Grundläggande trigonometriska funktioner, i det kartesiska planet, exempel, träning

De trigonometriska funktioner Av verklig variabel motsvarar de alla vinkel (uttryckta i radianer), en trigonometrisk anledning, som kan vara sinus, kosinus, tangent, cotangent, secant och skördare.

På detta sätt har vi de sex trigonometriska funktionerna: sinus, kosinus, tangent, skördare, torkning och cotangent.

Figur 1. Trigonometrisk cirkelanimation. Källa: Wikimedia Commons.

De trigonometriska funktionerna för vinklar mellan 0 och 2π definieras med hjälp av den enhetliga omkretsen, av Radio 1 och vars centrum sammanfaller med det för ursprunget till det kartesiska koordinatsystemet: punkten (0,0).

Vi kan hitta vilken punkt som helst p av koordinater (x, y) på denna omkrets.

Segmentet som förenar ursprunget med P, tillsammans med respektive segment som förenar prognoserna för P på koordinataxlarna, utgör en rektangel triangel, vars trigonometriska skäl kallas kvoterna mellan triangelns sidor. Så:

• synd θ = motsatt /hypotenusa cateto
• cos θ = intilliggande /hypotenusa cateto
• tg θ = motsatt cateto /angränsande cateto

Och nu orsakerna till ovanstående: ovan:

• sec θ = hypotenus /angränsande cateto
• Skada θ = hypotenusa /cateto mittemot
• CTG θ = angränsande Cateto /motsatt CATETO

I den enhetliga cirkeln är hypotenusen av någon triangel lika med 1 och kategorierna är värda x och y, då:

synd θ = y

cos θ = x

figur 2. Den högra triangeln i enhetscirkeln. Källa: Wikimedia Commons.

På detta sätt förvärvar sinus- och kosinusfunktionerna alltid värden mellan -1 och 1, medan de återstående:

tg θ = y/x

skada θ = 1/y

Sec θ = 1/x

De definieras inte när x antingen och De är värda 0.

[TOC]

Trigonometriska funktioner i det kartesiska planet

Som vi ser nedan kännetecknas trigonometriska funktioner av att vara periodiska. Därför är de inte bijektiv, utom i en begränsad domän.

Funktion f (x) = sin x

Börjar i den trigonometriska cirkeln vid punkt P (1.0) är vinkeln 0 radianer. Sedan roterar radien i en anti -horary mening och SEN X -funktionen växer gradvis tills den når π/2 -radianer (90º), motsvarande 1.Cirka 571 radianer.

Kan tjäna dig: kompletterande vinklar: vad är, beräkning, exempel, övningar

Där når det värdet y = 1 och sedan minskar det tills det når noll i π -radianer (180 °). Därefter minskar det ännu mer, eftersom värdet blir negativt tills det når −1 när vinkeln är 3π/2 -radianer (270 °).

Slutligen ökar det igen tills det återgår till noll i 360 °, där allt börjar igen. Detta gör y = sin x a periodisk funktion av period 2π, så sinusfunktionen är inte bijektivt.

Dessutom är grafen symmetrisk med avseende på punkten (0,0), därför är funktionen udda.

Sedan grafen för y = sen x:

Figur 3. Funktionsgraf f (x) = sin x. Källa: Stewart, J. Preccculment: Matematik för universitetet.

Den röda avsnittet är den första perioden. Negativa vinklar beaktas också, eftersom radien för den trigonometriska cirkeln kan rotera i ett schema.

SEN X -domänen = Alla reales.

Sen X -intervall eller rutt = [-1,1]

Funktion f (x) = cos x

Vid punkt P (1.0) är Coseno -funktionen värd 1 och därifrån minskar och når 0 när vinkeln är π/2. Fortsätt minska och tar negativa värden tills de når -1 i vinkel π.

Sedan börjar den öka gradvis tills den når 0 i 3π/2 och tar värde igen när radien har vänt en fullständig sväng. Därifrån upprepas cykeln, eftersom cos x är periodisk och också är vridmoment (symmetrisk runt den vertikala axeln).

Formen för kosinusfunktionen är densamma som för sinusfunktionen, såvida de inte förflyttas π/2 en med avseende på den andra.

Figur 4. Funktionsgraf f (x) = sin x. Källa: Stewart, J. Preccculment: Matematik för universitetet.

Cos x domän = Alla reales.

Kan tjäna dig: punktlig uppskattning

Räckvidd eller cos x rutt = [-1,1]

Diskontinuerliga trigonometriska funktioner

Funktionerna tg x, ctg x, sek x och hars. Eftersom dessa är värda 0 i vissa vinklar, när de visas i nämnaren gör de funktionen diskontinuerlig.

Och eftersom sinus och kosinus är periodiska funktioner är funktionerna TG X, CTG X, Sec X, Harm X också.

Tangentfunktion f (x) = tg x

För tangentfunktionen är diskontinuitetsvärdena: ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2 ... där tar funktionen mycket stora eller mycket små värden. I allmänhet händer detta för alla multiplar av π i formen (2n+1) π/2, både positiva och negativa, med n = 0, 1, 2 ..

Figur 5. Funktionsgraf f (x) = tg x. Källa: Wikimedia Commons.

Därför:

TG X -domän: D = x ∈ R / x ≠ (2n+1) π/ 2; n ∈ Z

Rang eller tg x turné: Alla reales.

Observera att funktionen f (x) = tg x upprepas mellan - π/2 och + π/2, därför är dess period π. Dessutom är det symmetriskt med avseende på ursprunget.

Cotangent -funktion f (x) = ctg x

För denna funktion förekommer diskontinuitetsvärden i 0, ± π, ± 2π ... det vill säga hela multiplarna av π.

Figur 6. Funktionsgraf f (x) = cotg x. Källa: Wikimedia Commons.

Liksom tangentfunktionen är cotangentfunktionen periodisk period π. För henne är det uppfyllt att:

CTG X -domän: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z

CTG X -intervall eller rutt: Alla reales.

Torkningsfunktion f (x) = sek x

SEC X -funktionen har diskontinuitetspunkter i ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2 ... där cos x = 0. Det är också periodisk period π och observeras också av grafen att funktionen aldrig tar värden i intervallet (-1,1)

Kan tjäna dig: hela siffror Figur 7. Funktionsgraf f (x) = sek x. Källa: Wikimedia Commons.

Doma av sek x: D = x ∈ R / x ≠ (2n+1) π/ 2; n ∈ Z

Sec X Range eller Rutt: Alla reais utom (-1,1)

Skördsfunktion f (x) = skada x

Det liknar torkningsfunktionen, även om den förflyttas till höger, därför är diskontinuitetspunkterna 0, ± π, ± 2π och hela multiplarna av π. Det är också periodiskt.

Figur 8. Funktionsgraf f (x) = skada x. Källa: Wikimedia Commons. Geek3/CC BY-SA (https: // CreativeCommons.Org/licenser/BY-SA/4.0)

Skada domän x: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z

Räckvidd eller harmoni: Alla reais utom (-1,1)

Träning löst

En 6 -fot lång man projicerar en skugga vars längd ges av:

S (t) = 6 │cot (π.T/12) │

Med s vid fötter och t antalet timmar efter 06:00. Hur mycket är skuggan klockan 8, klockan 12, kl. 14.00 och klockan 17.45?

Lösning

Vi måste utvärdera funktionen för vart och ett av de givna värdena, notera att det absoluta värdet måste ta, eftersom skuggens längd är positiv:

-Klockan 8 har 2 timmar gått från 06:00, därför är t = 2 och s (t):

S (2) = 6 │cot (π.2/12) │pies = 6 │cot (π/6) │pies = 10.39 fot.

-När det är 12 n har t = 6 timmar gått därför:

S (6) = 6 │cot (π.6/12) │pies = 6 │cot (π/2) │pies = 0 fot. (Vid den tiden faller solen vertikalt på personens huvud).

-Klockan 14 tillbringade de t = 8 timmar:

S (8) = 6 │cot (π.8/12) │pies = 6 │cot (2π /3) │pies = 3.46 fot.

-När klockan 17:45 har 11 passerat 11.75 timmar från 06:00, då:

S (11.75) = 6 │Cot (π x 11.75/12) │PIES = 91.54 fot. Vid den här tiden blir skuggorna längre.

Kan läsaren beräkna tiden då skuggan av personen är lika med sin höjd?

Referenser

1. Carena, m. 2019. Matematikhandbok för preuniversitet. National University of the Coast.
2. Figuera, J. 1999. Matematik. Första. Diversifierad. Bolivariska kollegiala utgåvor.
3. Hoffman, J. Urval av matematikfrågor. Volym 4.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice hall.
5. Zill, D. 1984. Algebra och trigonometri. McGraw Hill.