Chebyshov teorem det vill säga applikationer och exempel

han Chebyshov sats (eller ojämlikhet i Chebyshov) är ett av de viktigaste klassiska resultaten av sannolikhetsteorin. Det gör det möjligt att uppskatta sannolikheten för en händelse som beskrivs i termer av en slumpmässig variabel X, genom att ge oss en nivå som inte beror på fördelningen av den slumpmässiga variabeln utan på variansen av x.

Satsen kallas för att hedra den ryska matematiken.

Denna ojämlikhet, eller de som på grund av deras egenskaper kallas ojämlikheten i Chebyshov, används främst för att ungefärliga sannolikheter genom att beräkna nivåer.

Vad är Chebyshovs sats?

I studien av sannolikhetsteorin händer det att om fördelningsfunktionen för en slumpmässig variabel X är känd, kan dess förväntade värde beräknas - eller matematiskt hopp och (x) - och dess varians var (x), så länge som dessa belopp finns. Emellertid är ömsesidigt inte nödvändigtvis sant.

Det vill säga att veta E (x) och var (x) kan inte nödvändigtvis erhålla fördelningsfunktionen för x, så mängder som p (| x |> k) för vissa k> 0 är mycket svåra att få. Men tack vare Chebyshovs ojämlikhet är det möjligt att uppskatta sannolikheten för den slumpmässiga variabeln.

Chebyshovs sats berättar att om vi har en slumpmässig variabel X på ett provutrymme med en sannolikhetsfunktion p, och om k> 0, så: så:

Kan tjäna dig: acutangle triangel

Applikationer och exempel

Bland de många applikationer som Chebyshovs teorem har, kan följande nämnas:

1. Sannolikhetsgräns

Detta är den vanligaste applikationen och används för att ge en övre nivå för p (| x-e (x) | ≥k) där k> 0, endast med variansen och hoppet för den slumpmässiga variabeln x, utan att veta sannolikhetsfunktionen.

Exempel 1

Anta att antalet produkter tillverkade i ett företag under en vecka är en slumpmässig variabel med i genomsnitt 50.

Om det är känt att variansen i en vecka med produktion är lika med 25, vad kan vi säga om sannolikheten för att produktionen den här veckan skiljer sig åt med mer än 10 till genomsnitt?

Lösning

Tillämpa Chebyshovs ojämlikhet vi måste:

Från detta kan vi få att sannolikheten för att antalet artiklar överstiger i mer än 10 till genomsnittet under genomsnittet är högst 10 till genomsnittet.

2. Demonstration av begränsningsteorem

Chebyshovs ojämlikhet spelar en viktig roll för att visa de viktigaste gränserna teorems. Som ett exempel har vi följande:

Svag lag i stort antal

Denna lag konstaterar att med tanke på en succession x1, x2, ..., xn, ... av oberoende slumpmässiga variabler med samma genomsnittliga distribution e (xi) = μ och varians var (x) = σ², och ett känt genomsnittligt prov av:

Så för k> 0 måste du:

Eller likvärdig:

Demonstration

Först märker vi följande:

Som x1, x2, ..., xn är oberoende följer det:

Därför är det möjligt att bekräfta följande:

Sedan använder du Chebyshovs sats måste du:

Det kan tjäna dig: trigonometriska funktioner: grundläggande, i det kartesiska planet, exempel, träning

Slutligen är teoremet resultat från det faktum att rätt gräns är noll när N tenderar att oändliga.

Det bör noteras att detta test endast gjordes för fallet där det finns variansen av XI; det vill säga det avviker inte. Således observerar vi att teoremet alltid är sant om E (xi) finns.

Chebyshovs begränsningssats

Om x1, x2, ..., xn, ... är det en följd av oberoende slumpmässiga variabler så att det finns en del c0:

Demonstration

Eftersom variansens följd är enhetligt begränsad har vi den var (Sn) ≤ c/n, för alla naturliga n. Men vi vet det:

Att göra n till oändligheten, det är följande:

Eftersom en sannolikhet inte kan överstiga värdet på 1 erhålls det önskade resultatet. Som en följd av detta sats kan vi nämna det specifika fallet med Bernoulli.

Om ett experiment upprepas oberoende med två möjliga resultat (misslyckande och framgång), där P är sannolikheten för framgång i varje experiment och X är den slumpmässiga variabeln som representerar antalet framgångar som erhålls, för varje k> 0 måste du:

3. Provstorlek

När det gäller variansen tillåter ojämlikheten hos Chebyshov oss att hitta en provstorlek som är tillräcklig för att säkerställa att sannolikheten för att | SN-μ |> = K inträffar är så liten som önskvärt, vilket gör att du kan ha en metod till genomsnitt.

Exakt, vare sig det är x1, x2, ... xn ett prov av oberoende slumpmässiga variabler av n -storlek och antar att E (xi) = μ och dess varians σ². Så på grund av Chebyshovs ojämlikhet måste du:

Kan tjäna dig: euler nummer eller nummer e: hur mycket ok, egenskaper, applikationer

Nu vara Δ> 0 fixad. Vi måste:

Exempel

Anta att x1, x2, ... xn är ett prov av oberoende slumpmässiga variabler med Bernoulli -distribution, så att de tar värde 1 med sannolikhet p = 0.5.

Vad bör vara provstorleken för att säkerställa att sannolikheten för att skillnaden mellan det aritmetiska medelvärdet SN och dess förväntade värde (som överstiger mer än 0,1) är mindre än eller lika med 0.,01?

Lösning

Vi måste (x) = μ = p = 0,5 och vad var (x) = σ²= P (1-P) = 0,25. För Chebyshovs ojämlikhet, för alla k> 0 måste vi:

Nu, med K = 0,1 och Δ = 0,01, måste du:

På detta sätt dras slutsatsen att en provstorlek på minst 2500 behövs för att säkerställa att sannolikheten för händelsen | Sn - 0,5 |> = 0,1 är mindre än 0,01.

Chebyshov typ ojämlikheter

Det finns olika ojämlikheter relaterade till ojämlikheten i Chebyshov. En av de mest kända är Markovs ojämlikhet:

I detta uttryck x är det en icke -negativ slumpmässig variabel med k, r> 0.

Markovs ojämlikhet kan ta olika former. Till exempel antingen och en icke -negativ slumpmässig variabel (så p (y> = 0) = 1) och anta att E (y) = μ finns. Anta också att (e (y))^r= μ_r Det finns för lite heltal r> 1. Så:

En annan ojämlikhet är Gauss, som säger att med tanke på en unimodal x slumpmässig variabel med mode på noll, sedan för k> 0,