Partiella derivategenskaper, beräkning, övningar

De partiell derivat av en funktion med flera oberoende variabler är de som uppnås genom att ta det vanliga derivatet i en av variablerna, medan de andra upprätthålls eller tas som konstanter.

Det partiella derivatet i en av variablerna, bestämmer hur funktionen varierar vid varje punkt, per enhetsenhet i fråga i fråga. 

Figur 1. Lutningen på tangentlinjen till kurvan som bildas av skärningspunkten mellan planet y = b med ytan f (x, y) vid punkt (a, b) är det partiella derivat av f med avseende på x, utvärderat vid den punkten. Källa: UPM.är

På grund av dess definition beräknas det partiella derivatet med den matematiska gränsen för kvoten mellan variationen i funktionen och variationen i variabeln med avseende på vad som härleds, när förändringen av den senare tenderar att noll.

Anta fallet med en funktion F Det beror på variablerna x och och, det vill säga för varje par (X, y) A tilldelas z: 

F: (x, y) → z .

Det partiella derivatet av funktionen z = f (x, y), med respekt för x är definierad som:

Nu finns det flera sätt att beteckna det partiella derivatet av en funktion, till exempel:

Skillnaden med det vanliga derivatet, i termer av notation, är att d av härledning ändras till symbolen ∂, känd som "Jacobi D".

[TOC]

Partiederivatens egenskaper

Det partiella derivatet av en funktion av flera variabler, med avseende på en av dem, är det vanliga derivatet i nämnda variabel och betraktar resten som fast eller konstant. För att hitta det partiella derivatet kan härledningsreglerna för vanliga derivat användas.

Under huvudegenskaperna:

Kan tjäna dig: Vanlig faktor för grupperingsvillkor: Exempel, övningar

Kontinuitet

Om en funktion f (x, y) har partiella derivat i x och och på väg (Xo, jag) då kan det sägas att funktionen är kontinuerlig vid den punkten.

Kedjeregel

En funktion f (x, y) Med kontinuerliga partiella derivat i x och och, som i sin tur beror på en parameter t genom x = x (t) och y = y (t), Det har vanligt derivat med avseende på variabeln t, som beräknas av kedjeregeln:

d_t Z = ∂_xz d_tx + ∂_ochz d_toch

Stängning eller låsegenskap

Det partiella derivatet med avseende på en av variablerna i en funktion F av två eller flera variabler (X, Y, ...), Det är en annan funktion g I samma variabler, till exempel: 

G (x, y, ...) = ∂_och f (x, y, ...)

Det vill säga partiellt härledning är en operation som går från rⁿ a rⁿ. I den meningen sägs det att det är en stängd operation.

På varandra följande partiella derivat

De på varandra följande partiella derivat av en funktion av flera variabler kan definieras, vilket ger upphov till nya funktioner i samma oberoende variabler.

Vara funktionen f (x, y). Följande successiva derivat kan definieras:

F_Xx = ∂_xF ;  F_Yy = ∂_YyF ; F_Xy = ∂_XyF och F_Yx = ∂_YxF

De två sista är kända som Blandad derivat Eftersom de involverar två olika oberoende variabler.

Schwarz Theorem

Vara en funktion f (x, y), definieras på ett sådant sätt att dess partiella derivat är kontinuerliga funktioner i en öppen delmängd av R².

Så för varje par (X, y) Att de tillhör nämnda undergrupp, de blandade derivaten är identiska:

∂_XyF = ∂_YxF

Det föregående uttalandet är känt som Schwarz Theorem.

Hur beräknas partiella derivat?

Partiella derivat beräknas liknar vanliga funktioner derivat i en enda oberoende variabel. När det partiella derivatet av en funktion av flera variabler tas med avseende på en av dem, tas de andra variablerna som konstanter.

Kan tjäna dig: hälften av 15

Nedan följer flera exempel:

Exempel 1

Vara funktionen:

f (x, y) = -3x² + 2 (och - 3)²

Det uppmanas att beräkna det första partiellt derivatet med avseende på x och det första partiella derivatet med avseende på och.

Procedur

För att beräkna partiell F med respekt för x, Är tagen och som konstant:

∂_xF = ∂_x(-3x² + 2 (och - 3)² ) = ∂_x(-3x² )+ ∂_x(2 (och - 3)² ) = -3 ∂_x(x²) + 0 = -6x.

Och i sin tur för att beräkna derivatet med avseende på och Är tagen x som konstant:

∂_ochF = ∂_och(-3x² + 2 (och - 3)² ) = ∂_och(-3x² )+ ∂_och(2 (och - 3)² ) = 0 + 2 · 2 (y - 3) = 4y - 12.

Exempel 2

Bestäm andra ordningens partiella derivat:  ∂_Xxf, ∂_Yyf, ∂_YxF och ∂_XyF För samma funktion F av exempel 1.

Procedur

I detta fall, eftersom det första partiellt derivatet redan beräknas i x och och (Se exempel 1):

∂_XxF = ∂_x(∂_xf) = ∂_x(-6x) = -6

∂_YyF = ∂_och(∂_ochf) = ∂_och(4y - 12) = 4

∂_YxF = ∂_och(∂_xf) = ∂_och(-6x) = 0

∂_XyF = ∂_x(∂_ochf) = ∂_x(4y - 12) = 0

Det observeras att ∂_YxF = ∂_XyF, därmed uppfyller Schwarzs teorem, eftersom funktionen F och dess första ordförande partiella derivat är alla kontinuerliga funktioner i R².

figur 2. Funktionen z = f (x, y) = -x2 - y2 + 6 är ytan som visas i figuren. Det partiella derivatet med avseende på x är lutningen för tangentlinjen för kurvan som är resultatet av skärningspunkten mellan nämnda yta med planet y = ctt (det specifika fallet visas y = 2). På liknande sätt delen av F med avseende på och är lutningen för tangenten till korsningen med x = 1, vid punkten (1, 2, 1).

Löst övningar

Övning 1

Vara funktionen:

Kan tjäna dig: Kvadratiska successioner: Exempel, regel och övningar löst

f (x, y) = -x² - och² + 6

Hitta funktioner G (x, y) = ∂_xF  och H (x, y) = ∂_ochF.

Lösning

Det partiella derivatet av F med respekt för x, för vilken variabeln och Det blir konstant:

G (x, y) = - 2x

På samma sätt det partiella derivatet av g med respekt för och, gör x konstant, vilket resulterar för funktionen h:

H (x, y) = -2y

Övning 2 

Utvärdera för punkten (1, 2) funktionerna f (x, y) och G (x, y) av övning 1. Tolka resultaten.

Lösning

Värden byts ut x = 1 och y = 2 erhållande:

f (1,2) = -(1)² -(2)² + 6 = -5 + 6 = 1

Detta är värdet som tar funktionen f när den utvärderas vid den punkten.

Funktionen f (x, y) Det är en tvådimensionell yta och koordinat z = f (x, y) Det är höjden på funktionen för varje par (X, y). När paret tas (1.2), Ythöjden f (x, y) är Z = 1.

Funktionen G (x, y) = - 2x representerar ett plan i det tre dimensionella utrymmet vars ekvation är Z = -2x Nåväl -2x + 0 och -z = 0.

Sa planet är vinkelrätt mot planet Xz Och gå igenom punkten (0, 0, 0). När utvärderas i x = 1 och y = 2 så Z = -2. Observera att värdet z = g (x, y) Det är oberoende av det värde som tilldelats variabeln och.

Å andra sidan, om ytan korsar f (x, y) Med planet y = c, med c konstant, du har en kurva i planet Zx: z = -x² - c² + 6.

I detta fall derivatet av z med respekt för x sammanfaller med det partiella derivatet av f (x, y) med respekt för x: d_x Z = ∂_xF .

Vid utvärdering i paret (x = 1, y = 2) Det partiella derivatet vid den punkten ∂_xF (1.2) Det tolkas som lutningen på linjen tangent till kurvan z = -x² + 2 på väg (x = 1, y = 2) Och värdet på denna lutning är -2.

Referenser

1. Ayres, f. 2000. Beräkning. 5ed. MC Graw Hill.
2. Partiella derivat av en funktion i flera variabler. Återhämtat sig från: byggnad.UPM.är.
3. Leithold, L. 1992. Beräkning med analytisk geometri. Harla, s.TILL.
4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, s. OCH. (2007). Beräkning. Mexiko: Pearson Education.
5. Gorostizaga J. C. Partiell derivat. Återhämtat sig från: ehu.Eus
6. Wikipedia. Derivat. Återhämtad från: är.Wikipedia.com.