Parallellepiped

Parallelpipederna är sex -sidiga geometriska figurer, där motsatser är parallella med varandra. Exempel: En tegel, en skobox, en hink, etc.

Vad är en parallellepiped?

En parallellepiped Det är en geometrisk kropp som bildas av sex ansikten, vars huvudkarakteristik är att alla dess ansikten är parallellogram och även dess motsatta ansikten är parallella med varandra. Det är en vanlig polyhedron i våra dagliga liv, eftersom vi kan hitta det i skoboxar, formen på en tegel, formen på en mikrovågsugn etc.

Som en polyhedron innehåller parallellpiped en ändlig volym och alla dess ansikten är platta. Det är en del av gruppen av prismor, som är de polyhedra där alla dess vertikaler finns i två parallella plan.

Element i parallellepiped

Inslag

De är var och en av de regioner som bildas av parallellogram som begränsar parallellen. En parallellepiped har sex ansikten, där varje ansikte har fyra angränsande ansikten och en motsats. Dessutom är varje ansikte parallellt med det motsatta.

Perspektiv av en parallellepiped

Kanter

De är den vanliga sidan av två ansikten. Totalt har en parallellepiped tolv kanter.

Vertex

Det är den vanliga punkten med tre ansikten som är intilliggande två till två. En parallellepiped har åtta vertikaler.

Hörn av en parallellepiped

Diagonal

Med tanke på två ansikten av en parallellepiped motsats till varandra, kan vi rita ett linjesegment som går från det ena ansiktet till det motsatta toppunktet i den andra.

Detta segment är känt som Parallelepiped Diagonal. Varje parallellpiped har fyra diagonaler.

Diagonaler av en parallellepiped

Centrum

Det är den punkt där alla diagonaler korsar.

Poängen i figuren indikerar centrum, där alla diagonaler korsar varandra

Parallellepiped egenskaper

Som vi redan nämnde har denna geometriska kropp tolv kanter, sex ansikten och åtta vertikaler.

I en parallellpipad kan tre uppsättningar bildade av fyra kanter identifieras, som är parallella med varandra. Dessutom uppfyller kanterna på dessa uppsättningar också egenskapen att ha samma längd.

Parallellepiped egenskaper

En annan egendom poserade.

Dessutom följer parallellepipederna, som är konvexa polyhedros, med Eulers teorem för polyhedros, vilket ger oss en relation mellan antalet ansikten, antalet kanter och antalet vertikaler. Detta förhållande ges i form av följande ekvation:

C + V = A + 2

Denna funktion kallas Eulers karakteristik. Där C är antalet ansikten och antalet vertikaler och antalet kanter.

Typer av paralbleepípedos

Vi kan klassificera parallellepípedos baserat på deras ansikten, på följande typer:

Ortoedro

De är parallellepípedos där deras ansikten består av sex rektanglar. Varje rektangel är vinkelrätt med de som den delar kant. De är de vanligaste i våra dagliga liv, detta är den vanliga formen av skor och tegelboxar.

Ortoedro parallelpiped

Vanlig kub eller hexaedro

Detta är ett särskilt fall av det föregående, där var och en av ansikten är en fyrkant.

Kan tjäna dig: ellipseVanlig kub eller hexaedro

Kuben är också en del av de geometriska kropparna som kallas platoniska fasta ämnen. Ett platoniskt fast ämne är en konvex polyhedron, så att både dess ansikten och dess inre vinklar är lika med varandra.

Romboedro

Det är en parallellepiped som har en romb. Dessa romb är alla lika med varandra, eftersom de delar kanter.

En romboedro

Romboiedro

Hans sex ansikten är Rhomboid. Kom ihåg att en romboid är en fyrsidig polygon och fyra vinklar som är lika två till två. Rhomboiderna är parallellogrammen som varken är fyrkantiga eller rektanglar eller romb.

Romboiedro

Å andra sidan är de sneda parallellpiporna de där åtminstone en höjd inte matchar dess kant. I denna klassificering kan vi inkludera Rhomboedros och Rhomboiedros.

Sned parallellpiped

Diagonalberäkning

För att beräkna diagonalen för en ortoedro kan vi använda Pythagoras teorem för R³.

Kom ihåg att en ortoedro har den egenskapen att varje sida är vinkelrätt med sidorna som delar kant. Från detta faktum kan vi dra slutsatsen att varje kant är vinkelrätt med de som delar toppunkt.

För att beräkna längden på en diagonal av en ortoedro fortsätter vi enligt följande:

1. Vi beräknar diagonalen för ett av ansikten, som vi kommer att lägga med bas. För detta använder vi Pythagoras teorem. Låt oss namnge den diagonalen D_b.

2. Sedan med D_b Vi kan bilda en ny rektangel triangel, så att hypotenusen av denna triangel är den sökt diagonala d.

3. Vi använder Pythagoras teorem igen och vi har att längden på den diagonalen är:

Ett annat sätt att beräkna diagonal på ett mer grafiskt sätt är med summan av fria vektorer.

Kom ihåg att två fria vektorer A och B tillsätts genom att placera svansen på vektorn B med spetsen på vektorn a.

Vektorn (A + B) är den som börjar i svansen och slutar vid spetsen av B.

Tänk på en parallellepiped som vi vill beräkna en diagonal. Vi identifierar kanterna med praktiska orienterade vektorer.

Sedan lägger vi till dessa vektorer och den resulterande vektorn kommer att vara diagonalen för det parallellapiped.

Ett parallellepiped

Området för en parallellepiped ges av summan av vart och ett av områdena i dess ansikten.

Om vi ​​bestämmer en av sidorna som basen,

TILL_L + 2: a_B = Totalt område

Vart man ska_L Det är lika med summan av områdena på alla sidor intill basen, kallad sidområdet och till_B Det är basområdet.

Beroende på vilken typ av parallellepiped som vi arbetar kan vi skriva om nämnda formel.

Ortoedro

Ges av formeln

A = 2 (AB + BC + CA).

Exempel 1

Med tanke på följande ortoedro, med sidorna a = 6 cm, b = 8 cm och c = 10 cm, beräkna det parallellepiperade området och längden på dess diagonala.

Använda formeln för området för en ortoedro måste vi

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Observera att som ortoedro är längden på någon av dess fyra diagonaler är densamma.

Det kan tjäna dig: obestämd integral: egenskaper, applikationer, beräkning (exempel)

Använda Pythagoras teorem för rymden måste vi

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Kubområde

Eftersom varje kant har samma längd har vi att a = b och a = c. Ersätter i den tidigare formeln vi har

A = 2 (AA + AA + AA) = 2 (3A²) = 6a²

A = 6a²

Exempel 2

Lådan med en spelkonsol har formen av en kub. Om vi ​​vill linda in den här rutan med presentpapper, hur mycket papper skulle vi spendera att veta att längden på kanterna på kuben är 45 cm?

Med hjälp av formeln för kubområdet får vi det

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²) = 12150 cm²

Rhomboedro

Eftersom alla dess ansikten är desamma räcker det för att beräkna området för en av dem och multiplicera det med sex.

Vi har att området för en romb kan beräknas av dess diagonaler med följande formel

TILL_R = (Dd)/2

Med hjälp av denna formel följer det att rhomboedroens totala yta är

TILL_T = 6 (DD)/2 = 3DD.

Exempel 3

Ansikten på nästa Rhomboedro bildas av en romb vars diagonal är d = 7 cm och d = 4 cm. Ditt område kommer att vara

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Rhomboiedro

För att beräkna området för en Rhomboiedro måste vi beräkna området för rhomboiderna som komponerar det. När parallellpiporna uppfyller egenskapen som de motsatta sidorna har samma område, kan vi associera sidorna i tre kamrater.

På detta sätt har vi att ditt område kommer att vara

TILL_T = 2b₁h₁ + 2B₂h₂ + 2B₃h₃

Där b_Yo är baserna associerade med sidorna och h_Yo dess relativa höjd motsvarande nämnda baser.

Exempel 4

Tänk på följande parallellepiped,

där sida A och sida A '(deras motsatta sida) är baserade b = 10 och per höjd h = 6. Det markerade området kommer att ha ett värde på

TILL₁ = 2 (10) (6) = 120

B och B 'har B = 4 och H = 6, då

TILL₂ = 2 (4) (6) = 48

Och c och c 'har b = 10 och h = 5 också

TILL₃ = 2 (10) (5) = 100

Slutligen är Rhomboiedro -området

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volym av en parallellepiped

Formeln som ger oss volymen av en parallellepiped är produkten från området för ett av dess ansikten på grund av höjden som motsvarar nämnda ansikte.

V = a_Ch_C

Beroende på typen av parallellepiped kan denna formel förenklas.

Således har vi till exempel att volymen av en ortoedro skulle ges av

V = ABC.

Där a, b och c representerar längden på ortoedro kanter.

Och i kubens speciella fall är det

V = a³

Exempel 1

Det finns tre olika modeller för cookieboxar och du vill ha.

Den första är en kub vars kant har en längd på en = 10 cm.

Volymen kommer att vara v = 1000 cm³

Den andra är b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm.

Och därför är dess volym v = 765 cm³

Och den tredje har e = 9 cm, f = 9 cm och g = 13 cm.

Och dess volym är v = 1053 cm³

Kan tjäna dig: typer av vinklar, egenskaper och exempel

Därför är lådan med den största volymen den tredje.

En annan metod för att erhålla volymen för en parallellepiped är att ta till vektoralgebra. I synnerhet trippelskalprodukten.

En av de geometriska tolkningarna av trippelskalprodukten är den för volymen av parallellepiped, vars kanter är tre vektorer som delar samma toppunkt som en utgångspunkt.

På detta sätt, om vi har en parallellepiped och vi vill veta vad dess volym är, räcker det för att representera det i ett koordinatsystem i R³ sammanfaller en av dess vertikaler med ursprunget.

Sedan representerar vi de kanter som överensstämmer vid ursprunget med vektorer, som visas i figuren.

Och på detta sätt har vi att volymen av nämnda parallellepiped ges av

V = | Axb ∙ C |

Eller motsvarande, volymen är bestämningen av 3 × 3 -matrisen, bildad av komponenterna i kantvektorerna.

Exempel 2

Genom att representera följande parallellepiped i R³ Vi kan se att vektorerna som bestämmer det är följande

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) och w = (-0.25, -4, 4)

Med hjälp av den trippelskalära produkten vi har

V = | (UXV) ∙ W |

Uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, -15)

(UXV) ∙ W = (0,0,- 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 ( - 15) = - 60

Detta drar slutsatsen att v = 60

Tänk nu på följande parallellepiped i R³ vars kanter bestäms av vektorerna

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) och C = (3, 4, 4)

Att använda determinanter ger oss det

Således har vi att volymen av nämnda parallellepiped är 112.

Båda är likvärdiga sätt att beräkna volymen.

Perfekt parallellpiped

Det är känt som Euler Brick (eller Euler Block) till en ortoedro som uppfyller egenskapen att både längden på dess kanter och längden på diagonalerna i var och en av dess ansikten är hela siffror.

Medan Euler inte var den första forskaren som studerade ortoedarna som möter den egenskapen, hittade han intressanta resultat om dem.

Den minsta Euler-tegel upptäcktes av Paul Halcke (1662-1731) och längderna på dess kanter är A = 44, B = 117 och C = 240.

Ett öppet problem i siffror teori är som följer:

Finns det perfekta ortoedare?

För närvarande har denna fråga fortfarande inget svar, eftersom det inte har varit möjligt att bevisa att det inte finns några kroppar, men ingen har hittats.

Det som hittills har visats är att det perfekta parallellepiped gör. Den första som upptäcks har så längd på sina kanter värdena 103, 106 och 271.

Referenser

1. Kille, r. (1981). Olösta problem i antaleteorin. Kandare.
2. Landaverde, f. d. (1997). Geometri. Framsteg.
3. Leithold, L. (1992). Beräkningen med analytisk geometri. Harla, s.TILL.
4. Rendon, a. (2004). Teknisk ritning: Aktivitetsnotbok 3 2: a Baccalaureate. Tebar.
5. Resnick, r., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Volymfysik. 1. Mexiko: kontinental.