Multiplikativ omvänd förklaring, exempel, övningar löst

Det förstås av Omvänd multiplikativ av ett nummer, ett annat nummer som multiplicerades med de första resultaten i det neutrala elementet i produkten, det vill säga enheten. Om du har ett riktigt nummer till Sedan betecknas hans multiplikativa omvända till^-1, Och det är uppfyllt att:

a a^-1 = a^-1 A = 1

Vanligtvis numret till Det tillhör uppsättningen verkliga siffror.

Figur 1. Och det är omvänt multiplikativ av x och x är en multiplikativ invers av y.

Om vi ​​till exempel tar A = 2, Då är din multiplikativ omvänd 2^-1 = ½ Eftersom följande verifieras:

2 ⋅ 2^-1 = 2^-1⋅ 2 = 1

2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1

Till Omvänd multiplikativ av ett nummer kallas också ömsesidig, Eftersom det multiplikativa omvända erhålls genom att byta teller och nämnar, till exempel är det multiplikativa inversa av 3/4 4/3.

Som en allmän regel kan det sägas att för ett rationellt antal (P/q) Din multiplikativa inversa (P/Q)^-1 Det är ömsesidigt (Q/P) Som kan verifieras nedan:

(P/Q) ⋅ (P/Q)^-1 = (p/q) ⋅ (Q/P) = (p⋅ q)/(Q⋅ p) = (P⋅ q)/(P⋅ q) = 1

Det multiplikativa omvända finns inte i den numeriska uppsättningen av heltal, Till exempel, om hela nummer 2 tas, skulle dess multiplikativa inversa enligt vad som sågs ovan vara ½, men en ½ är inte ett heltal.

Det finns också det multiplikativa inversa av nollelementet i multiplikation. Med andra ord, nollnumret (0), som är nollelementet i multiplikationsoperationen, har inte multiplikativ invers, eftersom det inte finns något nummer som multipliceras med noll av enheten.

Multiplikativ omvänd finns i rationella siffror, i verkliga siffror och komplexa siffror.

Multiplikativa omvända exempel

Exempel 1

Hitta 3/2 multiplikativ omvänd och verifiera att den uppfyller egenskapen hos multiplikativa heltal.

Kan tjäna dig: Coplanares Points: Ekvation, exempel och lösta övningar

Enligt regeln som anges ovan utbyts det multiplikativa inversa av (3/2) (2/3) på detta sätt på detta sätt. För att verifiera multiplikationen av de två siffrorna utförs:

(3/2) ⋅ (2/3) = (3 ⋅ 2)/(2 ⋅ 3) ​​= 6/6 = 1.

För att multiplicera två fraktionella nummer, multiplicera helt enkelt telleren för den första med den andra telleren för att få resultatnalatorn.

För att få nämnaren för en produkt av fraktionsnummer, fortsätt på liknande sätt, det vill säga nämnaren multipliceras med varandra och resultatet är produktnämnaren. I vårt exempel verifieras det att telleren för produkten av antalet och dess ömsesidiga är 6 och nämnaren är 6, vilket lämnar fraktion 6/6 vilket är 1.

Exempel 2

Det multiplikativa omvända av -5 bör inte förväxlas med dess symmetriska (+5) som ibland kallas aritmetik omvänd. Det multiplikativa omvända kommer att erhållas enligt följande:

(-5) ⋅ x = 1  

Där x är det multiplikativa omvända som ska erhållas. En möjlig procedur består av att rensa det okända x. När (-5) multiplicerar det okända X i den vänstra medlemmen, sedan händer det att dela den högra medlemmen:

X = 1 / (-5)

Som är känt för + mellan - det är - då erhålls slutligen X:

X = - ⅕ .

Sammanfattningsvis - ⅕ är det multiplikativa omvända av -5.

Exempel 3

Få det multiplikativa inversa av -I2. Anta att det multiplikativa omvända är X, då -2 multiplicerad med X måste vara enheten, ett villkor som vi lägger nedan:

-√2 ⋅ x = 1

Båda medlemmarna är uppdelade med -√2 för att få:

(-√2 ⋅ x) / (-√2) = 1 / (-√2) 

Den första medlemmen är förenklad -"återstående:

Det kan tjäna dig: Standard Uppskattningsfel: Hur det beräknas, exempel, övningar

X = 1 / (-√2)

Detta uttryck kan rationaliseras, det vill säga eliminera nämnarens rot, multiplicera i telleren med (-√2) och i nämnaren för samma mängd så att resultatet inte ändras:

X = (-√2) / [(-√2) (-√2)] =-(√2 / 2)

Sammanfattningsvis - (√2/2) är det multiplikativa omvända (-√2).

Exempel 4

Anta valfritt nummer X, få din multiplikativa omvända och representera det grafiskt.

I det här fallet är det en funktion f (x) = x, att få det multiplikativa omvända är att hitta funktionen g (x) så att multiplicerad med den första av enhetens enhet. G -funktionen är den ömsesidiga funktionen för F och bör inte förvirras på något sätt med sin omvända funktion.

Med andra ord, det multiplikativa inversa av X är en och sådan att följande är uppfyllt:

x ⋅ y = 1

Var man kan rensa och ha:

y = 1/x.

Ovanstående tolkas således med tanke på ett värde på X, den föregående formeln ger oss dess multiplikativa inversa.

Det är möjligt att göra sin grafiska representation som visas i följande figur:

figur 2. Det multiplikativa omvända av x är y = 1/x.

Övningar

Övning 1

Med tanke på x = 2 - √2, få din multiplikativa omvänd och.

Lösning:

Så det och det är en multiplikativ x x

x ⋅ y = 1

X ersätts av dess värde:

(2 - √2) ⋅ y = 1

Då rensar det och:

y = 1 / (2 - √2)

För att rationalisera resultatet multiplicerar teller och nämnaren med dess konjugerade binomial:

y = (2 + √2) / ((2 + √2) (2 - √2))

I nämnaren erkänns en anmärkningsvärd produkt som kallas produkten av en summa för en skillnad, vilket är skillnaden mellan rutorna. På detta sätt försvinner roten i nämnaren.

y = (2 + √2) / (2^2 - (√2)^2)

Kan tjäna dig: proportion

Lösa krafterna:

y = (2 + √2) / (4 - 2)

Förenklande:

y = (2 + √2) / 2

Övning 2

Få det multiplikativa omvända (1/a + 1/b) där a och b är olika verkliga siffror.

Lösning:

Vi ringer och det multiplikativa inversa av (1/a + 1/b), så att följande ekvation måste uppfyllas:

Och ⋅ (1/a + 1/b) = 1

Variabeln rensas och:

Y = 1/(1/a + 1/b)

Nämnaren är löst:

Y = 1 / ((b + a) / a b)

Som är känt om reglerna för algebra, övergår nämnaren för nämnaren till telleren:

Y = (a b) / (b + a)

Det beordras att äntligen få:

(a b)/(a + b) som är det multiplikativa inversa av (1/a + 1/b).

Övning 3

Få multiplikativ omvänd (a - b) / (a^2 - b^2).

Lösning:

Kom ihåg att det multiplikativa omvända också kallas det ömsesidiga eftersom det erhålls bara utbyta teller och nämnaren.

Då kommer det multiplikativa omvända (a - b) / (a^2 - b^2) att vara:

(A^2 - B^2) / (A - B)

Men detta uttryck kan förenklas om vi erkänner, enligt reglerna för algebra, att telleren är en skillnad av rutor som kan vara factoring som produkten av en summa för en skillnad:

((A + b) (a - b)) (a - b)

Eftersom det finns en vanlig faktor (a - b) i telleren och i nämnaren fortsätter vi att förenkla och äntligen få:

(a + b) som är det multiplikativa omvända (a - b) / (a^2 - b^2).

Referenser

1. Källor, a. (2016). Grundläggande matematik. En introduktion till beräkning. Lulu.com.
2. Garo, m. (2014). Matematik: Kvadratiska ekvationer: Hur löser en kvadratisk ekvation. Marilù garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, r. S. (2003). Matematik för administration och ekonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, m., & Estrada, r. (2005). Matematik 1 september. Tröskel.
5. Dyrbar, c. T. (2005). Matematikkurs 3o. Redaktionell progreso.
6. Rock, n. M. (2006). Algebra I är lätt! Så enkelt. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra och trigonometri. Pearson Education.