Linjära transformationsegenskaper, vad är användning, typer, exempel

En Linjär omvandling, som vi helt enkelt kommer att kalla, relaterar elementen i två vektorutrymmen V och W och tilldelar varje vektor v tillhör V en enda vektor W som tillhör W, genom en specifik operation.

Denna omvandling uppfyller två villkor:

Figur 1. En linjär transformation gäller en vektor av vektorutrymme V för att få en annan vektor som tillhör W -vektorns utrymme. Källa: f. Zapata.

-Villkor 1

Det hänvisar till tillägget, så att en T -linjär omvandling måste uppfyllas att:

T (v + W) = T (v) + T (W)

-Villkor 2

Det andra tillståndet representerar homogenitet i multiplikationen av en skalar av en vektor:

T (cv) = c⋅t (v)

Den linjära omvandlingen, som namnet antyder, är ansvarig för att kartlägga eller omvandla element i V till element i W.

Notationen för funktioner används också i fallet med linjära transformationer, alltså är domänen för V uppsättningen av element (vektorer) som ska transformeras, medan kodominiet eller rutten är den resulterande uppsättningen.

Ett exempel på linjär transformation är:

För att indikera att bokstaven T kommer att användas. Omvandlingen kommer att tillämpas på en vektor v vars komponenter är x och y, som har representerats av en enda kolumnmatris. Resultatet är en annan vektor W vars komponenter är x och 0, också representerade av en kolumnmatris.

Därför är detta en omvandling av r vektorutrymmet r² Mot vektorutrymmet r², att det i sammanfattning är skriven så här:

T: r² → R²         

Om vi ​​har vektorn:

Omvandlingen returnerar oss:

Och så med någon R -vektor². I exempel 1 kommer det att verifieras att denna omvandling är linjär.

[TOC]

Egenskaper för linjära transformationer

Anta en linjär omvandling av V i W, där vektorer v och eller De tillhör V, då uppfylls följande egenskaper:

Egendom 1

T (0) = 0

Var 0 är nollvektorn.

Egendom 2

T (-v) = - t (v)

Egendom 3

T (eller  - v) = T (eller) - t (v)

Egendom 4

Vara v = c₁v₁ + c₂v₂ +.. . +  c_nv_n

 Så:

T (c₁v₁ + c₂v₂ +.. . +  c_nv_n) = c₁ T (v₁) + c₂ T (v₂) +.. . +  c_n T (v_n)

Element i linjär transformation

Låt V och W redan nämnde vektorutrymmen där den linjära omvandlingen T omvandlar element av V till W. Vi kan definiera följande element:

-C kärna eller kärna: Det är en delmängd av den domän som den betecknas av N (t) antingen ker (t) och förstå alla element i V så att:

T (v) = 0.

Den linjära omvandlingen t (v) = 0 kallas nollomvandling.

Naturligtvis nollvektorn v = 0 uppfyller ändå med detta tillstånd, men kärnan består av hela de icke -nollvektorerna som också uppfyller det, för en given t.

Kan tjäna dig: Växande funktion: Hur man identifierar den, exempel, övningar

-Bild av T: Det är uppsättningen vektorer som tillhör W så som är bilden av åtminstone någon vektor i V. Det betecknas som Im t) Och det är undergruppen av W -vektorns utrymme.

Dessa element hjälper oss att klassificera linjära transformationer senare.

Vad är linjära omvandlingar för?

Ursprungligen arbetar linjära transformationer med vektorutrymmen, bildade av vektorer. Många gånger associerar vi vektorer med styrka och andra fysiska storlekar, men vid digital bildbehandling kan en pixel representeras av en vektor.

I så fall kan bilden manipuleras av praktiska linjära transformationer för att få önskade effekter, till exempel projicera, rotera, hitta spegelbilden eller modifiera dess storlek utan att ändra de relativa dimensionerna.

Linjära transformationer används också allmänt i ekonomi och beslutsfattande, till exempel för att veta mängden råmaterial som krävs för att tillverka en viss produktparti.

Antalet bitar som krävs för att montera de olika modellerna som produceras av en fabrik, kan arbetas genom ett matrisarrangemang, som vi kommer att se senare.

Typer av linjära transformationer (klassificering)

Som funktioner kan linjära transformationer vara:

-Injektion eller monomorfismer

-Bijectives eller Epimorfismer

-Överjektivt eller Isomorfismer

Dessutom är följande typer:

-Endomorfismer

-Automorfismer.

Injicerande linjära transformationer

Låt V- och W -vektorutrymmen och T en linjär transformation T: V → W. T är injektion när:

Ker (T) = 0

Linjära överjektiv transformation

Om V och W är vektorutrymmen så att T: V → W, sägs det att T är bijektivt när:

Im (t) = w

Bijjektiv linjära transformationer

En linjär transformation T: V → W är bijektiv när den är både injektiv och överjektiv. Därför är det uppfyllt att:

Ker (T) = 0 och Im (t) = w

Endomorfismer

De är linjära transformationer där domän och kodominium sammanfaller.

Automorfismer

Den här typen av linjära transformationer är bijektiv endomorfismer.

Speciella linjära transformationer

Linjär operatör

En linjär transformation T: V → V, som går från ett vektorutrymme till samma vektorutrymme kallas Linjär operatör.

Nollomvandling

Nämnd ovan är nollomvandling viktig för att hitta kärnan i en linjär omvandling:

Det kan tjäna dig: Tetradecágon

T: V → W så att t (v) = 0 För alla v.

Identitetsomvandling

T: V → V så att t (v) = v  För alla v.

Transformation definierad av en matris

T: V → W så att t (v) = Av, där A är en matris och v Det är en kolonnvektor.

Linjalfination

De linjära funktionerna för y = mx -typen är linjära transformationer. Ta till exempel y = 3x och se om det uppfyller de två villkoren i början, testning med två värden a och b alla:

f (a+b) = 3 (a+b) = 3a+3b = f (a)+f (b)

f (ka) = 3 (ka) = k⋅ (3a) = k⋅f (a)

Det är verkligen en linjär omvandling.

Ansökningar

Linjära transformationer har matematiska tillämpningar, till exempel:

-Koordinataxelrotation.

-I lösningen av system med linjära differentiella ekvationer.

-Självvärde och autoveryproblem.

Och de har också tillämpningar inom andra vetenskapsområden, till exempel inom mekanik, kvantmekanik och ekonomi, bland andra områden.

Exempel på linjära transformationer

Exempel 1

I många mekanikproblem måste vi hitta projicering av en vektor v tillhör rymden, på ett visst plan. Denna vektor v kan till exempel representera en kraft.

Anta att du vill projicera vektorn v = På XY -planet. Vi kan definiera en linjär transformation som ges av följande matris:

När vi applicerar den på vektorn v Vi får en vektor vars Z -komponent är avbruten. Geometriskt representeras det, med projicering av v På XY -planet som den röda vektorn med två komponenter.

figur 2. Projektion av en vektor i rymden på ett plan, som erhålls genom en linjär transformation. Källa: f. Zapata.

Exempel 2

Anta att du har en fabrik som producerar tre typer av leksaksvagnar: C1, C2 och C3, för vilken du i sin tur behöver tre typer av bitar i vissa mängder för att tillverka varje typ av vagn:

-Axlar eller bit

-Hjul eller bit B

-Chassi eller bit C

För varje typ av vagn är antalet bitar annorlunda, eftersom modellerna är olika. Vi kan rymma mängderna i en 3 × 3 -matris, där kolumnerna leds av vagnstypen, och rankningarna motsvarar mängden bitar som krävs för att utarbeta varje modell.

Detta är ett exempel på transformation som ges av en matris som skulle vara så här:

Om fabriken får en viss inköpsorder, som består av x mängden C1, och  av C2 och z Från C3, hur många bitar A, B och C måste ha tillgängliga för att montera ordervagnar?

Det kan tjäna dig: vad är algebraiska uttryck och vilka är de vanligaste?

Vi måste hitta en linjär transformation t (x) så att:

För att få vektorn och:

Det kommer att ge oss mängden delar som vi måste ha för att ha. Under året löstes 2 utvärderar vi effektiviteten i de linjära omvandlingarna för att hitta mängden delar som krävs för att möta en viss ordning.

Löst övningar

- Övning 1

Kontrollera att följande omvandling t: r² → R² Det är linjärt:

Lösning

För att göra detta måste du se till att omvandlingen uppfyller de två villkoren som beskrivs i början, först tillägget och sedan produkten av en skalar för en vektor. Så du måste ta två vektorer v och  eller tillhör R², skriva dem genom matrisnotation eller specificera komponenterna.

Dessa vektorer är:

v = x₁, och₁

eller = x₂, och₂

Första villkor

-Kom ihåg att vektorerna läggs till komponentkomponent måste det verifieras att:

T (v+eller) = T (v) + T (eller)

T (v+eller) = T (x₁+ x₂ ; och₁ + och₂)

Härifrån erhålls det:

T (x₁+ x₂ ; och₁ + och₂) = (x₁+ x₂; 0)

-Å andra sidan, när man applicerar omvandlingen på varje vektor separat:

T (x₁,och₁) + T (x₂,och₂) = (x₁,0) + (x₂,0)

Genom att lägga till de resulterande vektorerna erhålls det effektivt:

W = (X₁+ x₂; 0)

Eftersom båda resultaten är identiska är det första villkoret uppfyllt.

Andra villkor

Nu kommer vi att verifiera att genom att multiplicera med en SCLER C kan det gå ut ur omvandlingen:

T (cv) = c⋅t (v)

Sean:

v = x₁, och₁

c.v = C⋅x₁, Carm₁

Så:

T (cv) = T (c⋅x₁, Carm₁ ) = (C⋅x₁ , 0)

Men vi vet att från föregående steg att t (v) = T (x₁, och₁ ) = (X₁ , 0).

Så eftersom båda uttrycken är identiska är det andra villkoret också uppfyllt och omvandlingen är linjär.

- Övning 2

En leksaksvagn Fabrik samlar tre fordonsmodeller: C1, C2 och C3, för vilka du behöver bitar A, B och C som är axlar, hjul och chassi. De erforderliga beloppen finns i följande tabell:

Fabriken har uppmanats att förbereda 12 modeller C1, 22 C2 och 16 C3. Hur många stycken A, B och C krävs för att slutföra beställningen?

Lösning

Linjär transformation t (x) = y tillämpas, vars resultat är produkten mellan matriser:

De krävs totalt:

-96 axlar

-256 hjul

-50 chassi.

Referenser

1. Algebra och analytisk geometri. Kärna och bild. Klassificering av linjära transformationer. Återhämtat sig från: aga.fra.Utn.Edu.ar.
2. Grossman, s. 2012. Linjär algebra. 7th. Utgåva. McGraw Hill.
3. Gutiérrez, E. 2014. Linjär algebra och dess applikationer. Patria Redaktionsgrupp.
4. Larson, r. 2016. Grunder i linjär algebra. Sjätte. Utgåva. Cengage Learning.
5. Wikipedia. Linjära applikationer. Återhämtad från: är.Wikipedia.org.