Matematik

Negativ homotecia

4439
636
Per Eriksson

Figur 1. Triangeln a'b'c 'är den homotetiska omvandlingen av ABC -triangeln med avseende på punkten eller med en orsak till negativ homotecia r = -1.5 (förberedd av: f zapata).

Vad är negativ homotecia?

Negativ Homotecia är en transformation där en polygon som finns i ett plan har som sin bild en annan polygon i samma plan, med lika vinklar och med motsvarande sidor proportionella mot originalet. När Homotecia är negativ roteras bilden en halv varv med avseende på den första siffran.

Homotecia kännetecknas av att ha ett Homotecia -centrum ANTINGEN och en proportionalitetskonstant som kallas förnuft r. När r Det är ett negativt tal så det talas om negativ homotecia.

Hur görs en Homotecia -omvandling?

För att förklara hur en negativ homotecia utförs tar vi fallet med figur 1 där en triangel är Abc som vill bygga sin negativa homotetiska.

1.- Det börjar välja ett Homotecia -centrum, vilket är detta fall är poängen ANTINGEN.

2.- Från ANTINGEN Orienterade segment är byggda (vektorer) Oa, Ob och Oc som går från centrum av Homotecia till var och en av triangelns toppar.

3.- En homotecia anledning väljs r. Som du vill ha en negativ homotecia, då r Det måste vara mindre än noll. När det gäller figur 1 togs det R = -1.5.

4.- Vektorer ritas Oa ', OB ' och Oc ', som är respektive Oa '= r ∙ OA, Ob '= r ∙ OB och Oc '= r ∙ OC. Som R = -1.5, det är ett negativt tal, sedan vektorerna Oa ', OB ' och Oc ' De har riktning i strid med deras motsvarande motsvarigheter, det vill säga Oa, Ob och Oc. Men som det absoluta värdet av förnuftet r är | R | = 1.5 storleken på Oa ', Ob'och Oc ' De är en gång och en halv större än deras motsvarigheter Oa, Ob och Oc.

5.- Vektors spetsar Oa ', OB ' och Oc ' Definiera triangelns toppar A'b'c ' Vad är den negativa homotetiken i triangeln Abc.

Egenskaper hos negativ homotecia

De negativ homotecia, även kallad Omvänd homotecia, Det har följande egenskaper:

Det kan tjäna dig: multiplar på 8: Vad är och förklaring

1.- Motsvarande sidor mellan bildpolygonen och den ursprungliga polygonen har proportionella längder, som är konstanten för proportionalitet som det absoluta värdet för homotecia -förhållandet, det vill säga att bilden förstärks i en faktor | r | så länge som | r | är större än enheten, men bilden reduceras om | r | är mindre än enheten.

2.- Vinklarna mellan motsvarande sidor på bilden och den ursprungliga figuren har samma mått.

3.- De homologa sidorna mellan original och bild är parallella med varandra.

4.- Motsvarande segment i fallet med negativ homotecia är parallella, men med vägledning eller motsatt riktning. Till exempel i figur 1 har segmentet AB sin homologa a'b 'parallellt med den första, men med motsatt riktning.

Jämförelse med positiv homotecia

Det kallas positiv homotecia som i vilken homotecia -förhållandet är ett positivt tal. För att bygga en positiv homotecia följs samma steg som negativa homotecia:

1.- Välj ett Homotecia -centrum, i vårt fall poängen ANTINGEN (Se figur 2).

2.- Rita de orienterade segmenten (vektorer), som sträcker sig från mitten av Homotecia till polygonens toppar, i fallet med figur 2 Dessa är: Oa, Ob och Oc.

3.- Välj ett Homotecia -förhållande som är ett positivt tal, till exempel för figur 2 har det valts R = 0.5.

4.- Vektorer ritas Oa ', OB ' och Oc ', som är respektive Oa '= r ∙ OA, Ob '= r ∙ OB och Oc '= r ∙ OC. Som r Det är ett positivt antal, sedan vektorerna Oa ', OB ' och Oc ' De har samma adress som Oa, Ob och Oc. Längden på Oa ', Ob'och Oc ' De är hälften av att deras motsvarigheter Oa, Ob och Oc, Eftersom orsaken är R = 0.5.

5.- Slutligen förenas A'B'C -topparna för att få den homotetiska triangeln till ABC med anledning 1/2.

Kan tjäna dig: fyrkantig: element, egenskaper, klassificering, exempel

figur 2. Positiv homotecia med rätta 0,5 av ABC -triangelresultaten. I positiv homotecia upprätthålls orienteringen. (Förberedd av: f. Zapata)

Homotecia exempel

Homotecia visas i olika situationer:

Filmprojektorer

I en filmprojektor projiceras bilden inspelad i en ram och expanderar på en skärm, och för att projektionen ska ses till höger är det nödvändigt att ramen investeras, eftersom Homotecia Center är i mitten av linsen på Linsen i projektorns lins, mellan ramen och skärmen (negativ homotecia, se figur 3)

Figur 3. Negativ Homotecia visas i filmprojektorn, mellan bilden inspelad på en genomskinlig ram och bilden som projiceras på skärmen. Homotecia Center ligger på linsens optiska centrum, i sin tur belägen mellan ramen och skärmen. Källa: f. Zapata.

Fotokameror

Denna princip gäller också kamerorna: ljuset från bilden som ligger ett visst avstånd från linsen projiceras på den fotografiska sensorn, som kan vara en lättkänslig kemisk film eller en CCD -sensor, om den är en digitalkamera.

Bilden inspelad i sensorn är inverterad med avseende på den verkliga och är vanligtvis mindre mindre än henne.

Praktisk applikation

Solen ska inte se direkt ut, eftersom den orsakar permanent skada på näthinnan, men det finns två möjligheter att studera den: Använd filter som dämpar ljusintensiteten eller projicerar dess bild på en skärm.

Kan tjäna dig: proportionell variation

En projektionsanordning består av ett längdrör d. En av rörens ändar är täckta med aluminiumfolie och borrar i centrum med en stift. Den andra änden, som kommer att fungera som en skärm, är täckt med genomskinligt papper, som kan vara lökpapper eller albanenpapper (grönsakspapper).

Träning

Bestäm soldiametern, att veta att den markbundna omloppsradie är i storleksordningen 150 miljoner kilometer, att projektionsröret, såsom det som visas i figur 4, är 2,2 meter lång och att den projicerade bilden är 2, 1 cm i diameter.

Figur 4. I röret för att projicera solskivan inträffar ett negativt homotecia -förhållande. Källa: f. Zapata.

Lösning

Uppgifterna är som följer:

Rörets längd: D = 2,2 m
Suns projicerade bilddiameter: S = 2,1 cm
Avstånd från solröret: r = 150 x 10^9 m
Verklig soldiameter: S = ¿?

För att erhålla solens diameter appliceras ett proportionalitetsförhållande enligt proportionaliteten hos homotecia (se figur 4):

Avståndet till solen är i rörets längd när solens diameter är till diametern på den projicerade bilden:

(R / d) = (s / s)

Rensa denna jämlikhet att solens verkliga diameter har diametern på projektionen multiplicerad med kvoten mellan avståndet till solen och rörets längd:

S = S (R / D)

Att placera de numeriska värdena är:

S = 2,1 x 10^-2 M (150 x 10⁹ m / 2,2 m)

S = 1,43 x 10⁹ m.

Detta resultat tolkas på följande sätt: solens verkliga diameter är 1,43 miljoner kilometer.

Referenser

Álvaro Rendón, till. R. 2004. Teknisk ritning: Aktivitetsnotbok.
Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. 2002. Affinitet, homologi och homotecia.
Baer, r. 2012. Linjär algebra och projektiv geometri. Kopparföretag.
Hebert och. 1980. Allmän matematik, sannolikheter och statistik.
Messerve, b. OCH. 2014. Geometriens grundläggande begrepp. Kopparföretag