Härledningsregler (med exempel)

Vilka är härledningsreglerna?

De Derrying regler De är uppsättningen indikationer att följa för att hitta det vanliga derivatet för en verklig variabel funktion f (x).

Det vanliga derivatet av funktionen f (x), betecknad som f '(x), tolkas som den omedelbara växelkursen för nämnda funktion med avseende på variabel x. Grafiskt är derivatet lutningen för tangentlinjen till kurvan för f (x), beräknat vid en given punkt vars koordinat är x_antingen, Som representerat i figuren nedan.

Derivatet som lutningen av linjen tangent till f (x) vid en given punkt. Källa: Wikimedia anemos/modifierad av F. Zapata.

Nu beräknas derivatet analytiskt genom följande gräns:

Så varje gång derivatet av någon funktion krävs bör gränsen utvärderas som anges. Det finns emellertid restregler, som lätt memoreras med lite övning och sparar arbetet med att beräkna gränsen, som i vissa fall är besvärliga.

Vilka är härledningsreglerna?

Deriveringsreglerna som visas nedan erhålls enkelt genom den formella derivatdefinitionen.

1. Omedelbara derivat

Härledd från en konstant

Derivatet av en konstant k är 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Exempel

f (x) = 5, sedan f '(5) = 0

Härledd från x

Derivatet av f (x) = x är alltid 1, det vill säga:

f (x) = x, sedan f '(x) = 1

2. Linjär funktion härledd

Den linjära funktionen har formen:

f (x) = yxa

Där a är ett riktigt nummer.

Dess derivat är:

f '(x) = a

• Exempel

Låt f (x) = 3x, sedan:

f '(x) = 3

3. Härledd från en summa

Om f (x) är summan eller subtraktionen av två funktioner u och v, båda differentierbara:

f (x) = u ± v

Så:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Härrörande från den relaterade funktionen

Den relaterade funktionen är summan av två termer:

Kan tjäna dig: kombinerade operationer

f (x) = ax + b

Där a och b är verkliga siffror. Tillämpa summan av summan:

f '(x) = (ax)' + (b) '

Men:

(ax) '= a (regel 2)

(b) '= 0 (regel 1)

Därför:

f '(x) = a

• Exempel

Derivatet av f (x) = −8x + 6 är:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Härledd från en kraft

Fall 1

Låt f (x) vara en potentiell funktion av formen f (x) = xⁿ, så:

f (x) = xⁿ ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Exempel

När du härstammar:

f (x) = x³

Resultat:

f '(x) = 3⋅x^3-1 = 3x²

Fall 2

Om funktionen har formen f (x) = yxaⁿ, Där a är ett verkligt antal kommer det ut ur derivatet:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Exempel

Härleda:

f (x) = 4x⁵

Erhålles:

f '(x) = 4 ∙ 5 x^5-1 = 20x⁴

Fall 3

Om exponenten är fraktionerad fortsätter den på samma sätt som det förklarades i fall 1 och 2. Detta inträffar när variabel X hittas som ett argument för en rot.

• Exempel

Vara funktionen:

f (x) = 3x^3/2

Derivatet är:

 Om du vill skriva i form av rot:

5. Produkt härledd

Produktregeln gäller för produktformade funktioner mellan två U- och V -funktioner, båda differentierbara:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

Det vill säga derivatet av produkten från två funktioner är derivatet av det första, vid den andra utan att härleda, plus det första utan att härleda, multiplicerat med derivatet av det andra.

• Exempel

Hitta, enligt produktregeln och reglerna som beskrivs ovan, derivatet av:

G (x) = (2x+3) (4x²−1)

Det första är att bestämma vem du och v är, att komma ihåg att ordningen på faktorerna inte förändrar produkten, de kan väljas på detta sätt:

• U = 2x+3
• V = 4x²−1

Sedan höjs produktregeln och de angivna derivaten löses, enligt reglerna som beskrivs ovan:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²−1) '

Kan tjäna dig: linjär programmering: vad är det för, modeller, begränsningar, applikationer

Du måste:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Byter ut:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

Derivatet är redan klart, men uttrycket kan fortfarande vara faktor:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Detta resultat kan också erhållas genom att tidigare tillämpa distribuerande egendom på produkten (2x+3) (4x²−1) och sedan använder reglerna från 1 till 4. Det är kvar som träning för läsaren.

6. Härrörande från kvoten

Vara en funktion av form:

Med tillstånd V ≠ 0, och att både, u och v, är differentierbara. I detta fall beräknas dess derivat genom:

• Exempel

Hitta derivatet av:

För det här exemplet måste du:

• U = x+1
• v = x²

Förhållandet mellan kvotregeln leder till:

För vilket det är nödvändigt att ersätta följande:

• (x+1) '= 1
• (x²) '= 2x
• (x²)² = x⁴

Och när du ersätter det är:

Att tillämpa distributivegenskap i telleren och minska termerna, uttrycket för f '(x) är:

Övningen kunde ha lösts på ett annat sätt, omskrivning f (x) som:

f (x) = (x+1) ∙ x⁻²

Och sedan tillämpa produktregeln och lite algebra. Det lämnas som träning för läsaren att verifiera att det erhålls identiskt resultat.

7. kedjeregeln

Gäller för kompositfunktioner, form:

f = f (u)

Där u = g (x)

Derivatet utförs enligt följande:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

En g '(x) är känd som Inre derivat. Att tillämpa kedjeregeln är enklare än det verkar vid första anblicken, se detta exempel:

• Exempel

Tillämpa kedjeregeln, hitta derivatet av:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Därför f (u) = u⁷ Och dess derivat, enligt regel 4 är:

f '(u) = 7U⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Detta resultat sparas och det interna derivatet g '(x) beräknas:

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Här är det nödvändigt att tillämpa reglerna successivt: 3 (för summan/subtraktionen av funktioner), 4 (för krafter) och 1 (för derivat av en konstant).

Det kan tjäna dig: köteori: historia, modell, vad är det för och exempel för

Erhålles:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

Det sista steget är att multiplicera resultaten:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

Och slutligen ordna om faktorerna:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Härrörande från trigonometriska funktioner

Derivaten av trigonometriska funktioner är:

• Exempel

Härleda:

H (x) = sin (4x)

Gör u = 4x och tillämpning av kedjeregeln erhålls:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Härrörande från omvända trigonometriska funktioner

De visas i följande tabell:

• Exempel

Härleda:

g (x) = arct tg (-2x)

Tänk alltid på kedjeregeln, u = -2x är klar och derivatet är:

10. Härrörande från exponentiella och logaritmiska funktioner

Exponentiell funktion

Om basen är nummer E:

f (x) = e^x ⇒ f '(x) = e^x

När basen är ett nummer A:

f (x) = a^x ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^x

Logaritmisk funktion

När en Neperian logaritmfunktion härleds:

f (x) = ln x

När det gäller en logaritm på en annan bas:

f (x) = logg_till x

• Exempel

Härleda:

H (x) = x ∙ lnx

elva. Implicit derivat

De används när clearance av y (x) inte är omedelbar, därför finns det inget uttryckligt uttryck för f (x), som i tidigare fall. Trots detta är det möjligt att hitta derivatet med proceduren som illustreras i följande exempel:

• Exempel

Implicit härleder följande uttryck för att hitta och ':

4x³+11xy²−2y³ = 0

Som ni ser är det inte lätt att hitta och beroende på X direkt, så för att hitta det begärda derivatet tillämpas de beskrivna reglerna, med hänvisning till båda sidor av jämlikhet:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (och²) '] - (2y³) '= 0 (Sumregel och produktregel)

Målet är att rensa och ', som är det eftertraktade derivatet, för vilket kedjeregeln tillämpas:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²och '= 12x² + 11 + 22xy ∙ och ' - 6y² ∙ och '= 0

och '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0