Trinomiell

En trinomial är ett polynom med tre termer. Källa: f. Zapata.

Vad är en trinomial?

Ett trinomial är ett polynom som består av den angivna summan av tre olika termer, det vill säga den är byggd algebraiskt tre monomialer av olika grader, antingen en eller flera varierande. De är mycket vanliga polynom i algebra.

Några exempel på trinomialer är följande:

• x² + 5x - 3 (grad 2)
• x- x² - 6x³  (Trinomial av grad 3)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinomial av absolut grad 3, grad 3 i X och klass 2 i Y)

Den första och andra av dessa trinomials är av en enda variabel, i detta fall variabeln "X", medan den tredje trinomialen är två variabler "X" och "Y".

Exempel på trinomialer

Det finns flera typer av trinomialer som presenteras i många applikationer, bland vilka är:

Perfekt fyrkantig trinomial

En perfekt fyrkantig trinomial erhålls när man utvecklar kvadratet för en summa eller kvadratet för en skillnad i termer. Båda utvecklingen är kända som anmärkningsvärda produkter.

Först och främst har du kvadratet av summan: (a + b)². När du utvecklar detta uttryck får du:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ B + B ∙ A + B²

De två centrala termerna är identiska och reduceras till 2a ∙ B, därför:

(A + B)² = a² + 2a ∙ B + B²

Trinomialen a² + 2a ∙ B + B² innehåller två perfekta rutor: a² och b², Medan den återstående termen är lika med den dubbla produkten från de två termerna i den ursprungliga binomialen.

Kvadratet för en skillnad är en trinomial som liknar den föregående, med undantag för ett negativt tecken som påverkar den dubbla produkten av termerna för den ursprungliga binomialen:

(A - B)² = (a - b) × (a - b) = a² - A ∙ B - B ∙ A + B²

Återigen reduceras de liknande termerna till en enda term och det erhålls att:

Kan tjäna dig: Moivre -sats

(A - B)² = a² - 2A ∙ B + B²

Det är inte längre möjligt att minska resultatet.

Dessa anmärkningsvärda, lätt memoriserbara produkter, associerar en perfekt fyrkantig trinomial med kvadratet på motsvarande binomial, till exempel:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12 ∙ y + 9

Det bör noteras att inte alla perfekta fyrkantiga trinomialer är en variabel eller klass 2. Här är exempel på denna typ av trinomialer med två och fler variabler och även med olika grader av 2:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + och²
• (2Z² + och)² = 4Z⁴ + 4 ∙ Z²och + och²
• (5xy³ - z)² = 25x²och⁶ - 10 XY³z + z²

Trinomial av X -formen² + bx + c

I detta trinomial är bara ett av villkoren perfekt fyrkantig, i det här fallet är det x² och dess numeriska koefficient är 1. Följande B⋅X -termin är linjär och den sista termen är den oberoende termen. Exempel på denna typ av trinomialer är:

• x² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• och² - 4 ∙ y + 3 (b = −4; c = 3)
• m² - 12 ∙ M + 11 (B = −12; C = 11)

TRINOMIAL OF AX FORM² + bx + c

Det liknar de tidigare, förutom att koefficienten för den kvadratiska termen skiljer sig från 1, som i dessa trinomialer:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6y² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29 ∙ M + 90 (A = 2; B = 29; C = 90)

Trinomial faktorisering

En mycket frekvent algebraisk operation är trinomial faktorisering, som består av att skriva dem som produkten från olika faktorer på 1. Det finns specifika förfaranden för var och en av de beskrivna trinomialerna.

Perfekt fyrkantig trinomial faktorisering

De kan faktoriseras genom inspektion från anmärkningsvärda produkter:

(A + B)² = a² + 2a ∙ B + B²

(A - B)² = a² - 2A ∙ B + B²

Stegen för att faktorera en perfekt fyrkantig trinomial är:

1.- Verifiera att trinomialen innehåller två perfekta rutor till² och b², Båda termerna måste föregås av samma tecken, vanligtvis skylten +. Om båda föregås av tecken - kan detta vara faktor utan problem.

Kan tjäna dig: perfekt fyrkantig trinomial

2.- Bestämma värdena på A och B genom att extrahera kvadratroten på A² och b².

3.- Bekräftar att den tredje terminen är den dubbla produkten av A och B.

Trinomial faktorisering av X -formen² + bx + c

Detta är trinomialen med en unik kvadratisk term, för att faktorera den är skriven som den två binomialprodukten:

x² + Bx + C = (x + r) ∙ (x + s)

Där R och S är två siffror att bestämma.

Observera att när du utvecklar höger sida, genom distributiv egendom, erhålls det:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Så så att detta uttryck återspeglar det ursprungliga trinomet måste siffrorna U och V uppfylla följande förhållanden:

R ∙ s = c
R + s = b

Vissa trinomialer i X -formen² + BX + C tillåter inte faktorisering med denna metod, men de kan vara faktor med hjälp av den allmänna formeln eller lösningsmedelsformeln.

Trinomial faktorisering av yxformen² + bx + c

En procedur för att faktorera denna typ av trinomialer är:

1. Multiplicera och dela trinomialen med koefficienten "A"
2. Gör produkten mellan "A" och den första och den tredje terminen i trinomialen och lämnar produkten utan att göra den andra terminen.
3. Förfarandet som beskrivs i föregående avsnitt tillämpas på trinomialen, det vill säga den är skriven som produkten av två binomialer, men i detta fall är den första termen för varje binomial inte "x", utan "a ∙ x".
4. Två N -siffror R och S söks att A ∙ C = R ∙ S och även R + S = B
5. Slutligen är de binomialer som är, se övningen löst 3 förenklas så långt som möjligt.

Löst övningar

Övning 1

Hitta trinomialen som resulterar när du utvecklar följande anmärkningsvärda produkt: (4x - 3y)²

• Lösning

Den anmärkningsvärda produktformeln för kvadratet för en skillnad tillämpas, vilket resulterar i:

Det kan tjäna dig: Rektangulära koordinater: Exempel och övningar löst

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Övning 2

Fakta följande trinomial:

x² +  5x + 6

• Lösning

Detta är en trinomial av X -formen² + Bx + C, med B = 5 och C = 6, så att du kan försöka faktorera med proceduren som beskrivs ovan. För att göra detta måste du hitta två R- och S -nummer som multipliceras erhålls 6 och läggs till i 5:

R ∙ S = 6 och R + S = 5.

De sökta siffrorna är R = 3 och S = 2, eftersom de uppfyller dessa villkor därför:

x² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Det lämnas som träning för läsaren att verifiera att utvecklingen av höger sida lätt nås till den ursprungliga trinomialen.

Övning 3

Faktorisera 3x² - 5x - 2.

• Lösning

Detta är en trinomial av yxans form² + Bx + C, med a = 3, b = −5 och c = −2. Processen är:

-Multiplicera och dela med a = 3:

Gör produkten av "A" för den första och tredje terminen, vilket lämnar produkten indikerad med den andra terminen:

Nu måste du skriva de två binomialprodukten, vars första term är 3x och leta efter två R- och S -nummer så att:

• När det multipliceras i −6
• Och när det läggs till algebraiskt erhålls det −5

Dessa siffror är r = −6 och s = 1:

Slutligen förenklas den resulterande binomialprodukten:

Föreslagna övningar

Faktorera följande trinomialer: ²

1. x² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6Z + 8

Referenser

1. Baldor. 1977. Elementär algebra. Venezuelanska kulturella utgåvor.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice hall.
3. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik för beräkning. Femte. Utgåva. Cengage Learning.
4. Zill, D. 1984. Algebra och trigonometri. Första. Utgåva. McGraw Hill.
5. Zill, D. 2008. Preccculment med beräkningsförskott. 4th. Utgåva. McGraw Hill.