Homotecia

De Homotecia Det är en geometrisk förändring i planet där, från en fast punkt som kallas center (o), avstånd multipliceras med en gemensam faktor. På detta sätt motsvarar varje punkt P en annan punkt i omvandlingen, och dessa är i linje med punkten eller.

Sedan är Homotecia en korrespondens mellan två geometriska figurer, där de transformerade punkterna kallas homotetiska, och dessa är i linje med en fast punkt och med parallella segment med varandra.

Förklaring och formel

Homotecia är en omvandling som inte har en kongruent bild, för från en figur kommer de att få en eller flera siffror av större eller mindre storlek än den ursprungliga figuren; det vill säga Homotecia förvandlar en polygon till en annan liknande.

För att Homotecia ska uppfyllas måste punkt till punkt och rak linje motsvara, så att par av homologa prickar är i linje med en tredje fast punkt, som är centrum för Homotecia.

På samma sätt bör paren som förenas vara parallella. Förhållandet mellan sådana segment är en konstant som kallas Homotecia (k) anledning; på ett sådant sätt att Homotecia kan definieras som:

För att göra denna typ av omvandling börjar en godtycklig punkt, som kommer att vara centrum för Homotecia.

Från denna punkt ritas linjesegment för varje siffra för figuren som ska transformeras. Den skala som reproduktionen av den nya figuren görs ges av orsaken till Homotecia (K).

Homotecia egenskaper

En av de viktigaste egenskaperna hos Homotecia är att alla homotetiska figurer, av orsaken till homotecia (k), liknar alla homotetiska figurer. Bland andra utestående egenskaper är följande:

Det kan tjäna dig: sammansatt proportionalitet: Förklaring, tre sammansatta regel, övningar

- Homotecia Center (O) är den enda dubbelpunkten och den förvandlar sig själv; det vill säga det varierar inte.

- Linjerna som passerar genom mitten blir sig själva (de är dubbla), men punkterna som komponerar det är inte dubbelt.

- Linjerna som inte passerar genom mitten omvandlas till parallella linjer; På detta sätt förblir homotecia -vinklarna lika.

- Bilden av ett segment av en centerhomotecia eller anledning k, är ett segment parallellt med den och har k gånger sin längd. Till exempel, som det ses i följande bild, kommer ett AB -segment för Homotecia att vara ett annat A'B -segment ', så att AB kommer att vara parallellt med A'B' och K kommer att vara:

- Homotetiska vinklar är kongruenta; det vill säga de har samma mått. Därför är bilden av en vinkel en vinkel som har samma amplitud.

Å andra sidan måste Homotecia varieras beroende på värdet på dess anledning (k), och följande fall kan uppstå:

- Om konstanten k = 1 är alla punkter fixerade eftersom de förvandlar sig själva. Således sammanfaller den homotetiska figuren med originalet och omvandlingen kommer att kallas identitetsfunktion.

- Om K ≠ 1 kommer den enda fasta punkten att vara centrum för Homotecia (O).

- Om k = -1 blir homotecia en central symmetri (c); Det vill säga en rotation kommer att inträffa runt C, i en vinkel 180^antingen.

- Om K> 1 kommer storleken på den transformerade figuren att vara större till originalets storlek.

Kan tjäna dig: irrationella siffror: historia, egenskaper, klassificering, exempel

- Ja 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Ja k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Typer av homotecia

Homotecia kan också klassificeras i två typer, beroende på värdet på dess anledning (k):

Direkt homotecia

Inträffar om konstanten k> 0; Det vill säga, homotetiska punkter är på samma sida med avseende på centrum:

Proportionalitetsfaktorn eller likhetskvoten mellan direkta homotetiska figurer kommer alltid att vara positivt.

Omvänd homotecia

Inträffar om konstanten k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Proportionalitetsfaktorn eller likhetsförhållandet mellan de omvända homotetiska figurerna kommer alltid att vara negativt.

Sammansättning

När flera rörelser genomförs successivt tills en figur är lika med originalet, inträffar en sammansättning av rörelser. Sammansättningen av flera rörelser är också en rörelse.

Kompositionen mellan två homotecia resulterar i en ny homotecia; Det vill säga, det finns en Homotecia -produkt där centret kommer att anpassas till centrum för de två ursprungliga omvandlingarna, och orsaken (k) är produkten av de två skälen.

Således, i sammansättningen av två homotier h₁(ANTINGEN₁, k₁) och h₂(ANTINGEN₂, k₂), Multiplikationen av dina skäl: k₁ x k₂ = 1 kommer att resultera i en homotecia av förnuft k₃ = K₁ x k₂. Centrum för denna nya homotecia (eller₃) kommer att ligga på linjen eller₁ ANTINGEN₂.

Det kan tjäna dig: motsatta vinklar av toppunktet (med en löst övning)

Homotecia motsvarar en platt och irreversibel förändring; Om två homotecia gäller som har samma centrum och förnuft men med ett annat tecken kommer den ursprungliga figuren att erhållas.

Homotecia exempel

1. Första exemplet

Applicera en homotecia på den givna polygonen i mitten (O), belägen 5 cm från punkt A och vars anledning är K = 0,7.

Lösning

Varje punkt väljs som centrum för Homotecia, och från detta handlas de av figurens toppar:

Avståndet från centrum (O) till punkt A är OA = 5; Med detta kan du bestämma avståndet för en av de homotetiska punkterna (OA ') också veta att K = 0,7:

Oa '= k x oa.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Processen kan göras för varje toppunkt, eller så kan du också dra den homotetiska polygonen som kommer ihåg att de två polygonerna har parallella sidor:

Slutligen ses omvandlingen på följande sätt:

2. Andra exempel

Applicera en homotecia på den givna polygonen i mitten (O), belägen 8,5 cm från punkt C och vars och anledning K = -2.

Lösning

Avståndet från mitten (O) till punkt C är OC = 8,5; Med dessa data är det möjligt att bestämma avståndet för en av de homotetiska punkterna (OC '), också veta att K = -2:

Oc '= k x oc.

Oc '= -2 x 8,5 = -17

Efter att ha ritat segmenten av vertikalerna i den transformerade polygonen, är de initiala punkterna och deras homotetik belägna i motsatta ändar med avseende på mitten: