Partiell bråk

Nedbrytningsmetoden i partiella fraktioner används för att lösa integraler. Källa: f. Zapata.

Vad är partiella fraktioner?

Metoden för partiell bråk o Enkla fraktioner används i algebra och matematisk beräkning för att sönderdela ett rationellt uttryck, vilket lämnar en algebraisk summa av enklare fraktioner.

Som de extra enkla fraktionerna underlättas beräkningen av operationer som derivat och integraler, bland annat.

Tänk på följande rationella algebraiska uttryck, som består av polynomer p (x) och q (x) i teller respektive nämnaren:

Du vill skriva detta uttryck som summan av mindre fraktioner. För att göra detta bör det noteras att polynomet Q (x) i nämnaren är en fyrkantig trinomial, vilket snabbt kan vara faktor, som en produkt av två faktorer:

x²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Därför kvarstår det tidigare uttrycket på följande sätt:

Att känna till summan av fraktioner leder detta sätt att skriva uttrycket lätt till detta:

Det återstår att hitta värdena på A och B, så att det ursprungliga uttrycket uttrycks som summan av dessa två mindre fraktioner. För exemplet är värdena: A = 3 och B = 2, och läsaren kan bekräfta att i själva verket summan:

Det motsvarar det ursprungliga uttrycket:

Givet att:

Hur beräknas partiella fraktioner?

Det finns metoder för beräkning av koefficienterna som måste gå i siffror för de enkla fraktionerna, som beror på formen av det ursprungliga rationella uttrycket, det vill säga i form av p (x)/q (x).

För det första måste det komma ihåg att när graden av p (x) är mindre än den för Q (x) är det en eget rationellt uttryck, Och om det motsatta inträffar är det en felaktigt rationellt uttryck.

Metoderna för att sönderdelas i enkla fraktioner hänvisar till sina egna algebraiska uttryck, om de inte är det, måste de först reduceras, genomföra divisionsoperationen p (x)/q (x).

Det kan tjäna dig: trigonometriska identiteter (exempel och övningar)

Då är målet att hitta tellerna för var och en av fraktionerna, för vilka fyra fall skiljer sig, vilket beror på faktoriseringen av nämnaren Q (x).

Fall 1: Faktorerna för Q (x) är linjära och upprepas inte

Om faktorerna för Q (x) är linjära och inte upprepas, det vill säga de är av formen (x-a_Yo):

Q (x) = (x -a₁)(för₂)… (för_n)

Med en₁ ≠ a₂  ≠ a₃ ... ≠ a_n, Det vill säga alla faktorer för Q (x) är olika, det rationella uttrycket är skrivet som:

Värdena på a₁, TILL₂, TILL₃Till ... till_n, De måste vara bestämda. Det rationella uttrycket som visas i början är ett exempel på detta fall.

Fall 2: Q (x) har upprepade linjära faktorer

Om Q (x) består av en upprepad faktor i formen (x - a)ⁿ, Med n ≥ 2 utförs nedbrytning i partiella fraktioner enligt följande:

Liksom i föregående fall måste koefficienter bestämmas genom algebraiska procedurer.

Fall 3: Q (x) har en oreposerad irreducerbar kvadratisk faktor

Om genom att ta factoring q (x) en irreducerbar kvadratisk faktor visas, av Axformen²+Bx+C, för denna faktor, i nedbrytningen måste inkluderas, ett tillägg med detta formulär:

Värdena på A och B måste hittas.

Fall 4: Q (x) har en oåterkallelig och upprepad kvadratisk faktor

Antagande att faktoriseringen av Q (x) innehåller en oåterkallelig och upprepad kvadratisk faktor²+Bx+c)ⁿ, Följande tillägg måste inkluderas:

Som alltid måste de nödvändiga koefficienterna beräknas. Exemplen nedan visar de algebraiska procedurer som krävs.

Exempel på partiella fraktioner

Exempel 1

Följande eget rationella uttryck:

Det kommer redan med den faktoriserade nämnaren, bestående av två icke -upprepade linjära faktorer, så Q (x) är:

Q (x) = (x+2) (x -1)

Sedan motsvarar nedbrytningen i partiella fraktioner som är sökt fall 1, att kunna skriva:

För att hitta respektive värden för A och B utförs summan av jämlikhet:

Kan tjäna dig: ellipse

Utjämna teller:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Tillämpa distributionsfastigheter och gruppera liknande villkor:

AX - A + BX + 2B = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

Koefficienten (A+B) är lika med 3, eftersom båda följer, på vardera sidan av jämlikhet, till termen som innehåller "X". För sin del är koefficienten (−A+2B) lika med 0, eftersom det inte finns någon annan liknande term till höger om jämlikhet.

Följande system med två ekvationer med två okända bildas sedan:

A+B = 3
−a+2b = 0

Vars lösning är:

A = 2
B = 1

Därför:

Läsaren kan kontrollera jämlikhet och genomföra summan av sektioner till höger.

Exempel 2

I detta andra uttryck:

Även faktoriserat, utseendet på den upprepade termen (x+1) observeras², Förutom den linjära termen (x+2). I så fall är nedbrytningen i partiella fraktioner, som anges i fall 2,:

För att hitta värdena på A, B och C, körs summan av höger och endast telleren används:

Telleren för det resulterande uttrycket är lika med det för det ursprungliga uttrycket och utvecklar algebraiskt för att separera liknande termer:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

Yxa²+2x+1)+B (x²+3x+2)+c (x+2) = x --3

(A+b) x² + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Från resultatet, ett system med tre ekvationer med tre okända A, B och C:

A + B = 0
2a+3b+c = 1
A+2B+2C = −3

Systemlösningen är:

A = −5
B = 5
C = −4

Nedbrytningen i begärda partiella fraktioner är:

Träning löst

Det här avsnittet visar en upplöst övning som illustrerar tillämpningen av metoden för partiella fraktioner eller enkla fraktioner, till beräkningen av obestämda integraler. Målet är att skriva integrationen på ett enklare sätt.

När de har skrivits om, söks de resulterande enkla integralerna i en tabell eller lösas av en enkel variabel förändring.

Kan tjäna dig: Historisk bakgrund av analytisk geometri

Det uppmanas att beräkna följande integral:

Lösning

Den första är att verifiera att integrationen verkligen är ett eget rationellt algebraiskt uttryck, eftersom graden av telleren är mindre än nämnaren. Dess nämnaren är lätt faktor och återstår:

Därför är q (x):

Q (x) = x (x²+2)

Och det består av en linjär term: x och en oåterkallelig kvadratisk term inte upprepad: x x²+2 Därför är det en kombination av fall 1 och fall 3. Nedbrytningen i partiella fraktioner av integrationen är:

Gör summan till höger om jämlikhet:

Som alltid fungerar för partiella fraktioner bara med telleren för summan uttrycket, som alltid bör vara lika med det för det ursprungliga uttrycket:

Yxa² + 2) + x (bx + c) = 2

Utvecklande:

Yxa² + 2a + bx² + Cx = 2

Gruppera liknande termer:

(A+b) x² + CX + 2A = 2

Lika med koefficienterna för liknande termer erhålls systemet med ekvationer som ska lösas, med de okända A, B och C:

A + B = 0
C = 0
2a = 2

Från den andra ekvationen är det redan känt att c = 0, från den sista följer det att a = 1, därför b = -1, så att den första. Med dessa värden erhålls det:

Nu ersätts det i den ursprungliga integralen:

Och två enkla integraler med elementära funktioner erhålls, finns i tabellerna eller är snabb upplösning.

Den första ideen dessa integrerade är elementära:

Och den andra integralen:

Det löses med följande ändring av variabel: u = x²+4, du = 2xdx, ger upphov till:

Returnerar variabelns förändring:

Slutligen, samla in båda resultaten, bestäms lösningen:

De två integrationskonstanterna går i en, kallad C.

Referenser

1. Araujo, f. 2018. Integrerad kalkyl. Säljare polytekniska universitet. Abya-Yala University redaktion. Quito, ecuador.
2. Arcega, r. Integration genom nedbrytning i partiella fraktioner. Återhämtat sig från: uaeh.Edu.mx.
3. Larson, r. 2012. Förkalkning. 8th. Utgåva. Cengage Learning.
4. Purcell, E. J. 2007. Beräkning. 9na. Utgåva. Prentice hall.
5. Swokowski, E. 2011. Algebra och trigonometri med analytisk geometri. 13th. Utgåva. Cengage Learning.