Diskret slumpmässig variabel

Vi förklarar vad som är en diskret slumpmässig variabel, dess egenskaper, vi ger exempel och löser övningar

Vad är en diskret slumpmässig variabel?

En diskret slumpmässig variabel Det är ett numeriskt värde som erhållits slumpmässigt, som ett resultat av ett experiment och som bara tar ändliga eller redovisningsvärden. Detta innebär att med tanke på två på varandra följande värden på variabeln finns det inget mellanvärde mellan dem.

Exempel på diskreta variabler är antalet kronblad i en blomma, hur många ansikten (eller kors) är samtidigt två mynt, antalet medlemmar eller barn i en familj, antalet människor som bor i ett hus och många fler.

I alla fall är resultaten av att genomföra experimentet redovisa. En slumpmässig variabel som kallas "X = antal barn i en familj" kan definieras, och denna variabel kan ta värden 0, 1, 2, 3 ..

Så för ett allmänt fall identifieras en diskret slumpmässig variabel av:

X = x₁, x₂, x₃... x_k

Där x₁, x₂, x₃... är de möjliga resultaten från experimentet.

Det är ofta intresserat av att känna till sannolikheten för förekomst av vart och ett av dessa möjliga resultat, betecknade som:

p₁ = P (x = x₁)

p₂ = P (x = x₂)
.
.
.

Och så vidare för varje X -värde. "I" -indexet varierar från 1 till k: i = 1,2,3 ... k.

Denna lista, som innehåller sannolikheterna för varje möjligt resultat av experimentet, kallas sannolikhetsfördelning antingen sannolikhet, Förutsatt att den slumpmässiga variabeln är numerisk är sannolikheten för varje händelse mellan 0 och 1 och summan av alla sannolikheter är lika med 1.

Exempel på diskreta slumpmässiga variabler

De diskreta slumpmässiga variablerna är alltid numeriska och redovisning. De mäter vanligtvis antalet gånger en händelse inträffar, till exempel:

• Antal samtal som mottagits av ett callcenter på en eftermiddag.
• Mängden bankinsättningar gjorda på en enda dag.
• Starta en tärning och läs numret som visas på det övre ansiktet.
• Antal ansikten som kommer ut när du lanserar två identiska valutor.
• Studenter som godkände Algebra I -examen, slumpmässigt valda från en grupp av 100 ingenjörsstudenter från ett universitet.
• Vuxna medlemmar i en flock av elefanter i en Afrika reserv.
• Antal barn per familj i en viss stad.
• Människor som deltar i en midnattfilmfunktion.
• Antal bilar som passerar genom en vägtull på en motorväg.

Kan tjäna dig: Cruz -produkt

Hela och fraktionerade värden

Alla diskreta slumpmässiga variabler som nämns tar hela värden. Emellertid kan diskreta slumpmässiga variabler definieras med fraktionsvärden, till exempel den slumpmässiga variabeln som ges av:

F = fraktion av defekta bitar genom att slumpmässigt välja 50 delar av mycket

Möjliga värden är följande:

• Ingen defekt bit hittas: f₁= 0
• Endast en defekt bit av 50: f₂= 1/50 = 0.02
• Två defekta bitar finns i 50: f₃= 2/50 = 0.04
• Och så vidare, tills det fall de 50 stycken är dåliga: f₅₁ = 50/50 = 1

Löst övningar

Övning 1: Identifiera diskreta slumpmässiga variabler

De har de slumpmässiga variablerna som ges av:

X = antal jordbävningar per år, inträffade i en viss geografisk zon

Y = exakt längden på den mänskliga foten

Z = vuxna skorstorlek

R = varaktighet för ett samtal till en Callcenter

Är alla diskreta slumpmässiga variabler? Motivera svaret.

Lösning

X- och Z -variablerna är diskreta, eftersom antalet jordbävningar på ett år är ett redovisningsbelopp. Å andra sidan är skorstorlekar ändliga, numrering kan variera beroende på landet, till exempel 6, 6.5, 7 ..., men det är också en begränsad mängd.

Å andra sidan kan den exakta längden på den mänskliga foten ta valfritt värde. Till exempel mellan två personer vars fot mäter 23.5 och 23.8 cm, det är alltid möjligt att hitta en annan vars fotmått, säg 23.6 cm. Denna typ av variabel är också slumpmässig, men fortsätter.

När det gäller den tid som varar ett telefonsamtal är det inte en diskret variabel, eftersom det finns oändliga värden mellan två gånger T₁ och t₂ varaktighet.

Kan tjäna dig: hela siffror

Övning 2: Samtidiga två mynt

Ett experiment består av att samtidigt lansera två identiska valutor, för vilka den slumpmässiga variabeln x = antal ansikten definieras. Hitta:

a) Värdena som x tar.

b) sannolikheter fördelningen

Lösning till

De möjliga resultaten från experimentet är följande: ingen dyr (två sälar), a dyr och en täta, en täta och en dyr Och slutligen två inslag.

Genom att förneka ansiktet som C och tätningen som S sammanfattas resultaten enligt följande:

Ω = (s, s); (C, s); (S, c); (DC)

Denna uppsättning är känd som provutrymmet.

Därför tar den slumpmässiga variabeln X värdena: 0 (inget ansikte), 1 (ett ansikte i antingen mynt) och 2 (det var dyrt i båda mynt). Eftersom resultaten är redovisning är variabeln, utöver slumpmässigt, diskret:

X = 0,1,2

Lösning B

När ett mynt lanseras, om ärligt, dyr antingen täta De har samma chans att lämna, lika med ½. Därför, om två mynt lanseras samtidigt, eftersom resultaten är oberoende, eftersom mynten inte påverkar varandra, är sannolikheten för att få två sidor (eller två kors) multiplicerar sannolikheterna för varje händelse.

Om två kors erhålls, betyder det att inget ansikte kom ut:

P (2 kors = 0 ansikten) = p (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

Å andra sidan är sannolikheten för CS- eller SC -kombinationen summan av de två gynnsamma sannolikheterna:

P (1 ansikte) = p (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Slutligen är sannolikheten för att få två ansikten:

P (2 ansikten) = P (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Observera att denna sannolikhetsfördelning uppfyller de krav som anges i början:

Sannolikheten för varje händelse är mellan 0 och 1.

Genom att lägga till de tre sannolikheterna, 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Kan tjäna dig: colineala vektorer Histogrammet visar sannolikhetsfördelningen för lanseringen av två identiska valutor. I den horisontella axeln motsvarar den slumpmässiga variabeln, stångens centrum motsvarar variabelns värde. Och i den vertikala axeln placeras sannolikheten i detta fall procentandel. Källa: f. Zapata.

Övning 3: DDu kastar en balanserad tärning

Ett experiment består av att kasta en balanserad tärning två gånger. Den slumpmässiga variabeln som definieras är:

X = Antal gånger en 1 kommer ut

a) Lista de möjliga resultaten från experimentet och bestäm värdena på den slumpmässiga variabeln.

b) Hitta din sannolikhetsfördelning.

Lösning till

Eftersom det är en balanserad tärning har alla ansikten samma sannolikhet att lämna, och eftersom tärningarna är en kub med sex ansikten är denna sannolikhet lika med 1/6.

De möjliga resultaten från experimentet kan syntetiseras enligt följande:

• Du får inte 1 eller en gång: x₁= 0
• 1 kommer bara ut en gång: x₂= 1
• Båda lanseringarna är 1: x₃= 2

Därför är den slumpmässiga variabeln X diskret och har tre värden:

X = 0,1,2

Lösning B

När det gäller sannolikhetsfördelningen för denna variabel är det första att märka att uppsättningen av alla möjliga resultat består av 36 par, vilket utgör provutrymmet:

Ω = (1,1), (1.2), (1.3) ... (1.6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2) ... (4.6); (5,1), (5,2) ... (5.6); (6,1), (6.2) ... (6.6)

-Nu räknas dessa par där A inte erhålls:

x₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3) ... (2,6); (3,2), (3,3) ...; (4.2), (4,3) ...; (5,2), (5.3) ...; (6.2), (6.3) ...

Totalt finns det 25 par, där 1 inte kommer ut, därför är sannolikheten för att få någon av dessa kamrater:

p₁ = P (x = 0) = 25/36

-Sedan de kamrater där 1 visas bara en gång:

x₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Det finns därför 10 par:

p₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Slutligen finns det bara ett par där 1 kommer ut två gånger: (1,1). Så:

p₃ = P (x = 2) = 1/36