Likbent triangel

Isosceles triangel har två lika sidor och en annan

Vad är en likved triangel?

En likbent triangel Det är en tresidig polygon, där två av dem har samma mått och den tredje sidan en annan mått. Denna sista sida kallas bas. På grund av detta kännetecken gavs detta namn, vilket på grekiska betyder "lika ben".

Trianglar är polygoner som betraktas som de enklaste i geometri, eftersom de bildas av tre sidor, tre vinklar och tre vertikaler. Det är de som har minst antal sidor och vinklar med avseende på de andra polygonerna, men deras användning är mycket omfattande.

Egenskaper hos isosceles trianglar

Isosceles triangel klassificerades med hjälp av måtten på sidorna som en parameter, eftersom två av dess sidor är kongruenta, det vill säga de har samma längd.

Enligt amplituden hos de inre vinklarna klassificeras isosceles trianglar som:

• Isosceles rektangel triangel: Två av dess sidor är desamma. En av dess vinklar är rak (90^antingen) Och de andra är desamma (45^antingen varje)
• Isosceles stöt triangel: Två av dess sidor är desamma. En av dess vinklar är stöt (> 90^antingen).
• Isosceler acutangle triangel: Två av dess sidor är desamma. Alla dess vinklar är akuta (< 90^antingen), Där två har samma mått.

Komponenter

• Median: Det är en linje som lämnar från mittpunkten på ena sidan och når motsatt toppunkt. De tre medierna deltar vid en punkt som heter Baricentro eller Centroid.
• Bisektorn: Det är en halv -rätt som delar upp vinkeln för varje toppunkt i två vinklar med lika mått. Det är därför det kallas symmetriaxel, och denna typ av trianglar har bara en.
• MediTrix: Det är ett segment vinkelrätt mot triangelns sida, som härstammar mitt i detta. Det finns tre mediatiker i en triangel och deltar i en punkt som heter Circumcentro.
• Höjden: Det är linjen som går från toppunkten till sidan som är motsatt och även denna linje är vinkelrätt mot den sidan. Alla trianglar har tre höjder, som sammanfaller vid en punkt som kallas ortocenter.

Isosceles trianglar egenskaper

Isosceles trianglar definieras eller identifieras eftersom de har flera egenskaper som representerar dem, härstammar från de teorier som föreslagits av stora matematiker:

Inre vinklar

Summan av inre vinklar är alltid lika med 180^antingen.

Sidans summa

Summan av måtten på två sidor bör alltid vara större än måttet på den tredje sidan, a + b> c.

Kongruentsidor

Isosceles trianglar har två sidor med samma mått eller längd; det vill säga de är kongruenta, och den tredje sidan skiljer sig från dessa.

Kongruent vinklar

Isosceles trianglar är också kända som isoangulösa trianglar, eftersom de har två vinklar som har samma mått (kongruent). Dessa är belägna vid basen av triangeln, i motsats till sidorna som har samma längd.

Kan tjäna dig: trapezoidal prismat

På grund av detta, teoremet som fastställer det:

"Om en triangel har två kongruenta sidor kommer vinklarna som motsätter sig dessa sidor också att vara kongruenta". Därför, om en triangel är likvida, är vinklarna på dess baser kongruenta.

Exempel:

I följande figur observeras en ABC -triangel. När man drar sin bisektor från toppen av vinkel B till basen är triangeln uppdelad i två BDA- och BDC -trianglar:

Bisector som delar upp i två trianglar lika med isosceles triangel

På detta sätt delades också vinkeln på toppunkt B i två lika vinklar. Bisektorn är nu den vanliga sidan (BD) mellan dessa två nya trianglar, medan sidorna AB och BC är de kongruenta sidorna. Detta är fallet med sida, vinkel, sida (lal).

Det visar att vinklarna på vertikalerna A och C har samma mått, liksom det kan demonstreras att eftersom BDA- och BDC -trianglarna är kongruenta, är AD- och DC -sidorna också.

Höjd, median, mediTrix och bisektor är sammanfallande

Linjen som dras från toppunkten mittemot basen till mittpunkten för isosceles triangelbasen är samtidigt höjden, medianen och mediatrixen, såväl som bisektorn relativt basens motsatta vinkel.

Alla dessa segment sammanfaller i en som representerar dem.

Exempel:

I följande figur observeras ABC -triangeln med en medellång M som delar upp basen i två BM- och CM -segment.

Höjd, median, mediTrix och bisektor är sammanfallande

När du drar ett segment från punkt M till motsatt toppunkt erhålls per definition median AM, vilket är relativt toppunkt A och till BC -sidan.

När AM -segmentet delar upp ABC -triangeln i två lika trianglar AMB och AMC, betyder det att fallet med sida, vinkel, sida och därför kommer AM också att vara bisektor för Bâc.

Det är därför bisektorn alltid kommer att vara lika med medianen och vice versa.

AM -segmentet bildar vinklar som har samma mått för AMB- och AMC -trianglar; Det vill säga de är kompletterande, så att måttet på var och en kommer att vara:

Med. (Amb) + Med. (AMC) = 180^antingen

2 _* Med. (AMC) = 180^antingen

Med. (AMC) = 180^antingen ÷ 2

Med. (AMC) = 90^antingen

Det kan vara känt att vinklarna som bildas av AM -segmentet beträffande triangelns bas är raka, vilket indikerar att detta segment är helt vinkelrätt mot basen.

Därför representerar det höjden och mediatrixen, att veta att M är mittpunkten.

Därför är linjen AM:

• Representerar höjden på BC.
• Är medelstor.
• Det finns i BC MediaTrix.
• Det är bisektorn i toppunkten

Relativa höjder

Höjderna som är relativt de lika sidorna har också samma mått.

Kan tjäna dig: perfekta siffror: hur man identifierar dem och exempel

Eftersom Isosceles triangel har två lika sidor kommer dess två respektive höjder att vara densamma.

Orocentro, Baricentro, Incentro och Colecentro Coinsides

Eftersom höjden, median, bisector och MediaTrix relaterade till basen representeras samtidigt av samma segment, kommer Orthocenter, Baricentro, Incentre och Circumcentro att vara colinealpunkter, det vill säga de kommer att hittas i samma linje:

Ortocenter, Baricentro, Incentro och Circumcentro är också sammanfallande

Isosceles trianglar beräkning

Hur man beräknar omkretsen?

Omkretsen av en polygon beräknas med sidorna av sidorna.

Liksom i detta fall har Isosceles -triangeln två sidor med samma mått, dess omkrets beräknas med följande formel:

P = 2_*(sida A) + (sida B).

Hur man beräknar höjden?

Höjden är linjen vinkelrätt mot basen, delar triangeln i två delar lika genom att sträcka sig till motsatt toppunkt.

Höjden representerar motsatt kateto (a), hälften av basen (b/2) till den intilliggande kateto och "a" -sidan representerar hypotenusen.

Beräkning av höjden på en isosceles triangel

Med hjälp av Pythagoras teorem kan värdet på höjden bestämmas:

till² + b² = c²

Var:

till² = höjd (h).

b² = B / 2.

c² = sida a.

Ersätta dessa värden i Pythagoras teorem och rensa den höjd du har:

h² + (b / 2)² = till²

h² + b² / 4 = till²

h² = till² - b² / 4

H = √ (till² - b² / 4).

Om vinkeln som bildas av de kongruenta sidorna är känd, kan höjden beräknas med följande formel:

Hur man beräknar området?

Trianglarna beräknas alltid med samma formel, vilket multiplicerar basen efter höjd och delning med 2:

Det finns fall där endast måtten på två sidor av triangeln är kända och vinkeln som bildas mellan dem. I detta fall, för att bestämma området är det nödvändigt att tillämpa de trigonometriska skälen:

Hur man beräknar triangelbasen?

Eftersom Isosceles triangel har två lika sidor, för att bestämma värdet på dess bas är det nödvändigt att veta åtminstone måtten på höjden eller en av dess vinklar.

Genom att känna till höjden används Pythagoras teorem:

till² + b² = c²

Var:

till² = höjd (h).

c² = sida a.

b² = B / 2, är okänd.

Vi rensar B² av formeln och vi måste:

b² = a² - c²

B = √ a² - c²

Eftersom detta värde motsvarar hälften av basen måste det multipliceras med 2 för att erhålla det fullständiga måttet på Isosceles triangelbas:

B = 2 _* (√ a² - c²)

I händelse av att endast värdet på dess lika sidor och vinkeln mellan dem är känd, appliceras trigonometri, och drar en linje från toppen till basen som delar isosceles triangel i två rektanglar trianglar.

På detta sätt beräknas hälften av basen med:

Värdet på höjden och vinkeln på toppunkten som motsätter sig basen är också känt. I så fall kan basen genom trigonometri bestämmas:

Övningar

Första träning

Hitta Isosceles ABC Triangle -området, och vet att två av dess sidor mäter 10 cm och den tredje sidan mäter 12 cm.

Det kan tjäna dig: antiderivativ: formler och ekvationer, exempel, övningar

Lösning

För att hitta triangelområdet är det nödvändigt.

Följande isosceles triangeldata finns tillgängliga:

• Lika sidor (a) = 10 cm.
• Bas (b) = 12 cm.

Värden byts ut i formeln:

Andra träning

Längden på de två lika sidorna av en isosceles triangel mäter 42 cm, föreningen på dessa sidor bildar en vinkel på 130^antingen. Bestäm värdet på den tredje sidan, området för den triangeln och omkretsen.

Lösning

I detta fall är måtten på sidorna och vinkeln kända mellan dessa.

Att känna till värdet på den saknade sidan, det vill säga basen för den triangeln, en linje vinkelrätt mot den dras, delar vinkeln i två lika delar, en för varje rektangel triangel som bildas.

• Lika sidor (a) = 42 cm.
• Vinkel (ɵ) = 130^antingen

Nu, genom trigonometri, beräknas värdet på hälften av basen, vilket motsvarar hälften av hypotenusen:

För att beräkna området är det nödvändigt att veta höjden på den triangeln, som kan beräknas med trigonometri eller av Pythagoras teorem, nu när basens värde redan bestämdes.

Av trigonometri kommer att vara:

Omkretsen beräknas:

P = 2_*(sida A) + (sida B).

P = 2_* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tredje träning

Beräkna de inre vinklarna i isosceles triangeln, veta att basvinkeln är â = 55^antingen

Lösning

För att hitta de två saknade vinklarna (ê och ô) är det nödvändigt att komma ihåg två egenskaper hos trianglarna:

• Summan av de inre vinklarna i varje triangel kommer alltid att vara = 180^antingen:

 + ê + ô = 180 ^antingen

• I en isosceles triangel är basens vinklar alltid kongruenta, det vill säga de har samma mått därför:

 = ô

Ê = 55^antingen

För att bestämma värdet på vinkeln ê ersätts värdena på de andra vinklarna i den första regeln och ê rensas:

55^antingen + 55^antingen + Ô = 180 ^antingen

110 ^antingen + Ô = 180 ^antingen

Ô = 180 ^antingen - 110 ^antingen

Ô = 70 ^antingen.

Referenser

1. Álvarez, E. (2003). Geometrielement: med många övningar och kompassgeometri. University of Medellin.
2. Álvaro Rendón, till. R. (2004). Teknisk ritning: Aktivitetsnotbok.
3. Ängel, a. R. (2007). Elementär algebra. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, L. H. (nitton nittiosex). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
5. Baldor, a. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematik 2.
7. Tuma, j. (1998). Teknisk matematikhandbok. Wolfram Mathworld.