Binomial teorem

Vad är binomial teorem?

han binomial teorem Det är en ekvation som berättar hur ett uttryck för formen utvecklas (A+B)ⁿ För något naturligt nummer n. En binomial är inget annat än summan av två element, till exempel (a+b). Det tillåter oss också att veta för en term som ges av^kb^N-k Vad är koefficienten som följer med den.

Denna sats tillskrivs vanligtvis engelska uppfinnaren, fysiska och matematiker Sir Isaac Newton; Men olika poster har visat sig som indikerar att dess existens redan var känd i Mellanöstern, runt år 1000.

Skördetal

Binomial -teoremet berättar matematiskt följande:

I detta uttryck är A och B verkliga siffror och N är ett naturligt tal.

Innan vi ger demonstrationen, låt oss se några grundläggande koncept som är nödvändiga.

Kombinatornumret eller kombinationerna av N i K uttrycks enligt följande:

Detta uttrycker värdet på hur många delmängder med K -element som kan väljas från en uppsättning n -element. Hans algebraiska uttryck ges av:

Låt oss titta på ett exempel: Anta att vi har en grupp av sju bollar, varav två är röda och resten är blå.

Vi vill veta hur många sätt vi kan beställa dem i rad. Ett sätt kan vara att placera de två röda i första och andra positionen, och resten av bollarna i positionerna som finns kvar.

I likhet med det föregående fallet kunde vi ge de röda bollarna den första respektive sista positionen och ockupera de andra med blå bollar.

Nu, ett effektivt sätt att räkna hur många sätt vi kan beställa bollarna i rad använder kombinatoriska nummer. Vi kan se varje position som ett element i följande uppsättning:

Kan tjäna dig: perfekta siffror: hur man identifierar dem och exempel

Nedan är bara för att välja en delmängd av två element, där vart och ett av dessa element representerar den position som de röda bollarna kommer att ockupera. Vi kan göra detta val enligt förhållandet som ges av:

På detta sätt har vi att det finns 21 sätt att beställa sådana bollar.

Den allmänna idén med detta exempel kommer att vara mycket användbar vid demonstrationen av binomial teorem. Låt oss titta på ett visst fall: om n = 4, har vi (a+b)⁴, Det är inget mer än:

När vi utvecklar denna produkt har vi summan av termerna som erhållits genom att multiplicera ett element i var och en av de fyra faktorerna (A+B). Således kommer vi att ha termer som kommer att vara i form:

Om vi ​​ville få formuläret till formen till⁴, Det räcker bara för att multiplicera på följande sätt:

Observera att det bara finns ett sätt att få detta element; Men vad händer om vi nu letar efter slutet på formen till²b²? Eftersom "a" och "b" är verkliga siffror och därför är det värt den kommutativa lagen, måste vi få denna term är att multiplicera med medlemmarna som anges av pilarna.

Att utföra alla dessa operationer är vanligtvis något tråkigt, men om vi ser termen "A" som en kombination där vi vill veta hur många sätt vi kan välja två "A" från en uppsättning av fyra faktorer, kan vi använda idén om Föregående exempel på föregående exempel. Så vi har följande:

Således vet vi att i den slutliga utvecklingen av uttrycket (A+B)⁴ Vi kommer att ha exakt 6: e²b². Med samma idé för andra element måste du:

Kan tjäna dig: transcendenta nummer: vad är, formler, exempel, övningar

Sedan lägger vi till de uttryck som erhållits ovan och vi måste:

Det är en formell demonstration för det allmänna fallet där "n" är något naturligt antal.

Demonstration

Observera att termerna kvar vid utveckling (A+B)ⁿ De är från formen till^kb^N-k, där k = 0,1, ..., n. Med tanken på det föregående exemplet har vi sättet att välja "K" -variabler "A" av "N" -faktorerna är:

När vi väljer på detta sätt väljer vi automatiskt N-K-variabler "B". Detta följer det:

Exempel

Med tanke på (A+B)⁵, Vad skulle vara din utveckling?

För det binomiala teoremet måste vi:

Binomial teorem är mycket användbart om vi har ett uttryck där vi vill veta vad som är koefficienten för en specifik term utan att behöva utföra hela utvecklingen. Som ett exempel kan vi ta följande okända: Vad är X -koefficienten⁷och⁹ I utvecklingen av (x + y)¹⁶?

För binomial teorem har vi att koefficienten är:

Ett annat exempel skulle vara: vad är X -koefficienten⁵och⁸ I utvecklingen av (3x-7y)¹³?

Först skriver vi om uttrycket på ett bekvämt sätt; detta är:

Sedan använder vi binomial teorem att den eftertraktade koefficienten är när du har k = 5

Ett annat exempel på användningen av denna teorem är att demonstrera några vanliga identiteter, till exempel de vi kommer att nämna nedan.

Identitet 1

Om "n" är ett naturligt antal måste vi:

För demonstrationen använder vi binomialteoremet, där både "A" och "B" tar värdet av 1. Då har vi:

På detta sätt har vi bevisat den första identiteten.

Kan tjäna dig: slumpmässiga val med eller utan ersättning

Identitet 2

Om "n" är ett naturligt tal, då

För det binomiala teoremet måste vi:

En annan demonstration

Vi kan göra en annan demonstration för binomial teorem med den induktiva metoden och identiteten på Pascal, som säger att, om "n" och "k" är positiva heltal som uppfyller n ≥ k, då:

Induktionsdemonstration

Låt oss se att den induktiva basen är uppfylld.  Om n = 1 måste vi:

Vi ser verkligen att det är uppfyllt. Nu, antingen n = j så att det är uppfyllt:

Vi vill se att för n = j+1 är det sant att:

Så vi måste:

Genom hypotes vet vi att:

Sedan använder du distribuerande egendom:

Därefter är att utveckla var och en av sammanfattarna:

Nu, om vi grupperar bekvämt, måste vi:

Med hjälp av Pascals identitet måste vi:

Slutligen, notera att:

Därför ser vi att binomial teorem uppfylls för varje "n" som tillhör naturliga siffror, och med detta slutar testet.

Nyfikenhet

Kombinatornumret (NK) kallas också binomial koefficient eftersom det är just den koefficient som visas i utvecklingen av binomialen (A+B)ⁿ.

Isaac Newton gav en generalisering av detta teorem för fallet där exponenten är ett verkligt antal; Detta sats är känt som Newtons binomial teorem.

Redan i antiken var detta resultat känt för det specifika fallet där n = 2. Detta fall nämns i Föremål av Euclid.