaller med den som just beräknades för ett objekt som faller fritt.

För detta kommer vi att förlita oss på Bernoulli -principen, vilket är inget annat än att bevara energi som appliceras på vätskor.

Bernoullis princip är formulerad så här:

Tolkningen av denna formel är som följer:

  • Den första termen representerar den kinetiska energin för vätskan per enhetsvolym
  • Den andra representerar det arbete som utförs av trycket per enhet av tvärområdet
  • Den tredje representerar gravitationspotentialenergi per enhet av vätskevolym.
Kan tjäna dig: Omedelbar hastighet: Definition, formel, beräkning och övningar

När vi börjar från förutsättningen som är en idealisk vätska, under icke -turbulenta förhållanden med relativt låga hastigheter, är det relevant att bekräfta att mekanisk energi per enhetsvolym i vätskan är konstant i alla regioner eller tvärsektioner av samma.

I denna formel V är vätskans hastighet, ρ Fluiddensitet, P trycket och z Det vertikala läget.

I figuren som visas nedan demonstreras Torricellis formel baserat på Bernoulli -principen.

Vi applicerar Bernoulli -formeln på den fria ytan på vätskan som vi anger för (1) och i utgångshålet som vi betecknar med (2). Nollhöjdnivån har valts med utgångshålet.

Under förutsättningen att tvärsnittet i (1) är mycket större än i (2) kan vi sedan anta att hastigheten för minskning av vätska i (1) är praktiskt taget försumlig.

Det är därför V har placerats1= 0, trycket som vätskan utsätts för i (1) är det atmosfäriska trycket och höjden uppmätt från hålet är h.

För utgångssektionen (2) antar vi att utgångshastigheten är V är trycket till vilket vätskan till utloppet också utsätts för atmosfärstrycket och utgångshöjden är noll.

Värdena som motsvarar sektionerna (1) och (2) ersätts i Bernoulli -formeln och lika. Jämställdhet är giltig eftersom vi antar att vätskan är idealisk och att det inte finns några viskösa friktionsförluster. När alla villkor har förenklats erhålls hastigheten i utgångshålet.

Kan tjäna dig: röd dvärg

Den föregående rutan visar att det erhållna resultatet är detsamma som för ett objekt som faller fritt,

Med vad som visas Torricelli -principen.

Löst övningar

Övning 1

Yo) Det lilla utloppsröret på en vattentank är 3 m under vattenytan. Beräkna vattenutloppshastigheten.

Lösning:

Följande figur visar hur Torricellis formel tillämpas på detta fall.

Övning 2

Ii) Antagande att utgångsröret för den tidigare träningstanken har en diameter på 1 cm, beräkna vattenutloppsflödet.

Lösning:

Flödet är vätskevolymen som kommer ut per tidsenhet och beräknas helt enkelt genom att multiplicera utgångshålområdet med utgångshastigheten.

Följande figur visar detaljerna i beräkningen.

Övning 3

Iii) Bestäm hur höjd den fria ytan på vattnet är i en behållare om den är känd

att i ett hål längst ner på behållaren kommer vattnet till 10 m/s.

Lösning:

Även när hålet är längst ner i behållaren kan Torricellis formel appliceras.

Följande figur visar detaljerna i beräkningarna.

Referenser

  1. Wikipedia. Torricelli -teorem.
  2. Hewitt, s. Konceptuell fysisk vetenskap. Femte upplagan.119.
  3. Young, Hugh. 2016. Sears-Zanskys universitetsfysik med modern fysik. 14: e upplagan. Pearson. 384.