Konvergensradiodefinition, exempel och övningar löst

han Konvergensradie av en serie krafter är radien för konvergenscirkeln som serien konvergerar. Denna cirkel sträcker sig från värdet som avbryter basen för krafterna till den närmaste singulariteten i den funktion som är associerad med serien.

All analytisk funktion F Z) Det har förknippat en serie krafter runt en icke -singulär punkt, kallad Taylor -serien:

Figur 1. Grafen visar kraftserien runt värde a = 1 för funktion f (x). Dess konvergensradie är r = 2. Källa: Fanny Zapata.

Var till Det är centrum för konvergenscirkeln, z den oberoende variabeln för funktionen och c_n De är koefficienter relaterade till de som härrör från funktionen F på väg z = a.

Konvergensradie r Det är ett positivt verkligt antal som definierar regionen:

| Z - A | < r

Där serien konvergerar. Ut ur regionen Diverge -serien, det vill säga det tar oändliga värden. När konvergensradie är oändlig, konvergerar serien i hela komplexa planet.

[TOC]

Hur bestäms konvergensradie?

För att en serie ska vara konvergent är det nödvändigt att det absoluta värdet på de successiva termerna kommer att minska när antalet termer är mycket stort. På matematiskt sätt skulle det uttryckas på följande sätt:

Med hjälp av egenskaperna för gränserna i det föregående uttrycket erhålls det:

Här r Det är konvergensradie och | Z - A | < r Det är den öppna gränscirkeln i det komplexa planet där serien konvergerar. Om värdet till och variabeln Z är verkliga siffror, då kommer det öppna intervallet för konvergens på den verkliga axeln att vara: (A - R, A+R).

Taylor Series

Taylor -serien av en funktion f (x) Runt ett värde till Där funktionen har oändliga derivat är det en serie krafter som definieras som:

Det kan tjäna dig: axiomer av sannolikhet: typer, förklaring, exempel, övningar

I miljön | X - A | < r, med r somKonvergensradie för serien, Taylor -serien och funktionen måste vara f (x) De sammanfaller.

Å andra sidan konvergensradie r Det är avståndet till punkten till och singulariteten x_s närmare punkten till, Att vara singular pekar de värden där funktionens gräns tenderar att oändliga.

Det vill säga när x → x_s så F → ± ∞.

Exempel

Exempel 1

Vara S (x) De krafter som ges av följande uttryck:

S (x) = 1 - x + x²- x³+ x⁴-.. .+(-1)ⁿ ⋅ xⁿ +.. .

För att bestämma regionen där serien konvergerar beräknar vi kvoten mellan termen (n-beeimo + 1) och termen (n-ME):

Det absoluta värdet på den främre kvoten är | x | och dess gräns när N → ∞ det är också  | x |.

För att serien ska vara konvergent är det nödvändigt att:

Så konvergensradie för denna serie är R = 1, Eftersom det konvergerar för värdena på X som är på ett avstånd mindre än 1 med avseende på centrum x = 0.

Exempel 2

Du vill hitta Taylor -serien för funktionen f (x) = 1 / (1 + x) runt om x = 0 och bestämma dess konvergensradie.

För att hitta serien tar vi de successiva derivaten av funktionen f (x), av vilka vi visar de första tre:

Med hänsyn till att Zero Order Term i Taylor -serien är:

 f (0) = 1,

Den första beställningen: F '(0)/1!

Andra beställning:

 F "(0)/2!

Tredje ordning:

 f "(0)/3!

Och så vidare är Taylor -serien för den givna funktionen:

f (x) = 1 - x + x² - x³ + x⁴ -.. .+(-1)ⁿ ⋅ xⁿ +.. .

Kan tjäna dig: liksidig triangel: egenskaper, egenskaper, formler, område

Som sammanfaller med de kraftserier som studerats i exempel 1.

Vi har redan sagt att konvergensradie för en Taylor -serie är avståndet från mitten av utvidgningen i serie, som i vårt fall är värdet x = 0 Fram till funktionens första singularitet f (x). 

Eftersom vår funktion har en singularitet (det vill säga en oändlighet) i x = -1, Avståndet mellan värdet -1 och expansionscentret 0 är | -1 - 0 | = 1, Det dras slutsatsen att Taylor -serien konvergensradie är 1.

Detta resultat sammanfaller helt med det som erhållits i exempel 1 med en annan metod.

Det faktum att Taylor Series Convergence Zone är det öppna intervallet (-1, 1) innebär att funktionen och serien sammanfaller i detta intervall, men inte utanför samma.

Det visas i figur 2, där 41 termer i Taylor -serien har tagits, ritat av den kontinuerliga blå linjen, medan den ursprungliga funktionen visas på den röda linjen för segment.

figur 2. Funktionen f (x) (i rött) och dess serie krafter (eller Taylor -serien i blått) visas. Det kan ses som de första 41 termerna i serien konvergerar mellan -1 och 1. Dessutom sammanfaller funktionen och dess serie endast i konvergensregionen. (Källa: Fanny Zapata)

Löst övningar

- Övning 1

Tänk på samma funktion f (x) = 1 / (1 + x) av exempel 2, men den här gången uppmanas att hitta Taylor -serien med nämnda funktion runt punkten a = 1.

Lösning

Vi hittar de successiva termerna i serien, börjar med den oberoende termen som är F (1) = ½.

Nästa koefficient som motsvarar den första ordningen är:

F '(1)/1! = -¼

Den andra beställningen är:

f "(1)/2! = 2/(2³ 2!)

Följ den tredje ordningskoefficienten:

Det kan tjäna dig: Tetradecágon

f "(1)/3! = -6 / (2⁴ 3!)

Och så vidare. Taylor -serien kommer att vara:

SF (x) = ½ - 1/2² (X-1) + 1/2³(X-1)² - 1/2⁴ (X-1)³ + 1/2⁵ (X-1)⁴-..

- Övning 2

Hitta konvergensradie för föregående serie

Lösning

Vi skriver termen n-em och termen n-alkaus mer en:

Vi beräknar kvoten på dessa två termer som visas nedan förenklad:

Det absoluta värdet för det tidigare uttrycket tas genom att erhålla:

| X - 1 | / 2

Men för att serien ska vara konvergent är det nödvändigt att det föregående beloppet är strikt lägre än enheten, det vill säga:

| X - 1 | < 2

Vilket indikerar att konvergensradie runt värdet x = 1 är:

R = 1

Å andra sidan motsvarar det tidigare uttrycket dubbelt ojämlikhet:

-2 < x - 1 < +2

Om vi ​​lägger till +1 till var och en av de tre medlemmarna i det föregående uttrycket, erhålls det:

-1 < x < 3

Vilket är seriens konvergensintervall.

Figur 1 visar den ursprungliga funktionen och Taylor -serien med nämnda funktion runt punkt X = 1. I figuren kan det verifieras att serien sammanfaller med funktionen i en miljö i punkt x = 1, men inom konvergensradie.

Referenser

1. CK-12 Foundation. Power Series: Representation av funktioner och operationer. Återhämtat sig från: CK12.org.
2. Engler, a. 2019. Integrerad kalkyl. National University of the Coast.
3. Larson, r. 2010. Beräkning av en variabel. 9na. Utgåva. McGraw Hill.
4. Gratis matematiktexter. Kraftserie. Återhämtat sig från: matematik.Liibretexts.org.
5. Wikipedia. Kraftserie. Återhämtad från: är.Wikipedia.org.
6. Wikipedia. Konvergensradie. Hämtad från: i.Wikipedia.org