Vinkelhastighetsdefinition, formel, beräkning och övningar

De vinkelhastighet Det är ett mått på rotationshastigheten och definieras som vinkeln som roterar positionsvektorn för objektet som roterar per tidsenhet. Det är en storlek som beskriver mycket väl rörelsen för många föremål som ständigt vänder sig överallt: CD -skivor, bilhjul, maskiner, jord och många fler.

Ett schema för "London Eye" kan ses i följande figur. Det representerar rörelsen av en passagerare representerad av punkt P, som följer den cirkulära banan, kallad C:

Schematisk representation av den cirkulära banan som följer en passagerare i "London Eye". Källa: Självgjord.

Passageraren upptar positionen P i omedelbar t och vinkelläget som motsvarar det ögonblicket är ϕ.

Från det ögonblick en tidsperiod förflutit Δt. Under den perioden är den nya positionen för den punktliga passageraren p 'och vinkelläget har ökat en vinkel Δϕ.

[TOC]

Hur beräknas vinkelhastigheten ?

För rotationsstorlekar används grekiska bokstäver i stor utsträckning för att skilja dem från linjära magnitud. Så initialt definieras den genomsnittliga vinkelhastigheten Ω_m När vinkeln reste under en given tidsperiod.

Då kommer kvoten Δϕ/ΔT att representera den genomsnittliga vinkelhastigheten Ω_m Bland ögonblicken t och t+Δt.

Om du vill beräkna vinkelhastighet Precis vid den tidpunkten t måste kvoten Δϕ/ΔT beräknas när ΔT ➡0:

 Enheten med vinkelhastighetsmått är rad/s.

Förhållandet mellan linjär och vinkelhastighet

Linjär hastighet v, Det är kvoten mellan det resade avståndet och den tidsperiod som används för att resa den.

I figuren ovan är bågvägen ΔS. Men den bågen är proportionell mot den rest vinkel och radien och uppfyller följande förhållande, vilket är giltigt så länge Δϕ mäts i radianer:

Kan tjäna dig: Parallelogram Metod: Exempel, lösta övningar

ΔS = R ・ Δϕ

Om vi ​​delar det tidigare uttrycket mellan tidsperioden ΔT och tar gränsen när ΔT ➡0, kommer vi att få:

V = R ・ Ω

Enhetlig rotationsrörelse

Bilden är det berömda "London Eye", ett 135 m högt roterande hjul som roterar långsamt, så att människor kan gå ombord på stugorna vid sin bas och njuta av London -landskapet. Källa: Pixabay.

En rotationsrörelse är enhetlig om vinkeln när som helst observerats är densamma under samma tidsperiod.

Om rotationen är enhetlig sammanfaller vinkelhastigheten när som helst med den genomsnittliga vinkelhastigheten.

I en enhetlig rotationsrörelse den tid då en fullständig sväng kallas perioden och betecknar med t.

Dessutom, när vinkeln vänds, är den 2π (motsvarande 360º). Det är därför i en enhetlig rotation är vinkelhastigheten Ω relaterad till perioden t, med hjälp av följande formel:

Frekvens definieras F av en enhetlig rotation såsom kvoten mellan antalet varv och tiden som spenderas för att resa dem. När jag återvänder reser den i en tid T (perioden) har följande förhållande:

F = 1/t

Med andra ord, i en enhetlig rotation är vinkelhastigheten relaterad till frekvensen av:

Ω = 2π ・ f

Löst vinkelhastighetsövningar

Övning 1

Stugorna i det stora roterande hjulet som kallas "Londons öga"De rör sig långsamt. Hastigheten på stugorna är 26 cm/s och hjulet är 135 m i diameter.

Med denna data beräkna:

Kan tjäna dig: sol

i) hjulets vinkelhastighet

ii) rotationsfrekvensen

iii) tiden som tar en stuga att vända.

Svar:

Yo) Hastigheten v i m/s är: v = 26 cm/s = 0,26 m/s.

Radion är hälften av diametern: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

V = R ・ Ω => ω = v/r = (0,26 m/s)/(67,5 m) = 0,00385 rad/s

Ii) Ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10^-4 turn/s

F = 6,13 x 10^-4 varv/s = 0,0368 varv/min = 2,21 varv/timme.

Iii) T = 1 / f = 1/21 varv / timme = 0,45311 tid = 27 min 11 sek

Övning 2

En leksaksbil rör sig på en 2 m radie cirkulär spår. Vid 0 s är dess vinkelläge 0 rad, men efter en tid ges dess vinkelläge av:

φ (t) = 2 ・ t 

Bestämma:

i) vinkelhastighet 

ii) linjär hastighet när som helst.

Svar:

Yo) Vinkelhastighet är derivatet av vinkelläget: ω = φ '(t) = 2.

Med andra ord.

Ii) Den linjära hastigheten för bilen är: V = R ・ ω = 2 m ・ 2 rad/s = 4 m/s = 14,4 km/h

Övning 3

Samma bil från den tidigare övningen börjar stoppa. Dess vinkelläge som en funktion av tiden ges av följande uttryck:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t² 

Bestämma:

i) vinkelhastighet när som helst

ii) linjär hastighet när som helst

iii) den tid du tar för att stanna från det ögonblick du börjar bromsa

iv) Vinkeln 

v) på rest avstånd

Svar:

Yo) Vinkelhastighet är derivatet av vinkelläget: ω = φ '(t)

Ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t²) '= 2 - T

Ii) Den linjära hastigheten på bilen när som helst ges av:

v (t) = r ・ Ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

Kan tjäna dig: relativ hastighet: koncept, exempel, övningar

Iii) Den tid som tar det ögonblick då det börjar sakta.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Det vill säga att det stannar 2 s efter att ha börjat sluta.

Iv) Under perioden 2, från det att det börjar stoppa tills en vinkel som ges av φ (2) resas:

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2^2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 grader

V) På 2 S -troppet förstås sedan det börjar stoppa tills det stoppar ett avstånd från::

S = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Övning 4

Hjulen på en bil är 80 cm i diameter. Om bilen rör sig på 100 km/h. Hitta: i) Vinkelhastigheten för hjulrotation, ii) Rotationens frekvens, iii) Antalet varv som hjulet ger i en timmes rutt.

Svar:

Yo) För det första kommer vi att vända hastigheten på bilen av km/h a m/s

V = 100 km / h = (100/3.6) m/s = 27,78 m/s

Hjulens vinkelhastighet ges av::

Ω = v/r = (27,78 m/s)/(0,4 m) = 69,44 rad/s

Ii) Hjulrotationsfrekvensen ges av:

F = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 varv / s

Rotationens frekvens uttrycks vanligtvis i revolutioner per minut r.p.m.

F = 11,05 varv/s = 11,05 varv/(1/60) min = 663,15 r.p.m

Iii)  Antalet varv som hjulet ger i en timmes rutt beräknas med att veta att 1 timme = 60 min och att frekvensen är antalet varv dividerat med den tid då dessa n ges.

F = n / t => n = f ・ t = 663,15 (varv / min) x 60 min = 39788,7 varv.

Referenser

1. Giancoli, D. Fysik. Principer med applikationer. Sjätte upplagan. Prentice hall. 106-108.
2. Resnick, r. (1999). Fysisk. Volym 1. Tredje upplagan på spanska. Mexiko. Kontinentala redaktionella företag s.TILL. av C.V. 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. 7th. Utgåva. Mexiko. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. Geogebra.org