Vanliga faktoriseringsexempel och övningar

De Vanlig faktorisering av ett algebraiskt uttryck består i att bestämma två eller flera faktorer vars produkt är lika med det föreslagna uttrycket. På detta sätt, letar efter den gemensamma faktorn, börjar faktoriseringsprocessen alltid.

För detta observeras det om det finns en närvaro av en gemensam term, som kan vara både bokstäver och siffror. När det gäller bokstäver tas de vanliga bokstäverna som en vanlig faktor för alla termer som har den minsta exponenten och för siffrorna beräknas den maximala gemensamma divisorn (MCD) för alla koefficienter.

Figur 1. Vid vanlig faktorisering söks bokstäver och koefficienter som är gemensamma för varje term. Källa: pixabay/f. Zapata.

Produkten av båda vanliga faktorer, förutsatt att den skiljer sig från 1, kommer att vara den vanliga faktorn för uttrycket. När den slutliga faktoriseringen har hittats, genom uppdelning av varje term mellan nämnda faktor.

Här är ett exempel på hur man gör det genom att ta hänsyn till denna trinomial:

4x⁵-12x³+8x²

Man ser att alla termer innehåller det bokstavliga "x", vars minst makt är x². När det gäller de numeriska koefficienterna: 4, -12 och 8 är alla multiplar av 4. Därför är den vanliga faktorn 4x².

När faktorn har hittats delas varje term i det ursprungliga uttrycket mellan det:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Slutligen skrivs uttrycket som produkten av den gemensamma faktorn och summan av resultaten från de tidigare operationerna, så här:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (x³ - 3x +2)

[TOC]

Hur man faktor när det inte finns någon gemensam faktor

Om den vanliga faktorn inte är uppenbar som i föregående exempel är det fortfarande möjligt att faktorera, observera uttrycket noggrant, att se om det är möjligt att implementera någon av följande metoder:

Det kan tjäna dig: polybal grafik

Skillnaden mellan två perfekta rutor

Det är ett binomialt uttryck för form:

till² - b²

Det kan vara faktor genom tillämpningen av den anmärkningsvärda produkten:

till² - b² = (a+b) ⋅ (a-b)

Förfarandet är nästa:

-Extrahera först kvadratroten på var och en av de perfekta rutorna.

-Bilda sedan produkten mellan summan av dessa rötter och dess skillnad, som anges.

Perfekt fyrkantig trinomial

Formens trinomialer:

x² ± 2a⋅x + a²

De fakturerar genom den anmärkningsvärda produkten:

(x+a)² = x² ± 2a⋅x + a²

För att tillämpa denna faktorisering måste det bekräftas att trinomialen i själva verket har två perfekta rutor, och att den återstående termen är den dubbla produkten från fyrkantiga rötter för dessa värden.

Trinomial av X -formen² + mx + n

Om trinomial till faktor inte har två perfekta rutor, försöker den skriva den som produkten av två termer:

x² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Var ska det uppfyllas när som helst:

N = a⋅b

M = a+b

Faktorisering genom att gruppera termer

Ibland har uttrycket som är faktor inte en gemensam faktor, och det motsvarar inte heller något av de fall som beskrivs ovan. Men om antalet villkor är jämnt kan denna procedur försökas:

-Grupppar som har en gemensam faktor.

-Att faktra varje par med gemensam faktor, så att termerna inom parentes är lika, det vill säga så att parentesen i sin tur är en vanlig faktor. Om det inte är med den valda gruppen, måste du försöka med en annan kombination för att hitta den.

-Den sökande faktoriseringen är produkten av termerna inom parentesen för de vanliga faktorerna för varje par.

Exemplen som hjälper till att klargöra de diskuterade fallen.

Exempel

Faktorera följande algebraiska uttryck:

a) 6ab² - 18²b³

Detta är ett exempel på en vanlig faktor. Från och med den bokstavliga delen är brev A och B närvarande i de två termerna. För variabeln "A" är den mindre exponenten 1 och är i termin 6AB², Medan för bokstaven "b" är den mindre exponenten b².

Kan tjäna dig: omvänd trigonometriska funktioner: värde, derivat, exempel, övningar

Sedan AB² Det är en vanlig faktor i det ursprungliga uttrycket.

När det gäller siffrorna finns det 6 och -18, det senare är en multipel av 6, sedan -18 = -(6 × 3). Därför är 6 en numerisk koefficient för den vanliga faktorn, som multipliceras med den bokstavliga delen är:

6Ab²

Nu är varje originalterm uppdelad av denna gemensamma faktor:

• 6Ab² ÷ 6AB² = 1
• (-18²b³) ÷ 6AB² = -3ab

Slutligen skrivs det ursprungliga uttrycket som en produkt mellan den gemensamma faktorn och den algebraiska summan av termerna som finns i föregående steg:

6Ab² - 18²b³ = 6AB² ⋅ (1-3AB)

b) 16x² - 9

Detta uttryck är en skillnad från perfekta rutor, så genom att extrahera fyrkantiga rötter till båda termerna erhålls:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

Det ursprungliga uttrycket är skrivet som produkten av summan av dessa fyrkantiga rötter genom dess skillnad:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

c) z² + 6Z + 8

Det är en trinomial av X -formen² + MX + N, eftersom 8 inte är ett perfekt kvadrat för ett annat heltal, så du måste hitta två nummer A och B så att de följer samtidigt:

• till.B = 8
• A + B = 6

Av Tanteo, det vill säga testning, de sökta siffrorna är 4 och 2, eftersom:

4 × 2 = 8 och 4 + 2 = 6

Så:

z² + 6Z+8 = (Z+4) ⋅ (Z+2)

Läsaren kan kontrollera och tillämpa distributivegenskap på höger sida av jämlikhet, att båda uttryck är likvärdiga.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Detta uttryck är en kandidat för faktorisering genom att gruppera termer, eftersom det inte finns någon vanlig faktor uppenbar för blotta ögat och också har ett par termer.

Det är grupperat enligt följande, och vet att tilläggsordningen inte ändrar summan:

Kan tjäna dig: obtusangle triangel

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Varje parentes har sin egen gemensamma faktor:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

Den definitiva gemensamma faktorn avslöjades redan: det är parentesen som upprepas i båda termerna (2x -3y).

Nu kan det vara faktor igen:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Därför:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Återigen kan läsaren tillämpa den distribuerande egenskapen till rätten till jämlikhet, för att bekräfta jämlikhet.

Löst övningar

Faktorisera:

a) och² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3: e⁴ + till³ + 15a + 5

Lösning till

Det är en perfekt fyrkantig trinomial, det börjar med att hitta kvadratroten av de perfekta fyrkantiga termerna:

√ (och²) = y

√ 25 = 5

Det verifieras att mitten av centrum är den dubbla produkten för dessa två:

10y = 2. 5. och

Och den sökande faktoriseringen är:

och² - 10y + 25 = (Y-5)²

Lösning B

Uttrycket är också en perfekt fyrkantig trinomial:

√ (4x²) = 2x

√ (9y²) = 3y

Den centrala termen är verifierad:

12xy = 2⋅2x⋅3y

Till sist:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Lösning C

Problemet är en trinomial av typ X² + MX + N:

n = a⋅b = -14 = 7 x ( - 2)

M = A + B = 5 = 7 + (- 2) = 5

Lämpliga siffror är 7 och -2:

x² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Lösning D

3: e⁴ + till³ + 15a + 5 = (3A⁴ + till³) + (15a + 5)

Den vanliga faktorn för (3: e⁴ + till³) den där³ och det för (15a + 5) är 5, som grupperas enligt följande:

(3: e⁴ + till³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

figur 2. Faktoriseringsövningar för att öva. Källa: f. Zapata.

Referenser

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Kulturhem.
2. Larson, r. 2012. Förkalkning. 8th. Utgåva. Cengage Learning.
3. Matematik. Faktorisering. Återhämtat sig från: Mathworld.Volfram.com.
4. Matematik. Polynomfaktorisering. Återhämtat sig från: Mathworld.Volfram.com.
5. Stewart, J. 2007. Preccculment: Matematik för beräkning. Femte. Utgåva. Cengage Learning.
6. Zill, D. 1984. Algebra och trigonometri. McGraw Hill.