Booleska algebra historia, teorem och postulat, exempel

han Booleska algebra O Booles algebra är den algebraiska notationen som används för behandling av binära variabler. Täcker studier av alla variabel som bara har två möjliga, kompletterande och exklusiva resultat med varandra. Till exempel är de variabler vars enda möjlighet är sanna eller falska, korrekta eller felaktiga, på eller av är grunden för studien av den booleska algebra.

Boolean Algebra utgör grunden för digital elektronik, vilket gör den ganska närvarande i samtida. Det styrs av begreppet logiska grindar, där de operationer som är kända i traditionella algebra påverkas anmärkningsvärt.

Källa: Pexels.com

[TOC]

Historia

Den booleska algebraen introducerades 1854 av den engelska matematikern George Boole (1815 - 1864), som var en självutbildad forskare i tiden. Hans oro uppstod från en befintlig tvist mellan Augustus från Morgan och William Hamilton, om parametrarna som definierar detta logiska system.

George Boole hävdade att definitionen av numeriska värden 0 och 1 motsvarar logikområdet till tolkning Ingenting och universum respektive.

George Booles avsikt var att definiera, genom algebra, uttryck för den propositionella logiken som krävs för att hantera binära variabler.

1854 publiceras de mest betydelsefulla avsnitten av den booleska algebra i boken "En utredning av tanken om tankar om vilka matematiska teorier om logik och sannolikhet baseras ”.

Denna nyfikna titel skulle sammanfattas senare som "Tanken "(" Tanken "). Titeln hoppade till berömmelse på grund av den omedelbara uppmärksamhet som den hade från tidens matematiska samhälle.

1948 använde Claude Shannon den i utformningen av Biostable Electrical Switching Circuits. Detta fungerade som en introduktion till tillämpningen av den booleska algebra inom hela elektroniska digitala schemat.

Strukturera

De elementära värdena i denna typ av algebra är 0 och 1, vilket motsvarar falska respektive sanna. De grundläggande operationerna i den booleska algebra är 3:

- Och konjunktion. Representerad av en punkt ( . ). Produktens synonym.

- Eller eller disjunktionsoperation. Representerad av ett kors ( +) .Summan synonym.

- Ingen operation eller denation. Representerad av prefixet inte (inte a). Det är också känt som komplement.

Om i en uppsättning 2 lagar med intern komposition betecknas som en produkt och summa definieras ( .  + ), det sägs att listan (a . + ) Det är en booleska algebra om och bara om nämnda lista uppfyller villkoret att vara en distributiv retikulum.

Det kan tjäna dig: Rationella siffror: Egenskaper, exempel och operationer

För att definiera en distributiv retikulum måste fördelningsvillkoren mellan de givna operationerna uppfyllas:

. är distribuerande med avseende på summan +                   till . (b + c) = (a . b) + (a . c)

+ är distribuerande med avseende på produkten.                  A + (b . c) = (a +b) . (A + C)

Elementen som utgör uppsättningen en måste vara binär och har därmed värden på Universum eller tomhet.

Ansökningar

Dess största applikationsscenario är den digitala grenen, där den tjänar till att strukturera de kretsar som utgör de logiska operationerna. Konsten för kretsar enkelhet för att optimera processer, är resultatet av rätt tillämpning och praxis av booleska algebra.

Från utarbetandet av elektriska brädor, genom överföring av data, tills vi når programmering på olika språk, kan vi ofta hitta Booles algebra i alla typer av digitala applikationer.

Booleska variabler är mycket vanliga i programmeringsstrukturen. Beroende på det använda programmeringsspråket kommer det att finnas strukturella operationer av koden som använder dessa variabler. De villkorade och argumenten för varje språk erkänner booleska variabler för att definiera processerna.

Postulat

Det finns teorier som styr de strukturella logiska lagarna i booleska algebra. På samma sätt är de postulerade för att veta de möjliga resultaten i olika kombinationer av binära variabler, enligt operationen som utförs.

Summa (+)

Operatören Eller vars logiska element är Union (U) definieras för binära variabler enligt följande:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkt (.)

Operatören Och vars logiska element är skärningspunkten (∩) definieras för binära variabler enligt följande:

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Motsatt (inte)

Operatören Inte vars logiska element är komplementet (x) 'definieras för binära variabler enligt följande:

Inte 0 = 1

Inte 1 = 0

Många av postulaten skiljer sig från sina ekvivalenter i konventionell algebra. Detta beror på variablens domän. Till exempel kan tillägget av universumelement i booleska algebra (1 + 1) inte ge det konventionella resultatet av 2, eftersom det inte tillhör elementen i det binära komplexet.

Teorier

Nollregel och enhet

Varje enkel operation som involverar ett element med binära variabler definieras:

0 + a = a

1 + a = 1

0 . A = 0

1 . A = a

Lika krafter eller idemisk

Operationer mellan lika variabler definieras som:

Kan tjäna dig: kongruens: kongruenta siffror, kriterier, exempel, övningar

A + a = a

TILL . A = a

Komplettering

Varje operation mellan en variabel och dess komplement definieras som:

A + inte A = 1

TILL . Inte a = 0

Involvering eller dubbel förnekande

Allt dubbelt förnekande kommer att betraktas som den naturliga variabeln.

Inte (inte a) = a

Avstängd

A + B = B + A; Sommaren av summan.

TILL . B = b . Till; Produktkommissivitet.

Associativ

A + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c; Summan associativitet.

TILL . (B . C) = (a . B) . C = a . B . C; Produktassociation.

Distributiv

A + (b . C) = (a + b) . (A + c); Distribuera summa med avseende på produkten.

TILL . (B + c) = (a . B) + (a + c); Produktdistributivitet med avseende på summan.

Absorptionslagar

Det finns många absorptionslagar mellan flera referenser, några av de mest kända är:

TILL . (A + b) = a

TILL . (Inte a + b) = a . B

Inte en (a + b) = inte a . B

(A + B) . (A + inte b) = a

A + a . B = a

A + inte a . B = A + B

Inte A + A . B = inte A + B

TILL . B + a . Inte b = a

Morgan's Theorem

De är omvandlingslagar, som hanterar par av variabler som interagerar mellan den definierade operationerna för den booleska algebra ( + . ).

NOTERA . B) = inte a + inte b

Inte (a +b) = inte a . Inte B

A + b = inte (inte a + inte b)

TILL . B = inte (inte en . Inte B)

Dualitet

Alla postulater och teorem har dualitetens kraft. Detta innebär att genom att utbyta variabler och operationer verifieras det resulterande förslaget. Det vill säga när du utbyter 0 för 1 och och och och vice versa; Ett uttryck skapas som också kommer att vara helt giltigt.

Om du till exempel tar postulatet

1 . 0 = 0

Och dualitet tillämpas

0 + 1 = 1

Ett annat perfekt giltigt postulat erhålls.

Karnaugh Map

Karnaughs karta är ett diagram som används i booleska algebra för att förenkla logiska funktioner. Den består av ett två -dimensionellt arrangemang som liknar sanningstabellerna för propositionell logik. Verkliga tabeller Data kan direkt förkroppsligas på Karnaugh -kartan.

Karnaughs karta kan hysa processer upp till 6 variabler. För funktioner med ett större antal variabler rekommenderas användningen av programvara för att förenkla processen.

Föreslaget 1953 av Maurice Karnaugh, den etablerades som ett fast verktyg inom Boole Field.

Exempel

Boolean Algebra tjänar till att minska logiska dörrar i en krets, där prioriteringen är att föra kretsens komplexitet eller nivå till dess minsta möjliga uttryck. Detta beror på beräkningsförseningen som varje dörr antar.

I följande exempel kommer vi att observera förenklingen av ett logiskt uttryck fram till dess minsta uttryck, med hjälp av teorem och postulat från den booleska algebra.

Inte (ab + a + b) . Inte (a + inte b)

Inte [a (b + 1) + b] . Inte (a + inte b); Faktorera a med gemensam faktor.

Kan tjäna dig: Beräkning av tillvägagångssätt med skillnader

Inte [a (1) + b] . Inte (a + inte b); Av sats A + 1 = 1.

Inte (a + b) . Inte (a + inte b); Av sats a . 1 = a

( NOTERA . Inte B) . [ NOTERA . Inte (inte b)];

Genom sats av Morgan inte (a + b) = inte a . Inte B

( NOTERA . Inte B) .  ( NOTERA . B); Genom att inte förneka satsen inte (inte a) = a

NOTERA . Inte B . NOTERA . B; Algebraisk grupp.

NOTERA . NOTERA . Inte B . B; Produktkommutivitet till . B = b . TILL

NOTERA . Inte B . B; Av sats a . A = a

NOTERA . 0; Av sats a . Inte a = 0

0; Av sats a . 0 = 0

TILL . B . C + inte A + A . Inte B . C

TILL . C . (B + inte b) + inte a; Faktoriserande (a . C) med gemensam faktor.

TILL . C . (1) + inte a; Av sats A + inte A = 1

TILL . C + inte a; Med nollregel teorem och enhet 1 . A = a

Inte en + c ; Enligt lag från Morgan till + inte a . B = A + B

För denna lösning måste Morgan's lag utvidgas för att definiera:

Inte (inte en) . C + inte a = inte a + c

För inte (inte a) = a av involvering.

Förenkla logisk funktion

NOTERA . Inte B . Inte C + inte a . Inte B . C + inte a . Inte c förrän dess minsta uttryck

NOTERA . Inte B . (Inte c + c) + inte a . Inte C; Faktoriserande (inte en . Inte b) med gemensam faktor

NOTERA . Inte B . (1) + inte a . Inte C; Av sats A + inte A = 1

(NOTERA . Inte b) + (inte a . Inte c);  Med nollregel teorem och enhet 1 . A = a

Inte A (inte B + inte C); Factoring inte en med gemensam faktor

NOTERA . Inte B . C); Enligt lagar om Morgan inte (a . B) = inte a + inte b

Inte [a + (b . C)] Enligt lagar om Morgan inte (a . B) = inte a + inte b

Någon av de fyra djärva alternativen representerar en möjlig lösning för att minska kretsnivån

Förenkla logisk funktion tills dess minsta uttryck

(Till . Inte B .  C + a . Inte B . B . D+ inte a . Inte B) . C

(Till . Inte B . C + a . 0 . D + inte a . Inte B) . C; Av sats a . Inte a = 0

(Till . Inte B . C + 0 + inte a . Inte B) . C; Av sats a . 0 = 0

(Till . Inte B . C + inte a . Inte B) . C; Av sats A + 0 = a

TILL . Inte B . C . C + inte a . Inte B . C; Genom att distribuera produkten med avseende på summan

TILL . Inte B . C + inte a . Inte B . C; Av sats a . A = a

Inte B . C (A + inte A) ; Faktoriserande (inte b . C) med gemensam faktor

Inte B . C (1); Av sats A + inte A = 1

Inte B . C; Med nollregel teorem och enhet 1 . A = a

Referenser

1. Booleska algebra och dess J -applikationer. Eldon Whitesitt. Continental Redaktion, 1980.
2. Matematik och teknik inom datavetenskap. Christopher J. Van. Institute for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, D. C. 20234
3. Matematik för datavetenskap. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology; Akamai -teknik.
4. Delar av abstrakt analys. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutionen för matematik. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
5.  Introduktion till logik och metodik för de deduktiva vetenskaperna. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.