Löst faktoriseringsövningar

De factoring Det är den algebraiska proceduren som ett algebraiskt uttryck blir produkter av enklare termer. På detta sätt förenklas många beräkningar.

Faktoriseringsövningar hjälper till att förstå denna teknik, som används mycket i matematik och består i processen att skriva en summa som en produkt av vissa termer.

Figur 1.- Genom att ta hänsyn till en algebraisk uttryck utvidgas till en produkt av faktorer som det är bekvämt att arbeta. Källa: f. Zapata.

För att tillräckligt faktor måste du börja med att se om det finns bokstäver och siffror för varje term. Till exempel uttrycket 5x⁴ -10x³ + 25x², som innehåller tre termer, det kan vara faktor som märker att "X" upprepas i var och en, även om det är med olika kraft. När det gäller de numeriska koefficienterna är alla multiplar på 5.

Så den vanliga faktorn består av:

-Produkten mellan den maximala gemensamma divisorn för koefficienterna och

-Den minsta kraften i bokstäverna som visas.

I exemplet är den vanliga faktorn:

5x²

Och uttrycket kvarstår så här:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

Läsaren kan kontrollera tillämpningen av distribuerande egendom, att båda uttryck är likvärdiga.

[TOC]

Faktoriseringsmetoder: kvadratisk skillnad

Inte alla algebraiska uttryck är factoring som vi just har gjort, så här kommer vi att visa hur man använder flera metoder med löst steg för steg.

Således, med lite övning, lär sig läsaren att tillämpa den mest praktiska metoden i fall som:

-Binomial och trinomial faktorisering.

-Polynomfaktorisering.

-Beräkning av polynomerötter.

Bilden av figur 1 är till stor hjälp när frågan uppstår: vilken typ av faktoriseringsanvändning för en övning?

Vi börjar med en skillnad mellan rutor, för vilken formel 1 i tabellen appliceras.

- Motion Löst 1

Faktor 16x binomial² - 49

Lösning

I detta exempel upprepas inte kraften och de numeriska koefficienterna är inte kusiner med varandra, som i exemplet med principen. Men om det verifieras att det givna uttrycket är ett Kvadratskillnad, Formel 1 kan tillämpas.

Allt som behövs är att identifiera termerna till och b:

till² = 16x² → A = √ (16x²) = 4x
b² = 49 → B = 49 = 7

När du har identifierats, fortsätt att ersätta formeln:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Kan tjäna dig: Minskning av liknande termer

Och uttrycket kvarstår när de två faktorprodukten.

I detta och i alla fall de följer kan läsaren bekräfta att om han utvecklar resultatet med den distribuerande egenskapen erhålls det ursprungliga algebraiska uttrycket tillbaka.

Perfekt fyrkantig trinomial faktorisering

Dessa fall motsvarar formlerna 2 och 3 i figur 1. Innan det tillämpar det måste det dock verifieras att uttrycket är uppfyllt att:

-Två termer är de perfekta rutorna av till och b.

-Den återstående termen är den dubbla produkten av A och B, det vill säga: 2AB.

Om ovanstående är sant är det en perfekt fyrkantig trinomial och formlerna appliceras direkt.

- Motion Löst 2

Faktor trinomial: x² + 12x + 36

Lösning

Detta uttryck verkar lämpligt för att tillämpa formel 2 i rutan, men först måste vi verifiera att det är en perfekt fyrkantig trinomial. Först observeras att både den första och den tredje terminen är perfekta rutor:

• x² Det är det perfekta kvadratet av x, sedan (x)² = x²
• 36 är det perfekta torget på 6, sedan 6² = 36

Så:

a = x
B = 6

Och slutligen måste det verifieras att den återstående termen är 2AB, och faktiskt:

12x = 2⋅x⋅6

Det subtraherar endast factoring enligt formeln:

x² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Motion löst 3

Skriv uttrycket 4x² -20x + 25 i faktoriserad form.

Lösning

Eftersom det finns en negativ teckenterm kan tjäna formel 3 i rutan, men innan det måste verifieras att det är en perfekt fyrkantig trinomial:

• 4x² Det är 2x kvadrat, sedan (2x)² = 4x², Därför a = 2x
• 25 är lika med 5², sedan B = 5
• Termen 20x är lika med 2⋅2x⋅5 = 20x

Faktoriseringen kvarstår så här:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Summa och skillnader i kuber

När du har summor eller skillnader mellan kuber gäller formler 4 eller 5 beroende på fallet.

- Motion Löst 4

Faktorisera 8x³ - 27

Lösning

Vi har en skillnad i kuber här, så att extrahera den kubiska roten för varje term:

Sedan A = 2x och B = 3.

Formel 4 följs, vilket är lämpligt för skillnaden i kuber:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Faktorisering genom att gruppera termer

I följande bild finns det ett polynom med fyra termer som måste faktoriseras. De första tre termerna har "X" gemensamt, men den sista gör det inte. Vi kan inte heller säga att numeriska koefficienter är multiplar av samma faktor.

Kan tjäna dig: konvex polygon: definition, element, egenskaper, exempel

Vi kommer emellertid att försöka gruppera termerna i två delar med parentes, indikerade med den gula pilen: de första två termerna har gemensamt "X", medan de två sista har gemensamt att koefficienterna är multiplar på 5.

Vi faktorerar dessa två grupper (Blue Arrow). Nu måste läsaren observera att en ny gemensam faktor kommer ut: parentesen (3x+2) när man factorerar: parentesen (3x+2).

Touch Factorize för andra gången (rosa pil), eftersom (3x+2) är en vanlig faktor av x och 5.

figur 2. Ett exempel på hur man faktor för gruppering av termer. Källa: f. Zapata.

Rötter av ett polynom

Är värdena på variabeln som avbryter polynomet. Om det är ett polynom vars variabel är "x", som vi har sett, eftersom det handlar om att hitta värdena på x så att vid ersättning är det numeriska värdet erhållet 0.

Faktorisering är en metod för att hitta nollor i vissa polynomer. Låt oss titta på ett exempel:

- Motion Löst 5

Hitta nollorna av trinomial x² -2x - 3

Lösning

Vi faktorerar trinomialen, men detta är inte en perfekt fyrkantig trinomial. Men vi kan utföra ett förfarande av Tanteo. Vi skrev trinomialen som produkten av två faktorer, så här:

x² -2x - 3 = (x) . (x)

I den första parentesen placeras det första trinomialskylten, sett från vänster till höger. Detta är ett tecken (-). I den andra parentesen²:

(-) x (-) = +

På detta sätt kommer faktoriseringen att ses:

x² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Nu måste du leta efter två siffror A och B som kommer att läggas i de tomma utrymmena. När multipliceras ska vara 3:

• A X B = 3

Och de måste också följa det faktum att det är 2, eftersom tecknen på parentes är olika.

(Om de hade varit lika tecken, bör två siffror A och B sökas att när de läggs till gav de koefficienten för termen med "X"). Så:

• A - B = 2

Siffrorna som uppfyller båda förhållandena är 3 och 1, sedan:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Det högsta antalet placeras i parentesen av vänster och faktoriseringen kvarstår på följande sätt:

x² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Polynomets nollor är värdena på X som avbryter varje faktor:

Kan tjäna dig: jämn siffror

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Läsaren kan verifiera att ersättning av dessa värden i den ursprungliga trinomialen, detta avbryts.

Andra övningar

- Motion löst 6

Faktorera följande polynom: P (x) = x²-1.

Lösning

Det är inte alltid nödvändigt att använda lösningsmedlet. I detta exempel kan en anmärkningsvärd produkt användas.

Omskriva polynomet enligt följande.

Med hjälp av den anmärkningsvärda produkten 1 kan skillnaden mellan rutor kan polynomet p (x) ta upp enligt följande: p (x) = (x+1) (x-1).

Detta indikerar också att rötterna till p (x) är x1 = -1 och x2 = 1.

- Motion löst 7

Fakta följande polynom: q (x) = x³ - 8.

Lösning

Det finns en anmärkningsvärd produkt som säger följande: A³-B³ = (A-B) (A²+AB+B²).

Genom att veta detta kan du skriva om polynomet Q (x) enligt följande: q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Nu, med hjälp av den anmärkningsvärda produkten som beskrivs är faktoriseringen av polynomet Q (x) q (x) = x³-2³ = (x-2) (x²+2x+2²) = (x-2) (x²+2x+ 4).

Saknar factoring det kvadratiska polynomet som uppstod i föregående steg. Men om den observeras kan den anmärkningsvärda produktnumret 2 hjälpa; Därför ges den slutliga faktoriseringen av Q (x) av Q (x) = (x-2) (x+2) ².

Detta säger att en rot av Q (x) är x1 = 2, och att x2 = x3 = 2 är den andra roten till Q (x), som upprepas.

- Motion löst 8

Faktorisera r (x) = x² - x - 6.

Lösning

När en anmärkningsvärd produkt inte kan upptäckas, eller den nödvändiga upplevelsen för att manipulera uttrycket inte är tillgängligt, fortsätter användningen av resolution. Värdena är följande a = 1, b = -1 och c = -6.

När du ersätter dem i formeln är det x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

Härifrån finns två lösningar som är följande:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Därför kan polynom R (x) faktorera som r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Motion löst 9

Faktor h (x) = x³ - x² - 2x.

Lösning

I denna övning kan du börja med att ta ut den gemensamma faktorn X och det erhålls att h (x) = x (x²-x-2).

Därför återstår det bara att faktorera det kvadratiska polynomet. Med hjälp av lösningsmedlet igen måste rötterna vara:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Därför är rötterna till det kvadratiska polynomet x1 = 1 och x2 = -2.

Sammanfattningsvis ges faktoriseringen av polynomet H (x) av H (x) = x (x-1) (x+2).

Referenser

1. Baldor. 1977. Elementär algebra. Venezuelanska kulturella utgåvor.
2. Rötter av ett polynom. Vad är och hur beräknas steg för steg. Återhämtat sig från: Ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik för beräkning. Femte. Utgåva. Cengage Learning.
5. Zill, D. 1984. Algebra och trigonometri. McGraw Hill.