Allmän formel Kvadratiska ekvationer, exempel, övningar

De Generalformel, som också är känd som lösningsmedelsformel I vissa texter används det för att lösa andra graders ekvationer: yxa² + bx + c = 0.

I dem till, b och c De är verkliga siffror, med förutsättning att det till skiljer sig från 0, att vara x Det okända. Sedan presenterar den allmänna formeln clearance av det okända genom ett uttryck som involverar värdena till, b och c som följer:

Figur 1. Den allmänna formeln i matematik används för att lösa kvadratiska ekvationer. Källa: f. Zapata.

Och genom denna formel kan du hitta lösningen av alla andra graders eller kvadratiska ekvationer, förutsatt att den nämnda lösningen finns.

Enligt historiker var den allmänna formeln redan känd av den forntida babyloniska matematiken. Det överfördes därefter till andra människor, till exempel egypterna och grekerna, genom kulturutbyten.

Formeln och dess varianter anlände till Europa tack vare de muslimska matematikerna bosatte sig på den iberiska halvön. De använde emellertid inte den algebraiska notationen som vi för närvarande använder. Denna notation beror på den franska matematikern och 1600 -talets kryptografiska expert Francois Viete.

[TOC]

Kvadratiska ekvationer med den allmänna formeln

Låt oss se hur den allmänna formeln uppstår för att verifiera dess giltighet. Börjar från en allmän kvadratisk ekvation:

yxa² + bx + c = 0

Låt oss genomföra några enkla algebraiska manipulationer för att uppnå clearance av det okända. Det finns flera sätt att bära detta, till exempel genomföra rutor, som visas då.

Demonstration av den allmänna formeln

Vi börjar med att lägga till (-c) på båda sidor av jämlikhet:

yxa² + Bx = - c

Och nu multipliceras det med 4A, alltid på båda sidor av jämlikhet, för att inte förändra uttrycket:

4th² x² + 4AB x = - 4AC

Lägg till B²:

4th²⋅x² + 4Ab⋅x + B² = - 4ac + b²

Syftet med detta är att slutföra rutor på vänster sida av jämlikhet, som innehåller det okända, på detta sätt underlättas dess godkännande. Således:

Kan tjäna dig: delare av 8: vad är och enkel förklaring

-Den första terminen: 4: e² x² Det är det perfekta torget på 2ax

-Den sista, som är b², Det är det perfekta kvadratet för B.

-Och den centrala termen är den dubbla produkten från 2AX och B: 2⋅2AX⋅B = 4ABX

Därför har vi en fyrkantig binomial:

4th²⋅x² + 4Ab⋅x + B² = (2ax + b)²

Och vi kan skriva:

(2ax + b)² = - 4ac + b²

Vi är ett steg bort från att rensa det okända x:

Och vi har redan den allmänna formeln vi känner:

Det finns andra sätt att algebraiskt manipulera den kvadratiska ekvationen och få samma resultat.

Exempel på användning av den allmänna formeln

För att tillämpa den allmänna formeln är värdena på A, B och C noggrant bestämda och ersättas i formeln. Notera symbolen mer mindre i telleren; Detta indikerar att vi måste överväga två möjligheter när det gäller operationen, en med skylten + och en med skylten -.

Den kvadratiska ekvationen kan ha följande lösningar, beroende på värdet på den subradikala mängden, känd som särskiljande:

-Ja B² - 4ac> 0, den kvadratiska ekvationen har två verkliga och olika lösningar.

-När B² - 4ac = 0, ekvationen har en unik lösning, givet av:

x = -b/2a

-Slutligen, om b² - 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, pero sí tiene soluciones complejas.

Låt oss titta på några exempel där den allmänna formeln tillämpas och märker att om någon av koefficienterna som följer med det okända inte visas, är det förstått att det är värt 1. Och om den oberoende termen är den som inte finns, är det värt 0.

- Exempel 1

Lös följande kvadratiska ekvationer:

a) 6x² + 11x -10 = 0

b) 3x² -5x -1 = 0

Svara på

Vi skriver koefficienterna för varje term: a = 6, b = 11, c = -10 och ersätter värdena i den allmänna formeln:

Kan tjäna dig: beskattning

x = (-11 ± 19) /12

Resultatet leder till följande två riktiga lösningar:

x₁ = (-11 + 19)/12 = 8/12 = 2/3

x₂ = (-11 -19)/12 = -5/2

Svar B

Återigen bestäms koefficienterna: A = 3, B = -5 och C = -1. Genom att ersätta i formeln:

Till skillnad från det föregående fallet är kvadratroten på 37 inte ett heltal, men vi kan också höja de två lösningarna och lämna roten eller hitta motsvarande decimalvärde med hjälp av kalkylatorn:

x₁ = (-5 + √37)/6 ≈ 0.18

x₂ = (-5 - √37)/6 ≈ - 1.85

- Exempel 2

Lös den andra gradsekvationen x² - 4x +13 = 0.

Svar

Som alltid identifierar vi värdena på koefficienterna och ersätter den allmänna formeln: a = 1, b = - 4, c = 13. Det här leder till:

Vi har en negativ rot, därför är lösningarna för denna ekvation komplexa siffror. Roten kan uttryckas i termer av Yo, de Imaginär enhet:

√ (36i²) = 6i

Sedan jag² = -1, därför är de komplexa lösningarna:

x₁ = (4 + 6i)/2 = 2 + 3i

x₂ = (4 - 6i)/2 = 2 - 3i

Träning löst

En 10 m lång trappa vilar mot en vertikal vägg, med foten 6 m från den väggen. Trappan glider och foten är separerad 3 m mer från basen.

Hitta det vertikala avståndet som rinner genom trappuppgången.

figur 2. En trappa som stöds på en vägg glider lite och det övre stoppet rör sig vertikalt ner ett avstånd d. Källa: f. Zapata.

Lösning

För att hitta det vertikala avståndet som glider toppen av trappan måste du hitta den position där det ursprungligen var angående marken. Vi kan göra det med Pythagoras teorem, eftersom figuren som bildas är den för en höger triangel:

H = (10² - 6²) ^½ = 8 m

När trappan glider rör sig ett avstånd d, Mått eftersom toppen var 8 m hög, tills den nådde sin nya position, vid (h-d) meter över marken. Det okända för att rensa är D.

Kan tjäna dig: ackumulerad frekvens: formel, beräkning, distribution, exempel

För att hitta den föreslår vi en ny rektangel triangel, som bildas efter att stegen gled lite. Denna triangel har fortfarande hypotenusa lika med 10 m och den parallella kateto är nu 6 m + 3m = 9 m, därför:

(H-d)² = 10² - 9² = 100 - 81 = 19

Vi ersätter H = 8m, tidigare beräknat:

(8-D)² = 19

Ekvationen kan lösas på flera sätt, inklusive användningen av den allmänna formeln, som vi kommer att visa nedan med dessa steg:

Steg 1

Utveckla den anmärkningsvärda vänstern till vänster:

64 -16D + D² = 19

Steg 2

Upprätta den andra gradsekvationen för okänd D:

d² - 16d + 45 = 0

Steg 3

-Koefficienterna är: a = 1, b = -16 och c = 45, vi ersätter dem i den allmänna formeln:

Lösningarna på ekvationen är:

d₁ = (16 + √76)/2 ≈ 12.36 m

d₂ = (16 - √76)/2 ≈ 3.64 m

Steg 4

De erhållna lösningarna analyseras: den första är inte fysisk mening, eftersom det inte är möjligt för stegen att sammanställa 12.36 m, om stoppet ursprungligen var 8 m högt på marken.

Därför är det rätta svaret den andra lösningen: Toppen av trappan glider d = 3.64 m.

Kan läsaren lösa problemet genom att tillämpa en annan metod?

Referenser

1. Baldor. 1977. Elementär algebra. Venezuelanska kulturella utgåvor.
2. Hoffman, J. Urval av matematikfrågor. Volym 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik för beräkning. Femte. Utgåva. Cengage Learning.
5. Zill, D. 1984. Algebra och trigonometri. McGraw Hill.