Kepler lagar Förklaring, övningar, experiment

De Kepler lagar Om planetrörelsen formulerades av den tyska astronomen Johannes Kepler (1571-1630). Kepler härledde dem baserat på arbetet med hans lärares danska astronom Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe sammanställde noggrant uppgifterna från planetrörelserna under mer än 20 år, med överraskande noggrannhet och noggrannhet, om det beaktas att vid den tidpunkten ännu inte hade uppfunnits hade uppfunnits. Giltigheten för dina data är fortfarande giltig idag.

Figur 1. Planets banor enligt Keplers lagar. Källa: Wikimedia Commons. Willow/CC av (https: // CreativeCommons.Org/licenser/av/3.0)

[TOC]

Keplers 3 lagar

Keplers lagar fastställer:

-Första lagen: Alla planeter beskriver elliptiska banor med solen i en av strålkastarna.

-Andra lag eller lag av samma: En linje riktad från solen till vilken planet som helst (fokalradio), svep lika områden i lika tider.

figur 2. Områden. Källa: Wikimedia Commons. Gonfer/cc by-sa (https: // creativecommons.Org/licenser/BY-SA/3.0)

-Tredje lag: Kvadratet av tiden som tar någon planet omloppande runt solen är proportionell mot kuben på dess genomsnittliga avstånd till solen.

Vara T sa tid, kallad Omloppsperiod, och r Det genomsnittliga avståndet, då:

T² är proportionell mot r³

T = k r³

Detta innebär att kvoten T²/ r³ Det är detsamma för alla planeter, vilket gör det möjligt att beräkna omloppsradie, om omloppsperioden är känd.

När T Det uttrycks i flera år och r I astronomiska enheter UA*är proportionalitetskonstanten värd k = 1:

T²= r³

*En astronomisk enhet motsvarar 150 miljoner kilometer, vilket är det genomsnittliga avståndet mellan jorden och solen. Jordens omloppsperiod är 1 år.

Universal Gravitation Law och Keplers tredje lag

Den universella gravitationslagen konstaterar att storleken på gravitationell attraktionskraft mellan två massobjekt M och m respektive, vars centra är separat ett avstånd r, Det ges av:

F = g mm /r²

G är den universella gravitationskonstanten och dess värde är g = 6.674 x 10 ^-elva N.m²/kg² .

Nu är planets banor elliptiska med en mycket liten excentricitet.

Detta innebär att bana inte rör sig mycket bort från en cirkel, utom i vissa fall som dvärgen Pluto. Om vi ​​närmar oss banorna till den cirkulära formen är accelerationen av planetens rörelse:

till_c = v²/r

Med tanke på F = ma, ha:

G mm /r² = m.v²/r

Här v Det är den linjära hastigheten på planeten runt solen, statisk och massans antagande M, Medan planeten är m. Så:

Kan tjäna dig: Betydande siffror: regler, exempel, lösta övningar

Detta förklarar att planeterna längst från solen har en lägre omloppshastighet, eftersom den beror på 1/√r.

Eftersom avståndet som planeten reser är ungefär längden på omkretsen: l = 2πr och det tar lika lång tid t, omloppsperioden, erhålls den:

V = 2πr /t

Utjämning av båda uttryck för V ett giltigt uttryck för T erhålls², Kvadratet på omloppsperioden:

Och detta är just Keplers tredje lag, eftersom i detta uttryck parentesen 4π² /Gm Det är därför konstant T² är proportionell mot avstånd r upphöjd till kuben.

Den definitiva ekvationen för omloppsperioden erhålls genom att extrahera kvadratrot:

Beräkna solens massa

Hur mycket är solens massa? Det är möjligt att ta reda på den här ekvationen. Vi vet att jordens omloppsperiod är ett år och omloppsradie är 1 UA, motsvarande 150 miljoner kilometer, så vi har alla nödvändiga data.

I vår tidigare ekvation rensar vi M, men inte innan du konverterar alla värden till det internationella enhetssystemet om:

1 år = 3.16 x 10⁷ sekunder.

1 UA = 150 miljoner km = 1.5 x10^elva m.

Och genom att ersätta uppgifterna i ekvationen får vi en ganska framgångsrik uppskattning av solen i solen i 2.0 x 10 ³⁰ kg.

Övningar

Även om Kepler bara hade planeterna i åtanke när han härledde sina berömda lagar, är dessa också giltiga för rörelsen av satelliter och de andra kropparna i solsystemet, som vi kommer att se nästa.

- Övning 1

Att veta att Jupiters bana är 5.19 gånger större än jordens omloppsperiod för Jupiters omloppsperiod.

Lösning

Enligt definitionen av astronomisk enhet är Jupiter från Sun 5.19 UA, därför enligt Keplers tredje lag:

T²= r³= (5.19)³ år

Därför T = (5.19)^3/2  år = 11.8 år

- Övning 2

Halley Comet besöker solen var 75 år.3 år. Hitta:

a) Den stora halvkörningen av dess bana.

b) måtten på apeliet, om periheliet mäter 0.568 UA.

Lösning

Halley Comet besöker solen var 75 år.3 år. Hitta:

a) Den stora halvkörningen av dess bana.

b) måtten på apeliet, om periheliet mäter 0.568 UA.

Lösning till

När en planet eller någon annan stjärna är på sin punkt närmast solen, sägs det att det är i perihelio, Och när det är längre, i afelion. I det speciella fallet med en cirkulär bana är R i Keplers tredje lag bana radie.

Kan tjäna dig: Antoinkonstanter: Formler, ekvationer, exempel

I den elliptiska bana är emellertid himmelkroppen mer eller mindre borta från solen och är semi -major "a" genomsnittet mellan aprotessen och perihelium:

Figur 3. Aflio och Perihelio. Källa: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Public Domain

Därför ersätter vi R med A i Keplers tredje lag, vilket resulterar för Halley i:

T²= a³→ a = (t)²³ → A = (75.3) ²³ UA = 17.832 UA

Lösning B

A = ½ (Perihelio + Apelio)

17.832 = ½ (0.568+ Aflio) → Aflio = 2 x 17.832 - 0.568 UA = 35.10 UA.

Experimentera

Analysera planeternas rörelse kräver veckor, månader och till och med år av noggrann observation och registrering. Men i laboratoriet kan ett mycket enkelt experiment genomföras för att bevisa att lagen om Keplers lika är uppfyllt.

För detta krävs ett fysiskt system där kraften som styr rörelsen är central, tillräckligt villkor för lagen i områdena som ska uppfyllas. Ett sådant system består av en massa bunden till ett långt rep, med den andra änden av den fasta tråden till ett stöd.

Degen skiljer en liten vinkel i dess jämviktsläge och trycks ut en liten impuls, så att den utför en oval (nästan elliptisk) rörelse på det horisontella planet, som om det var en planet runt solen.

På den kurva som beskrivs av pendeln kan vi bevisa att det sveper lika områden i lika tider, ja:

-Vi betraktar vektorradio som sträcker sig från attraktionens centrum (initial jämviktspunkt) till massans position.

-Och vi barmos mellan två på varandra följande ögonblick av lika varaktighet, i två olika områden i rörelsen.

Ju längre pendeltråden och ju lägre vinkeln som avgår från vertikalen, kommer nettoåterställningskraften att vara mer horisontell och simuleringen liknar rörelsen med central kraft i ett plan.

Sedan närmar sig den beskrivna ovala en ellips, till exempel den som planeterna reser.

Materiel

-Orubblig tråd

-1 deg eller metallkulmålad vit som fungerar som pendelhaltig

-Linjal

-Transportband

-Bildkamera med automatisk strobe -disk

-Stödja

-Två belysningskällor

-Ett pappersark eller svart kartong

Det kan tjäna dig: stor crunch -teori: historia, principer, data för och emot

Procedur

Figurens montering behövs för att ta bilder av flera blinkar av pendeln när dess bana följer. För att göra detta måste du sätta kameran precis ovanför pendeln och det automatiska strobel -albumet framför linsen.

Figur 4. Pendelmontering för att verifiera att den sveper lika områden i lika tider. Källa: PSSC Laboratory Guide.

På detta sätt erhålls bilder med regelbundna tidsintervall för pendeln, till exempel varje 0.1 eller varje 0.2 sekunder, vilket gör det möjligt att veta tiden det tog att flytta från en punkt till den andra.

Du måste också belysa pendelmassan bekvämt och sätta lamporna på båda sidor. Lentilen måste vara målad vit för att förbättra kontrasten på bakgrunden, som består av ett utökat svart papper på marken.

Nu måste du kontrollera att pendeln sveper lika områden i lika tider. För detta väljs ett tidsintervall och de punkter som berörs av pendeln i nämnda intervall är markerade på papper.

På bilden ritas en linje från mitten av ovalen till dessa punkter och så kommer vi att ha den första av områdena som sopas av pendeln, som är ungefär en elliptisk sektor som den som visas nedan:

Figur 5. Elliptisk sektor. Källa: f. Zapata.

Beräkning av det elliptiska sektionsområdet

Vinklarna mäts med transportören θ_antingen och θ₁, Och denna formel används för att hitta S, området i den elliptiska sektorn:

S = f (θ₁) - f (θ_antingen)

Med F (θ) getts av:

Anteckna det till och b De är semi -senijes större respektive mindre. Läsaren bör bara bry sig om att noggrant mäta semi -mess och vinklar, eftersom det finns online -kalkylatorer för att enkelt utvärdera detta uttryck.

Men om du insisterar på att göra beräkningen för hand måste du komma ihåg att vinkeln θ mäts i grader, men vid tidpunkten för att ange data till kalkylatorn måste värdena uttryckas i radianer.

Då måste du markera ett annat par punkter där pendeln har investerat samma tidsintervall och rita motsvarande område och beräkna dess värde med samma procedur.

Verifiering av lagen om lika områden

Slutligen återstår det att verifiera att lagen i områdena är uppfylld, det vill säga att i lika stora tider är lika områden svepande.

Avviker resultaten lite från vad som förväntas? Du måste komma ihåg att alla åtgärder åtföljs av deras respektive experimentella fel.

Referenser

1. Keisan online -kalkylator. Område i en elliptisk sektorräknare. Återhämtat sig från: Keisan.Casio.com.
2. Opentax. Keplers lag om planetrörelse. Hämtad från: OpenStax.org.
3. Pssc. Laboratoriefysik. Redaktör. Återhämtat sig från: böcker.Google.co.
4. Palen, s. 2002. Astronomi. Schaumserie. McGraw Hill.
5. Pérez r. Enkelt system med central kraft. Återhämtat sig från: FrancesPhysics.Bloggfläck.com
6. Akter, D. De tre Kepler -lagarna i planetrörelsen. Återhämtat sig från: phy6.org.