Cylindrical Coordinates -system, förändring och övningar

De cylindriska koordinater De tjänar till att hitta punkter i det tre dimensionella utrymmet och består av en radiell koordinat ρ, en azimutal koordinat φ och en höjdkoordinat z.

En poäng P Beläget i rymden projiceras ortogonalt på planet Xy ger upphov till punkten P I det planet. Avståndet från ursprunget till punkten P definierar koordinaten ρ, medan vinkeln som bildar axeln X Med semi OP ' Definiera koordinaten φ. Slutligen koordinaten z Det är den ortogonala projektionen av punkten P på axeln Z. (Se figur 1).

Figur 1. Punkt P av cylindriska koordinater (ρ, φ, z). (Egen utarbetande)

Den radiella koordinaten ρ är alltid positiv, den azimutala koordinaten φ varierar från nollradianer till två Pi -radianer, medan Z -koordinaten kan ta något verkligt värde:

0 ≤ ρ < ∞

0 ≤ φ < 2π

- ∞ < z < + ∞

[TOC]

Förändring av koordinater

Det är relativt enkelt att erhålla de kartesiska koordinaterna (x, y, z) från en punkt P från dess cylindriska koordinater (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sen (φ)

z = z

Men det är också möjligt att erhålla de polära koordinaterna (ρ, φ, z) baserat på kunskapen om de kartesiska koordinaterna (x, y, z) för en punkt P:

ρ = √ (x² + och²)

φ = arctan (y/x)

z = z

Vektorbas i cylindriska koordinater

Basen för cylindriska vektorer definieras Usel, Uφ, Uz.

Vektorn Usel Det är tangent till linjen φ = ctte och z = ctt (pekar radiellt ut), vektorn Uφ är tangent till linjen ρ = ctte och z = ctte och slutligen Uz Den har samma riktning för z -axeln.

figur 2. Cylindrisk koordinatbas. (Wikimedia Commons)

I den cylindriska enhetsbasen, positionsvektorn r Från en punkt P är det skrivet som detta:

Det kan tjäna dig: domän och motsägelse av en funktion (med exempel)

r = ρ Usel + 0 Uφ + z Uz

Å andra sidan en oändlig förskjutning Dr Från punkt P uttrycks det enligt följande:

dr = Dρ Usel + ρ dφ  Uφ + DZ Uz

På liknande sätt är ett oändligt element i DV -volym i cylindriska koordinater:

Dv = ρ dρ dφ dz

Exempel

Det finns otaliga exempel på användning och tillämpning av cylindriska koordinater. I kartografi, till exempel, cylindrisk projektion, baserat exakt på dessa koordinater. Det finns fler exempel:

Exempel 1

Cylindriska koordinater har applikationer inom teknik. Som ett exempel har du CHS (cylinder-head-sektor) för datatplats på en hårddisk, som faktiskt består av flera skivor:

- Cylindern eller spåret motsvarar koordinat ρ.

- Sektorn motsvarar albumets φ som roterar på High vinkelhastighet.

- Huvudet motsvarar Z -positionen för läshuvudet på motsvarande album.

Varje informationsbyte har en exakt adress i cylindriska koordinater (C, S, H).

figur 2. Plats för information i cylindriska koordinater i ett hårddisksystem. (Wikimedia Commons)

Exempel 2

Konstruktionskranar sätter belastningspositionen i cylindriska koordinater. Det horisontella läget definieras av avståndet till kranaxeln eller pilen. Lastens vertikala position bestäms av Z -koordinaten för höjden.

Figur 3. Lastens position i en konstruktionskran kan enkelt uttryckas i cylindriska koordinater. (Pixabay -bild - RCOS R. Pérez)

Löst övningar

Övning 1

Det finns P1 -punkterna för cylindriska koordinater (3, 120º, -4) och punkten P2 för cylindriska koordinater (2, 90º, 5). Hitta Euklidisk avstånd Mellan dessa två punkter.

Kan tjäna dig: divisioner där återstoden är 300

Lösning: Först fortsätter vi att hitta de kartesiska koordinaterna för varje punkt efter formeln som inträffade ovan.

P1 = (3* cos 120º, 3* Sen 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2* cos 90º, 2* sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Det euklidiska avståndet mellan P1 och P2 är:

D (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5)))²+(2 - 2.60)²+(5 -(-4))² ) = ..

... √ (2.25+0.36+81) = 9.14

Övning 2

Punkt P har kartesiska koordinater (-3, 4, 2). Hitta motsvarande cylindriska koordinater.

Lösning: De cylindriska koordinaterna finns med hjälp av de förhållanden som anges ovan:

ρ = √ (x² + och²) = √ ((-3)² + 4²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y/x) = arcan (4/(-3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

Z = 2

Det bör komma ihåg att Arcangent -funktionen är multivaluada för periodicitet 180º. Dessutom måste vinkeln φ tillhöra den andra kvadranten, eftersom x e y och av punkt P -koordinater är i den kvadranten. Detta är anledningen till att 180º har lagts till resultatet φ.

Övning 3

Express i cylindriska koordinater och i kartesiska koordinater ytan på en radiocylinder 2 och vars axel sammanfaller med Z -axeln.

Lösning: Det är underförstått att cylindern har en oändlig förlängning i Z -riktningen, så att ekvationen för nämnda yta i cylindriska koordinater är:

ρ = 2

För att erhålla den kartesiska ekvationen av den cylindriska ytan tas kvadratet för båda medlemmarna i föregående ekvation:

ρ² = 4

Vi multiplicerar med 1 båda medlemmarna i föregående jämlikhet och tillämpar Grundläggande trigonometrisk identitet (Sen²(φ) + cos²(φ) = 1):

1 * ρ² = 1 * 4

(Sen²(φ) + cos²(φ)) * ρ² = 1 * 4

Parentesen utvecklas för att få:

(ρ sen (φ))² + (ρ cos (φ))² = 4

Kan tjäna dig: befolkning och prov

Vi kommer ihåg att den första parentesen (ρ SEN (φ)) är koordinat och en punkt i polära koordinater, medan parentesen (ρ cos (φ)) representerar X -koordinaten, så att vi har lämnat kvar Cylinderekvationen i kartesiska koordinater:

och² + x² = 2²

Den tidigare ekvationen bör inte förväxlas med en cirkel i XY -planet, eftersom det i detta fall skulle vara så här: och² + x² = 2² ; Z = 0.

Övning 4

En radiuscylinder r = 1 m och höjd h = 1 m har sin radiellt fördelade massa enligt följande ekvation d (ρ) = c (1 - ρ/r) där c är en konstant för värde c = 1 kg/m³. Hitta cylinderns totala massa i kilogram.

Lösning: Det första är att inse att funktionen D (ρ) representerar den volymetriska masstätheten och att densitetsmassan är fördelad i cylindriska kaskaroner med minskande densitet i centrum till periferin. Ett oändligt volymelement enligt symmetrin för problemet är:

Dv = ρ dρ 2π h

Därifrån måste du, den oändliga massan av ett cylindriskt skal kommer att vara:

DM = D (ρ) DV

Så den totala massan av cylindern kommer att uttryckas av följande Definierad integral:

M = ∫_antingen^R D (ρ) dv = ∫_antingen^R C (1 - ρ/r) ρ dρ 2π h = 2π h c ∫_antingen^R (1 - ρ/r) ρ dρ

Lösningen av den indikerade integralen är inte svår att få, att vara resultatet:

∫_antingen^R (1 - ρ/r) ρ dρ = (⅙) r²

Att införliva detta resultat i uttrycket av cylindermassan erhålls:

M = 2π h c (⅙) r² = ⅓ π h c r² =

 ⅓ π 1m*1 kg/m³* 1m² = π/3 kg ≈ 1.05 kg

Referenser

1. Arfken g och weber h. (2012). Matematiska metoder för fysiker. En omfattande guide. Sjunde upplagan. Akademisk press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. CC -beräkning. Löst cylindriska och sfäriska koordinater. Återhämtad från: beräkning.Likström
3. Weisstein, Eric W. ”Cylindriska koordinater.”Från Mathworld-A Wolfram Web. Återhämtat sig från: Mathworld.Volfram.com
4. Wikipedia. Cylindriskt koordinatsystem. Hämtad från: i.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Vektorfält i cylindriska och sfäriska koordinater. Hämtad från: i.Wikipedia.com