Regelbundna polygonsegenskaper, element, vinklar, exempel

De regelbundna polygoner Det är de som har alla sina sidor och deras lika inre vinklar. I följande figur finns det en uppsättning olika polygoner, som är platta siffror begränsade av en stängd kurva och endast de som markeras uppfyller förhållandena för att vara regelbundna.

Till exempel är den liksidiga triangeln en vanlig polygon, eftersom dess tre sidor mäter samma sak, liksom dess inre vinklar, som är värda 60 º vardera.

Figur 1. Regelbundna polygoner är de vars sidor och inre vinklar är desamma, till exempel den liksidiga triangeln och torget. Källa: Wikimedia Commons.

Torget är en fyrkantig med fyra sidor med lika mått och vars inre vinklar är 90º. Det följs av den vanliga Pentagon, med fem sidor av lika stor storlek och fem inre vinklar på 108º vardera.

När en polygon är regelbunden läggs detta ord till dess speciella namn, så vi har den vanliga hexagon, den vanliga heptagon och så vidare.

[TOC]

Egenskaper hos vanliga polygoner

De viktigaste egenskaperna hos vanliga polygoner kan sammanfattas enligt följande:

-Sidorna mäter samma, därför är de liksidor.

-Are Likvärdig, Tja, alla dess inre vinklar har lika mått.

-De kan alltid registrera sig i en omkrets, vilket innebär att de passar perfekt i en, vilket kallas omskriven omkrets.

-För en vanlig polygon av N -sidor är måtten på en inre vinkel a:

α = [180 (n-2)]/n

-N-3)/2 diagonaler kan dras från vertikalerna hos en polygon, oavsett om det är regelbundet eller inte.

-Summan av yttre vinklar Det är lika med 360º.

figur 2. Registrerad omkrets och omkrets omskriven till vanlig polygon. Källa: f. Zapata.

Element i en vanlig polygon

Sedan presenterar vi de viktigaste elementen i en vanlig polygon, visualiserad i den nedre figuren.

Figur 3. Element i den vanliga polygonen. Källa: f. Zapata.

Vertex

Vanlig punkt som har två på varandra följande sidor, betecknade som V i figuren.

Sida

Det är segmentet som förenar två på varandra följande vertikaler i polygonen och betecknas som ℓ eller L.

Diagonal

Segment som går med i två icke -konsekutiva vertikaler i polygonen, i figuren betecknas det som d.

Centrum

Det är det gemensamma centrumet för den registrerade omkretsen och den omskrivna omkretsen, betecknad med brevet eller. Det kan också ses som den enda punkten att jämlika för både topparna och mittpunkterna på varje sida.

Radio

Det är radion r av den omskrivna omkretsen och sammanfaller med avståndet mellan O och ett toppunkt.

Det kan tjäna dig: axiomer av sannolikhet: typer, förklaring, exempel, övningar

Apotem

Det kallas apotem till radien för omkretsen som är inskriven i polygonen, representerad i figuren med en bokstav till. Apotemet är vinkelrätt mot sidan och förenar detta med mitten O (rött segment i figur 3).

Genom att känna till radien r och längden på sidan beräknas apotemet av:

Eftersom Apothem i själva verket är en av kategorierna av en rektangel triangel (se figur 3), den andra kateto är värdet på ℓ/2 (hälften av en sida) och hypotenusen radion r av polygonen.

När Pythagoras teorem appliceras på nämnda triangel erhålls denna ekvation, vilket är giltigt inte bara för hexagon, utan för någon vanlig polygon.

Centralvinkel

Det är vinkeln vars toppunkt sammanfaller med mitten eller vars sidor är segmenten som förenar mitten med två på varandra följande vertikaler. Måttet i sexagesimala grader är 360º/N, där n Det är antalet sidor av polygonen.

Sagita

Det är skillnaden mellan polygonens och apotemens radie (se figur 3). Betecknar sagita som S:

S = r - a

Omkrets och område

Omkrets

Det beräknas enkelt genom att lägga till sidorna på sidorna. Eftersom vilken sida som helst är samma längd L och det finns N -sidor, uttrycks omkretsen P som:

P = n.L

Område

I en vanlig polygon ges området A av produkten mellan halvperimetern (hälften av omkretsen) och den apotemlängden till.

A = p.A /2

Eftersom omkretsen beror på antalet sidor N, visar det sig att:

A = (nl).A /2

Två vanliga polygoner kan ha samma omkrets även om de inte har samma antal sidor, eftersom det då skulle bero på sidans längd.

I bok V i din Samling, Matematikern Pappus från Alexandria (290-350), den sista av de stora grekiska matematikerna av antikvitet, visade att bland alla vanliga polygoner med samma omkrets är den med det största området det med det största antalet sidor.

Vinklar

Figur 4 visar relevanta vinklar i en vanlig polygon, betecknad med de grekiska bokstäverna α, ß och y.

Centralvinkel

Tidigare nämner vi den centrala vinkeln, bland elementen i den vanliga polygonen, det är den vinkel vars toppunkt är i mitten av polygonen och sidorna är de segment som förenar mitten med två på varandra följande vertikaler.

För att beräkna måttet på den centrala vinkeln α delas 360º med n, antalet sidor. Eller 2π radianer mellan n:

Kan tjäna dig: injektiv funktion: vad den består av, vad är det för och exempel

α = 360º/N

Motsvarande i radianer till:

α = 2π /n

Inre vinkel eller inre vinkel

I figur 4 är den inre vinkeln ß den vars toppunkt sammanfaller med en av figurerna och dess sidor är också sidorna på figuren. Det beräknas i sexagesimala grader av:

β = [180 (n-2)]/n

Eller i radianer som använder:

β = [π (n-2)]/n

Yttre vinklar

De betecknas av den grekiska bokstaven y. I figuren observeras att y + β = 180º. Därför:

γ = 180º - β

Summan av alla yttre vinklar till en vanlig polygon är 360º.

Figur 4. Vinklarna i en vanlig polygon, i detta exempel en vanlig Pentagon. Källa: Wikimedia Commons.

Exempel på vanliga polygoner

Nedan har vi de första 8 vanliga polygonerna. Vi observerar att när antalet sidor ökar blir polygonen mer och mer till omkretsen där de är registrerade.

Vi kan föreställa oss att vi gör längden på sidorna allt liten och ökar antalet av dessa, vi får omkretsen.

Figur 5. De första åtta vanliga polygonerna. Källa: Wikimedia Commons.

- Regelbundna polygoner i det dagliga livet och naturen

Regelbundna polygoner finns överallt i det dagliga livet och till och med i naturen. Låt oss titta på några exempel:

Trafiksignaler

I de skyltar vi ser på motorvägar och vägar finns i överflöd av vanliga polygoner som liksidiga, fyrkantiga och romb -trianglar. I figur 6 ser vi en högformad signalsignal.

Figur 5.- Trafiksignal med åttkantig form. Källa: Pixabay.

möbel

Otaliga möbler är fyrkantiga till exempel, som en karakteristisk geometrisk figur, liksom många bord, stolar och banker är fyrkantiga. En parallellepiped är i allmänhet en låda med rektangelformade sidor (som inte är en vanlig polygon), men de kan också göra fyrkant.

Arkitektur och konstruktion

Tilerna eller plattorna på golv och väggar, både i hem och på gatorna, har ofta formen av vanliga polygoner.

Teslarna är ytor täckta helt med brickor som har olika geometriska figurer. Med triangeln kan torget och hexagon göras regelbundna tesselves, de som bara använder en enda typ av figur för att belägga perfekt, utan tomma utrymmen (se figur 6).

Även byggnaderna använder regelbundna polygoner i element som fönster och dekoration.

Figur 6. Fyrkantig kakel. Källa: Pixabay.

- Regelbundna hexagoner i naturen

Överraskande är regelbunden hexagon en polygon som ofta förekommer i naturen.

Kan tjäna dig: diskreta distributioner

Honungskakor tillverkade av bin för att lagra honung har en mycket ungefärlig form till en vanlig hexagon. Som Pappus från Alexandria observerade optimerar bin till utrymmet för att spara så mycket honung som möjligt.

Och det finns också regelbundna hexagoner i skalet av sköldpaddor och snöflingor, som också antar olika mycket vackra geometriska former.

Träning löst

En vanlig hexagon är en del av en halvcirkel på 6 cm radie, som visas i figuren. Vad är värdet på det skuggade området?

Figur 7. En vanlig hexagon registrerad i en halvcirkel. Källa: f. Zapata.

Lösning

Det skuggade området är skillnaden mellan radien halvcirkelområdet r = 6 cm och hela hexagonområdet, en vanlig 6 -sidad polygon. Så vi kommer att behöva formler för området för var och en av dessa siffror.

Halvcirkelområde

TILL₁ = π r² /2 = π (6 cm)² /2 = 18π cm²

Regelbundet hexagonområde

Formeln för att beräkna området för en vanlig polygon är:

A = p.A /2

Var P Det är omkretsen och till Det är apotemet. Eftersom omkretsen är summan av sidorna, kommer vi att behöva värdet på dessa. För regelbunden hexagon:

P = 6ℓ

Därför:

A = 6ℓa /2

För att hitta värdet på sidan ℓ är det nödvändigt att bygga hjälpfigurer, som vi kommer att förklara nedan:

Låt oss börja med den lilla rektangeltriangeln till vänster, vars hypotenus är ℓ. En inre vinkel på hexagon är värd:

α = [180 (n-2)]/n = α = [180 (6-2)]/6 = 120º

Radie som vi har ritat i bisecta grön denna vinkel, därför är den lilla triangelns akuta vinkel 60º 60º. Med den information som tillhandahålls löses denna triangel och hittar den ljusblå sidan, som mäter samma som apotemet:

Motsatt cateto = a = ℓ x sin 60º = ℓ√3 / 2 cm

Detta värde är två gånger det mörkblå benet av den stora triangeln till höger, men från den triangeln vet vi att hypotenusen mäter 6 cm eftersom det är halvcirkelens radie. Den återstående Cateto (nedan) är värd ℓ/2 sedan punkten eller är mitt på sidan.

Eftersom inre vinklar i denna triangel inte är kända kan vi höja Pythagoras teorem för honom:

36 = 3 ℓ² + ℓ² / 4

(13/4) ℓ² = 36 → ℓ = √ (4 x36) /13 cm = 12 /√13 cm

Med detta värde beräknas apotemet:

a = ℓ√3 /2 cm = (12 /√13) x (√3 /2) cm = 6√3 /√13 cm

Låt oss ringa a₂ till det vanliga hexagonområdet:

= 28. 8 cm²

Skuggad figur

TILL₁ - TILL₂ = 18π cm²  - 28.8 cm² = 27.7 cm²

Referenser

1. Baldor, a. 1973. Geometri och trigonometri. Centralamerikansk kulturell redaktion.
2. Njut av matematik. Tesel. Återhämtat sig från: njutmatimaticas.com.
3. OCH. TILL. 2003. Geometrielement: med övningar och kompassgeometri. University of Medellin.
4. Hexagoner i naturen. Återhämtat sig från: Malvargamath.WordPress.com.
5. Jiménez, r. 2010. Matematik II. Geometri och trigonometri. Andra upplagan. Prentice hall.
6. Regelbundna polygoner. Återhämtad från: kompis.teknik.USAC.Edu.Gt.
7. Wikipedia. Apotem. Återhämtad från: är.Wikipedia.org.