De faktorisk notation Det används för att beräkna produkten från den första n naturliga siffror, det vill säga positiva heltal, från 1 till värdet av n. Det betecknas av ett tecken på beundran och kallas n Factorial:

n! = 1⋅2⋅3 .. . (N-1) ⋅n

Att beräkna faktorn för ett nummer är enkelt, till exempel uttrycks produkten från de sex första naturliga siffrorna av:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Figur 1. Factorial Notation kan skrivas kompakt av produktsymbolen från k = 1 till n. Källa: f. Zapata.

Faktorer visas i frågor som Newtons binomial och kombinatorisk teori som ofta används vid beräkningen av sannolikheter. I dessa visas samtal ofta Skördetal som kan uttryckas som faktoral.

Notationen n! Det är skapandet av den franska läkaren och matematisk. Oberoende upptäcktes faktorialerna också av en annan fransk matematiker: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Liksom med sammanfattningarna finns det ett sätt att uttrycka produkten från de första n naturliga siffrorna på ett sammanfattande sätt:

 Symbolen som liknar en stor bokstav "pi" som visas i uttrycket kallas "producerande" eller "multiplikatorisk".

Faktaegenskaper

Låt M och N två positiva heltal, det uppfylls att:

1. Genom bekvämligheten enades man om att definiera 0! Som lika med 1 är det: 0! = 1.
2. Värdet på 1! = 1
3. Ja! = B!, Det betyder att a = b, förutsatt att a⋅b ≠ 0. Undantaget är värden 0 och 1, eftersom 1! = 1 = 0!, Som nämnts, men det är uppenbart att 1 ≠ 0.
4. Ja m < n, entonces m! < n! och därför m! Det finns i n!:
   n! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4 ... (m -1) ⋅m ... n
5. För n större än eller lika med 2 måste du:
   n! = N⋅ (n-1)!
   Sedan enligt definitionen:
   n! = [1⋅2⋅3⋅ 4⋅5 .. . (N-1)] ⋅n
   Uttrycket i fyrkantiga parenteser är exakt (N-1)!
6. N⋅n! = (n+1)! - n!
   Faktum är att höja verksamheten på den högra sidan av jämlikhet:
   (N+1)! - n! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 ... N ⋅ (n+1)] - [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5 .. . n] =
   = [1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5 .. . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5 .. . n] ⋅ n = n! ⋅ n

Kan tjäna dig: konvergensradio: definition, exempel och övningar löst

Co-factorial, semi-data eller kvasi-phacutorials av ett nummer

Semi -skådespelaren för ett naturligt nummer beror på om det är jämnt eller udda. I notationen används och definieras det dubbla tecknet på beundran eller dubbelfaktorial av följande regel:

-Om n är jämnt:

n!! = 2⋅4⋅6⋅8 ... n

-Om N är udda:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7 ... n

Formler för halvfaktorials

Följande formler hjälper till att beräkna halvfaktorialer lättare, särskilt när det gäller stort antal.

Följande observeras för fallet att n är jämnt:

n!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4) ... 2⋅ (n/2) = (2⋅ 2⋅2⋅2....) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4 ... (n/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

Och om n är udda, då:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7 ... n

Multiplicera och dela samtidigt med [2 . 4 . 6 ... (n - 1)], uttrycket kvarstår:

n!! = [1Mero

Men beloppet mellan nycklarna är:

1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7 .. . (N -1) ⋅n

Och detta är n!, Som ses ovan, då, när du ersätter:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6 ... (n -1)]

Vad som finns på torget skrivs om så här:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6 ... (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Därför:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6 ... (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Exempel

Ovanstående egenskaper tillämpas för att förenkla uttryck som innehåller faktor, med hänsyn till att följande uttryck i allmänhet inte är likvärdiga:

1. (m ± n)! ≠ m! ± N!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (mⁿ)! ≠ (m!)ⁿ
5. (m!)! ≠ m!!

Exempel 1

När du direkt beräknar dessa faktorer:

till 5!

Det kan tjäna dig: frekvens sannolikhet: koncept, hur det beräknas och exempel

b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

Värden erhålls:

till 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2⋅4 = 8

d) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

e) 14!! = 14⋅12⋅10⋅8⋅6⋅4⋅2 = 645120

f) (2n+1)!! = 1⋅3⋅5⋅7 ... (2n-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)

Resultaten av a) upp till e) kan också bekräftas med en räknare. Vetenskapliga kalkylatorer har en funktion för att direkt beräkna värdet på x!.

Som framgår är resultaten från factorials, utom med litet antal, värden som växer mycket snabbt.

Exempel 2

Följande fraktionella uttryck kan förenklas när du använder egenskaperna:

Löst övningar

Motion Löst 1

Kontrollera, med hjälp av formeln för samverkan har dessa resultat tidigare erhållits:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Lösning till

Eftersom 11 är udda ersätts värdena noggrant i lämplig formel:

n!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

Och sedan förenklas resultatet av egenskaperna hos faktorerna:

elva!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Som förväntat erhölls samma resultat som genom att beräkna 11!! Direkt är det dock fördelaktigt att använda formeln för ett stort n -värde, eftersom det gör det möjligt att uttrycka det dubbla faktoret som en produkt av två faktorer.

Lösning B

Genom att tillämpa den halvfabriksformeln för N TAR och ersätta värden erhålls följande:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Motion Löst 2

Skriv följande operationer som faktoriska kvoter:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

b) n⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Lösning till

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Lösning B

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Lösning C

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Motion löst 3

Det finns fyra rutor av färger: blå, orange, violet och grönt, och du vill hitta varandra efter det andra på ett bord. Hur många sätt kan rutorna placeras?

Kan tjäna dig: konstant funktion: egenskaper, exempel, övningar figur 2. Hur många kombinationer kan göras genom att anpassa fyra färger?. Resultatet kan uttryckas som en faktoralnummer källa: f. Zapata.

Lösning

Det finns flera sätt att bortskaffa rutorna, till exempel fixa färgen först. Här är några alternativ:

-Blå, orange, violet och grönt

-Blå, grön, orange och violet

-Blå, violet, grön och orange

Och så vidare. Läsaren kan verifiera att det finns 6 kombinationer av rutor som börjar med blått.

Observera att när du ställer in en färg som det första alternativet kan du fixa de andra tre färgerna. När den andra är fixerad finns det 2 att välja, och när denna färg har valts återstår endast en färg.

Detta kan uttryckas med produkt: 4⋅3⋅2⋅1, vilket är faktorn för 4!:

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Det dras slutsatsen att det totalt finns 24 möjliga kombinationer.

På detta sätt att organisera det kallas det permutation, där ordningen i vilken elementen är placerade.

Motion Löst 4

Lös följande ekvationer:

yxa² + x)! = 720

Lösning till

I början sågs man att 6! = 720, därför:

(x² + x)! = 6!

Då måste mängden mellan parentes vara 6:

x² + x = 6

Detta är en andra gradsekvation i x:

x² + x - 6 = 0

Denna ekvation kan lösas med den allmänna formeln eller genom trinomial faktorisering.

Med hjälp av denna sista metod faktoriseras trinomialen enligt följande:

x² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

Ekvationslösningarna är x₁ = -3 och x₂ = 2

Lösning B

Både telleren och nämnaren är faktor i syfte att förenkla det mest som uttrycket kan vara. Till att börja med kan du i nämnaren vara faktor (x+7)!

Med detta är det möjligt att avbryta termen (x+7)!, Vistelse:

Som (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! Nämnaren kan avbrytas och återstår:

(x+8)! = 14!

Fastighet 3 är en enkel ekvation:

x+8 = 14

x = 6

Referenser

1. Hoffman, J.G. Urval av matematikfrågor. Ed. Spphinx.
2. Lipschutz, s. 2007. Diskret matematik. Schaumserie. 3: e. Utgåva. McGraw Hill.
3. Matematik är kul. Factorialfunktion. Återhämtat sig från: Mathisfun.com.
4. Smart. Faktorial Vad använder vi dem för?. Återhämtat sig från: smartick.är.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik för beräkning. Femte. Utgåva. Cengage Learning.