Transcendenta funktioner typer, definition, egenskaper, exempel

De transcendenta funktioner Elementals är exponentiella, logaritmiska, trigonometriska, omvända trigonometriska funktioner, hyperboliska och omvända hyperboliska. Det vill säga de är de som inte kan uttryckas av ett polynom, ett polynom- eller polynomrötter. 

De icke-elementära transcendenta funktionerna kallas också specialfunktioner och bland dem kan felfunktionen namnges. De algebraiska funktioner (polynom, polynomkvoter och polynomiska rötter) bredvid transcendenta funktioner Elementals utgör vad i matematik kallas elementära funktioner.

Det betraktas också som transcendenta funktioner som är resultatet av operationer mellan transcendenta funktioner eller mellan transcendenta och algebraiska funktioner. Dessa operationer är: summan och skillnaden mellan funktioner, produkt och förhållande av funktioner samt sammansättningen av två eller flera funktioner.

[TOC]

Definition och egenskaper

Exponentiell funktion

Det är en verklig funktion av verklig oberoende variabel av formen:

f (x) = a^x = a^x

var till Det är ett positivt verkligt antal (A> 0) Fixat kallas basen. Circumflejo eller övervakning används för att beteckna förstärkningsoperationen.

Låt oss säga i fall A = 2 Då är funktionen så här:

f (x) = 2^x = 2^x

Som kommer att utvärderas för flera värden på den oberoende variabeln x:

Nedan följer en grafik där exponentiell funktion för flera basvärden representeras, inklusive basen och (Nepernummer och ≃ 2.72). Bas och Det är så viktigt att du i allmänhet när du pratar om exponentiell funktion E^x, Det betecknas också exp (x).

Figur 1. Exponentiell funktion a^x, för flera värden på basen a. (Egen utarbetande)

Exponentiella funktionsegenskaper

Från figur 1 kan man se att domänen för exponentiella funktioner är verkliga siffror (dom f = R) och räckvidden eller rutten är de positiva riktiga (Ran F = R⁺). 

Kan tjäna dig: symmetri

Å andra sidan, oavsett värdet på bas A, går alla exponentiella funktioner genom punkten (0, 1) och efter punkt (1, a). 

När basen A> 1, Då växer funktionen och när 0 < a < 1 Funktionen minskar. 

Kurvorna för y = a^x och av y = (1/a)^x  De är symmetriska med avseende på axeln OCH. 

Med undantag för fallet A = 1, Den exponentiella funktionen är injektion, det vill säga till varje bildvärde, en motsvarar och endast ett startvärde.

Logaritmisk funktion

Det är en verklig faktisk funktion av verklig oberoende variabel baserad på definitionen av logaritmen för ett nummer. Logaritmbaserad till av ett nummer x, Det är numret och till vilken basen måste höjas för att få argumentet x:

logga_till(x) = y ⇔ a^y = x

Det är logaritmfunktion i grunden till Det är den omvända funktionen till den exponentiella funktionen baserad på till.

Till exempel:

logga₂1 = 0, sedan 2^0 = 1

Ett annat fall, logg₂4 = 2, eftersom 2^2 = 4

Rotlogaritmen på 2 är logg₂√2 = ½, eftersom 2^½ = √2

logga₂ ¼ = -2, med tanke på att 2^(-2) = ¼ 

Nedan följer en graf över logaritmfunktionen i olika baser.

figur 2. Exponentiell funktion för olika basvärden. (Egen utarbetande)

Logaritmo -funktionsegenskaper

Domänen för logaritmfunktionen och (x) = loggtill(x)  De är de positiva verkliga siffrorna R+. Intervallet eller rutten är de verkliga siffrorna R.

Oavsett basen går logaritmfunktionen alltid genom punkten (1.0) och punkten (a, 1) tillhör grafen för nämnda funktion.

Det kan tjäna dig: köteori: historia, modell, vad är det för och exempel för

I det fall bas A är större än enheten (a> 1) ökar logaritmfunktionen. Men ja (0 < a < 1) entonces es una función decreciente.

Seno, Coseno och tangentfunktioner

Sinfunktionen tilldelar ett verkligt tal och till varje värde x, där x representerar måttet på en vinkel i radianer. För att erhålla värdet på SEN (x) från en vinkel representeras vinkeln i enhetscirkeln och projiceringen av nämnda vinkel på den vertikala axeln är bröstet som motsvarar den vinkeln.

Nedan är (i figur 3) den trigonometriska cirkeln och bröstet för flera vinkelvärden x1, x2, x3 och x4.

Figur 3. Trigonometrisk cirkel och bröstet i flera vinklar. (Egen utarbetande)

Definieras på detta sätt det maximala värdet som SEN (x) -funktionen kan ha är 1, vilket inträffar när x = π/2 + 2π n, är n ett heltal (0, ± 1, ± 2,). Det minsta värdet som SEN (x) -funktionen kan ta när x = 3π/2 + 2π n. 

Coseno y = cos (x) -funktionen definieras på liknande sätt, men projektionen av vinkelpositionerna p1, p2, etc. utförs på den horisontella axeln för den trigonometriska cirkeln.

Å andra sidan är y = tan (x) -funktionen förhållandet mellan sinusfunktionen och kosinusfunktionen.

Sedan visas en graf över de transcendenta funktionerna SEN (x), cos (x) och solbränna (x)

Figur 4. Graf över de transcendenta funktionerna, bröstet, kosinusen och tangenten. (Egen utarbetande)

Härledd och integrerad

Härrörande från exponentiell funktion

Derivatet och' av exponentiell funktion y = a^x Det är funktionen a^x multiplicerat av honom Neperian logaritm av basen a:

Kan tjäna dig: Set Theory: Egenskaper, element, exempel, övningar

och '= (a^x)' = a^x ln a

I det speciella fallet med basen och, Derivatet av exponentiell funktion är själva exponentiella funktionen.

Integral av den exponentiella funktionen

Den obestämda integralen av a^x Det är funktionen uppdelad mellan basens neperiska logaritm. 

I det specifika fallet med bas E är integralen i den exponentiella funktionen den exponentiella funktionen själv.

Derivat och integrerad tabell över de transcendenta funktionerna

Nedan följer en sammanfattningstabell över de huvudsakliga transcendenta funktionerna, dess derivat och obestämda (antiderivat):

Obestämd derivat och integrerad tabell för vissa transcendenta funktioner. (Egen utarbetande)

Exempel

Exempel 1

Hitta den resulterande funktionen för sammansättningen av funktionen f (x) = x^3 med funktionen g (x) = cos (x):

(f eller g) (x) = f (g (x)) = cos³(x)

Dess derivat och dess obestämda integral är:

Exempel 2

Hitta sammansättningen av G -funktionen med F -funktionen, vara G och F de funktioner som definieras i föregående exempel:

(g eller f) (x) = g (f (x)) = cos (x³)

Det bör noteras att sammansättningen av funktioner inte är en kommutativ operation.

Derivatet och den obestämda integralen för denna funktion är respektive:

Integrationen lämnades anges eftersom det inte är möjligt att skriva resultatet som en kombination av elementära funktioner på ett exakt sätt.

Referenser

1. Kalkyl av en enda variabel. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 november. 2008
2. Implicit Function Theorem: Historia, Theory and Applications. Steven G. Krantz, Harold R. Parker. Springer Science & Business Media, 9 november. 2012
3. Multivariabel analys. Sable Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 december. 2010
4. Systemdynamik: Modellering, simulering och kontroll av mekatroniska system. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 Mar. 2012
5. Calculus: Matematik och modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R.Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 jan. 1999
6. Wikipedia. Transcendent funktion. Återhämtad från: är.Wikipedia.com