Proportionalitetsrelationer koncept, exempel och övningar

De Proportionalitetsrelationer Dessa är länkar mellan två eller flera variabler, så att när en av mängderna varierar, så gör också värdet på de andra. Till exempel, om man ökar, kan andra öka eller minska, men i en enhetlig mängd.

De forntida grekiska matematikerna insåg att vissa variabler var relaterade på ett mycket exakt sätt. De insåg att om en cirkel är dubbelt diametern än en annan, kommer den att ha en cirkel med dubbel längd.

Figur 1. Längden på en cirkel är direkt proportionell mot dess diameter d. Källa: f. Zapata

Och om diametern tripplar, kommer konturen av omkretsen också att tredubbla. Detta innebär att en ökning i diameter ger en proportionell ökning av omkretsstorlek.

Och så kan vi bekräfta att längden på omkretsen l är proportionell mot diametern D därav, vilket uttrycks enligt följande:

L ∝ d

Där symbolen ∝ läses "direkt proportionell mot". För att ändra proportionalitetssymbolen för jämlikhet och integrera numeriska värden är det nödvändigt att bestämma länken mellan variablerna, kallad proportionalitetskonstant.

Efter att ha gjort många mätningar bestämde de forntida matematikerna att konstanten för proportionalitet mellan omkretsens storlek L och diameter D därav var nummer 3.1416 ... de suspensiva punkterna indikerar en oändlig mängd decimaler.

Detta värde är ingen annan än det berömda numret π (pi) och på detta sätt skriver vi:

L = π.D

På detta sätt är orsaken mellan längden och diametern på en cirkel densamma som orsaken mellan längd och diameter på en annan. Och det bästa är att vi nu har ett sätt att beräkna längden på någon omkrets bara genom att känna till dess diameter.

[TOC]

Exempel på proportionalitetsrelationer

I vetenskapen (och i vardagen) är det också mycket viktigt att hitta förhållanden mellan variablerna, att veta hur förändringar i en av dem påverkar den andra. Till exempel:

Kan tjäna dig: hur många diametrar har en omkrets?

-Om du kan göra ett dussin kakor behövs 3 mjölkoppar. Hur många koppar som behövs för att göra 2 och ett halvt dussintals?.

-Att veta att på planeten kvicksilver väger ett föremål fyra gånger mindre än på jorden, hur mycket kommer en 1 bil i kvicksilver.5 ton?

-Hur påverkar förändringen i den kraft som appliceras i accelerationen av den kropp som den tillämpar?

-Om ett fordon reser med enhetlig rätlinjig rörelse på en motorväg och vi vet att det reser 30 km på 10 minuter, vad kommer att vara avståndet efter 20 minuter?

-När vi har en tråd genom vilken en elektrisk ström går igenom, hur varierar spänningen mellan dess ändar om den ökar?

-Om cirkelns diameter fördubblas, hur påverkas ditt område?

-Hur påverkar avståndet till intensiteten hos det elektriska fältet som produceras av en punktlig belastning?

Svaret är i proportionalitetsrelationer, men inte alla relationer är av samma typ. Då hittar vi dem för alla situationer som uppstår här.

Direkt proportionalitet och omvänd proportionalitet

Två variabler x och y är i direkt proportion om de är relaterade av:

y = kx

Där k är proportionalitetskonstanten. Ett exempel är förhållandet mellan mängder mjöl och kakor. Om vi ​​graferar dessa variabler erhålls en rak linje som den som visas i figuren:

figur 2. Att göra 2.5 dussin kakor behöver 7.5 mjölkoppar (punkt C). Källa: f. Zapata.

Ja och är mjölkopparna och x dussintals kakor, förhållandet mellan dem är:

y = 3x

För x = 1 dussin behöver vi y = 3 koppar mjöl. Och för x = 2.5 dussin, y = 7 krävs.5 mjölkoppar.

Det kan tjäna dig: de åtta typerna av mätfel (med exempel)

Men vi har också:

-Acceleration till som upplever en kropp är proportionell mot våld F som agerar på honom, som är kroppens massa, kallad m, Proportionalitetskonstanten:

F = mtill

Därför, ju större den applicerade kraften, desto större är accelerationen producerad.

-I ohmiska ledare är V -spänningen mellan dess ändar proportionell mot den applicerade strömmen och. Proportionalitetskonstanten är förarens motstånd:

V = ri

-När ett objekt rör sig med enhetlig rätlinjig rörelse, avståndet d är proportionell mot tiden t, vara hastighet v Proportionalitetskonstanten:

d = v.t

Ibland hittar vi två mängder så att en ökning av en producerar en minska proportionell i den andra. Den här enheten kallas Omvänd proportion.

I den tidigare ekvationen är till exempel den tid som krävs för att resa ett visst avstånd d, omvänt proportionell mot hastighet V för rutten:

T = d/v

Och så, ju större hastigheten v, desto mindre tid tar bilen att resa avståndet d. Om hastigheten till exempel fördubblas, minskas tiden med hälften.

När två variabler x och y är i omvänd proportion kan vi skriva:

y = k / x

Att vara proportionalitetskonstanten. Grafen för denna enhet är:

Figur 3. 1/x graf som representerar omvänd proportionalitet. Källa: Wikimedia Commons.

Andra typer av proportionalitet

I ett av exemplen som nämnts tidigare frågade vi oss vad som händer med cirkelområdet när radien ökar. Svaret är att området är direkt proportionellt mot kvadratet på radien, proportionalitetskonstanten är π:

A = πr²

Om radien fördubblas kommer området att öka med en faktor 4.

Och i fallet med det elektriska fältet OCH producerad av en punktlig belastning q, Det är känt att intensiteten minskar med det omvända till avståndet r till lasten q:

E = k_och q/r²

Kan tjäna dig: Varför är algebra viktigt i vissa dagliga livssituationer?

Men vi kan också bekräfta att fältets intensitet är direkt proportionell mot lastens storlek, är konstanten för proportionalitet K_och, Den elektrostatiska konstanten.

Andra proportionaliteter som också förekommer inom vetenskapen är exponentiell proportionalitet och logaritmisk proportionalitet. I det första fallet är variablerna x och y relaterade genom:

y = k.till^x

Där A är basen, ett positivt antal 0, som vanligtvis är 10 eller antalet E. Till exempel har den exponentiella tillväxten av bakterier denna form.

I det andra fallet är förhållandet mellan variablerna:

y = k.logga_till x

Återigen är A basen för logaritmen, som ofta är 10 (decimal logaritm) eller E (Neperian logaritm).

Övningar

- Övning 1

Att veta att på planeten kvicksilver väger ett objekt fyra gånger mindre än på jorden, hur mycket skulle en 1 bil i kvicksilver.5 ton?

Lösning  

Kvicksilvervikt = (1/4) Vikt i jorden = (1/4) x 1.5 ton = 0.375 ton.

- Övning 2

För en fest bestämmer vissa vänner att förbereda juice från fruktig koncentrat. Förpackningsinstruktionerna säger att 15 glas juice är tillverkade av ett glas koncentrat. Hur mycket koncentrat behövs för att göra 110 glas juice?

Lösning

Låt och mängden juice och X -kärl mängden koncentratkärl. De är släkt genom:

y = kx

När du ersätter värdena y = 15 och x = 1 rensas konstanten k:

K = y/x = 15/1 = 15

Därför:

110 = 15 x

x = 110/15 = 7.33 glas fruktkoncentrat.

Referenser

1. Baldor, a. 1974. Algebra. Venezuelan kultur.TILL.
2. Giancoli, D.  2006. Fysik: Principer med applikationer. Sjätte. Ed Prentice Hall.
3. Varsity tutrorrs. Proportionalitetsrelationer. Hämtad från: WarsityTorm.com
4. Wikipedia. Proportionalitet. Återhämtad från: är.Wikipedia.org.
5. Zill, D. 1984. Algebra och trigonometri. McGraw Hill.