Intefinerade integrerade egenskaper, applikationer, beräkning (exempel)

De Obestämd integral Det är omvänd drift av härledningen och för att beteckna den den långsträckta "S" -symbolen används: ∫. Matematiskt skrivs den obestämda integralen av funktionen f (x):

∫f (x) dx = f (x) + c

Där integrerande f (x) = f '(x) är en funktion av variabeln x, som i sin tur är den som härrör från en annan funktion f (x), kallad integral eller antiderivativ.

Figur 1. Indefinite Integral är ett av de mest kraftfulla verktygen för matematisk modellering. Källa: Wikimedia Commons. Wallpoper / Public Domain.

I sin tur är C en konstant som kallas Integrationskonstant, som alltid följer resultatet av någon obestämd integral. Vi kommer omedelbart att se dess ursprung genom ett exempel.

Anta att de ber oss hitta följande obestämda integral i:

I = ∫x.Dx

Jag identifierar omedelbart f '(x) med x. Det betyder att vi måste tillhandahålla en funktion f (x) så att dess derivat är x, något som inte är svårt:

f (x) = ½ x²

Vi vet att när de härledda f (x) kommer vi till f '(x), vi verifierar det:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Nu, funktionen: f (x) = ½ x² + 2 uppfyller också kravet, eftersom härledningen är linjärt och derivatet för en konstant är 0. Andra funktioner som, när de härleds, resulterar i f (x) = är:

½ x² -1, ½ x² + femton; ½ x² - √2 ..

Och i allmänhet alla funktioner i formen:

f (x) = ½ x² + C

De är korrekta svar för problemet.

Någon av dessa funktioner kallas antiderivativ eller primitiv av f '(x) = x och är just den uppsättningen av alla antiderivativ av en funktion som kallas en obestämd integral.

Det räcker med att känna till en av de primitiva, för som se är den enda skillnaden mellan dem den ständiga C -integrationen.

Det kan tjäna dig: Poisson -distribution: formler, ekvationer, modell, egenskaper

Om problemet innehåller initiala förhållanden är det möjligt att beräkna värdet på C för att anpassa sig till dem (se exemplet som lösts senare).

[TOC]

Hur man beräknar en obestämd integral

I föregående exempel beräknades ∫x.dx eftersom en funktion f (x) var känd att när den härleddes resulterade det i integrationen.

Det är därför som de mest kända funktionerna och deras derivat kan lösas från de mest kända funktionerna.

Dessutom finns det några viktiga egenskaper som utökar utbudet av möjligheter när man löser en integral. Vara k Ett riktigt nummer, då är det sant att:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫xⁿ Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

Beroende på integrering finns det flera algebraiska metoder såväl som numeriska för att lösa integraler. Här nämner vi:

-Variabeländring

-Algebraiska och trigonometriska substitutioner.

-Integration av delar

-Nedbrytning i enkla fraktioner för att integrera rationell typ

-Tabeller

-Numeriska metoder.

Det finns integraler som kan lösas med mer än en metod. Tyvärr finns det inget unikt kriterium för att bestämma en priori den mest effektiva metoden för att lösa en specifik integral.

I själva verket tillåter vissa metoder att nå lösningen av vissa integraler snabbare än andra. Men sanningen är att för att få skicklighet genom att lösa integraler måste du öva med varje metod.

- Löst exempel

Lösa:

Lösning

Låt oss göra en enkel variabel förändring för subradisk mängd:

U = x-3

Med:

X = u+3

Härleder båda sidor på antingen uttryck du får:

Dx = du

Nu ersätter vi i integralen, som vi kommer att beteckna som jag:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Kan tjäna dig: ordinär variabel

Vi tillämpar distribuerande egendom och multiplikation av krafter med lika bas, och den erhålls:

I = ∫ (u^3/2 + 3 U^1/2) du

För egendom 3 i föregående avsnitt:

I = ∫ u^3/2 du +∫ 3U^1/2 du

Nu tillämpas Property 4, vilket är känt som Maktregel:

Först integrerad

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + c₁ =

= [U^5/2  / (5/2)] + c₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Andra integrerad

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + c₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Då samlas resultaten:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

De två konstanterna kan samlas i en utan problem. Slutligen får vi inte glömma att returnera variabeln som gjordes tidigare och uttrycka resultatet i termer av den ursprungliga variabeln X:

I = (2/5) (X-3)^5/2  + 2 (X-3)^3/2  + C

Det är möjligt att faktorera resultatet:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + c = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + c

Ansökningar

Indefinitisk integral gäller till exempel många modeller inom naturliga och samhällsvetenskaper:

Rörelse

I lösningen av rörelseproblem, för att beräkna hastigheten på en mobil, känd dess acceleration och i beräkningen av en mobil position, känd dess hastighet.

Ekonomi

När du beräknar produktionskostnaderna och modellerar en efterfrågefunktion, till exempel.

Appliceringsövning

Den minsta hastighet som krävs av ett objekt för att undkomma den markbundna gravitationsattraktionen ges av:

I detta uttryck:

-v är hastigheten på objektet som vill fly från jorden

-Och det är avståndet uppmätt från planetens centrum

-M är jordens massa

-G är konstant gravitation

Kan tjäna dig: Normal Distribution: Formel, Egenskaper, exempel, träning

Det uppmanas att hitta förhållandet mellan v och och, lösa de obestämda integralerna, om objektet tilldelas en initial hastighet v_antingen Och jordens radie är känd och kallas r.

figur 2.- En konstgjord satellit soyuz. Om för mycket hastighet tillhandahålls kommer det att undkomma jordens svårighetsgrad, minsta hastighet för att detta ska hända kallas avgashastighet. Källa: Wikimedia Commons.

Lösning

Vi presenteras med två obestämda integraler för att lösa genom integrationsreglerna:

Yo₁ = ∫v dv = v²/2 + c₁

Yo₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ och^-2 dy = -gm [och^-2+1/(-2 + 1)] + c₂ = GM. och^-1 + C₂

Vi är lika₁ och jag₂:

v²/2 + c₁ = GM. och^-1 + C₂

De två konstanterna kan samlas i ett:

När integralerna har lösts tillämpar vi de initiala förhållandena, som är följande: När objektet är på jordens yta är det på ett avstånd från mitten av samma. I uttalandet berättar de för oss att det är avståndet uppmätt från jordens centrum.

Och bara att vara på ytan är att den initiala hastigheten tillhandahålls med vilken den kommer att undkomma gravitationsattraktionen på planeten. Därför kan vi fastställa att v (r) = v_antingen. I så fall hindrar ingenting oss från att ersätta detta tillstånd i det resultat vi just har fått:

Och sedan v_antingen Det är känt, och så är G, M och R, vi kan rensa värdet på integrationskonstanten C:

Som vi kan ersätta i resultatet av integralerna:

Och slutligen rensar vi V², factoring och gruppering ordentligt:

Detta är uttrycket som relaterar hastighet v av en satellit som har skjutits från planetytan (radie R) med initial snabbhet vo, När det är på avstånd och från mitten av planeten.

Referenser

1. Haeussler, E. 1992. Matematik för administration och ekonomi. Iberoamerica redaktion.
2. Hyperfysik. Flykthastighet. Återhämtat sig från: htyperphysics.Phy-astrage.Gsu.Edu.
3. Larson, r. 2010. Beräkning av en variabel. 9na. Utgåva. McGraw Hill.
4. Purcell, E. 2007. Beräkning med analytisk geometri. 9na. Utgåva. Pearson Education.
5. Wolfram Mathworld. Exempel på integraler. Återhämtat sig från: Mathworld.Volfram.com.