Trigonometriska begränsar hur man löser dem, lösta övningar

De trigonometriska gränser De är gränser för att dessa funktioner bildas av trigonometriska funktioner.

Det finns två definitioner som måste vara kända för att förstå hur beräkningen av en trigonometrisk gräns utförs. Dessa definitioner är:

- Gränsen för en "f" -funktion när "x" tenderar att "b": den består av att beräkna värdet vid vilket f (x) närmar sig när "x" närmar sig "b", utan att hävda "b".

- Trigonometriska funktioner: trigonometriska funktioner är sinus-, kosinus- och tangentfunktioner, betecknade med sin (x), cos (x) respektive solbrun (x).

De andra trigonometriska funktionerna erhålls från de tre funktionerna som nämns ovan.

Funktioner gränser

För att klargöra begreppet en funktionsgräns fortsätter vi att visa några exempel med enkla funktioner.

- Gränsen för f (x) = 3 när "x" tenderar att "8" är lika med "3", eftersom funktionen alltid är konstant. Det spelar ingen roll hur mycket "x" är värt, värdet på f (x) kommer alltid att vara "3".

- Gränsen för f (x) = x-2 när "x" tenderar att "6" är "4". Sedan när "X" är nära "6" närmar sig "X-2" "6-2 = 4".

- Gränsen för g (x) = x² när "x" tenderar att "3" är lika med 9, eftersom när "x" närmar sig "3" då "x²" närmar sig "3² = 9".

Som man kan notera i de föregående exemplen består en gräns för att utvärdera värdet som "x" tenderar i funktionen, och resultatet blir värdet på gränsen, även om detta endast gäller för kontinuerliga funktioner.

Finns det mer komplicerade gränser?

Svaret är ja. De tidigare exemplen är de enklaste exemplen på gränser. I beräkningsböcker är huvudgränsövningarna de som genererar en obestämdhet av typ 0/0, ∞/∞, ∞ -(0*∞, (1)^∞, (0)^0 och (∞)^0.

Kan tjäna dig: Pythagorean Identities: Demonstration, exempel, övningar

Dessa uttryck kallas obestämningar eftersom de är uttryck som matematiskt är vettiga.

Utöver detta, beroende på de funktioner som är involverade i den ursprungliga gränsen, kan resultatet som erhålls vid lösning av obestämmelserna vara olika i båda fallen.

Exempel på enkla trigonometriska gränser

För att lösa gränser är det alltid mycket användbart att känna till graferna för de involverade funktionerna. Nedan följer graferna för sinus-, kosinus- och tangentfunktionerna.

Några exempel på enkla trigonometriska gränser är:

- Beräkna gränsen utan (x) när "x" tenderar att "0".

När du ser grafen kan du se att om "X" närmar sig "0" (både till vänster och höger), så närmar sig bröstets grafik "0". Därför är syndgränsen (x) när "x" tenderar att "0" är "0".

- Beräkna gränsen för cos (x) när "x" tenderar att "0".

Observera kosinusgrafen kan man se att när "X" är nära "0" är grafen för kosinus nära "1". Detta innebär att gränsen för cos (x) när "x" tenderar att "0" är lika med "1".

En gräns kan existera (att vara ett nummer), som är fallet i de tidigare exemplen, men det kan också hända att det inte finns som visas i följande exempel.

- Gränsen för solbränna (x) när "x" tenderar att "π/2" till vänster är lika med "+∞", som kan ses i grafiken. Å andra sidan är gränsen för solbränna (x) när "x" tenderar att "-π/2" till höger är lika med "-∞".

Trigonometriska gränser identiteter

Två mycket användbara identiteter när trigonometriska gränser beräknas är:

Kan tjäna dig: Icke -linjär programmering: Metoder och övningar

- Gränsen för "sin (x)/x" när "x" tenderar att "0" är lika med "1".

- Gränsen för "(1-cos (x))/x" när "x" tenderar att "0" är lika med "0".

Dessa identiteter används mycket ofta när du har någon form av obestämdhet.

Löst övningar

Lös följande gränser med hjälp av identiteterna som beskrivs ovan.

- Övning 1

Beräkna gränsen för "f (x) = utan (3x)/x" när "x" tenderar att "0".

Om "F" -funktionen utvärderas i "0" kommer en obestämdhet av typ 0/0 att erhållas. Därför måste vi försöka lösa denna obestämdhet med hjälp av de beskrivna identiteterna.

Den enda skillnaden mellan denna gräns och identitet är numret 3 som visas inom sinusfunktionen. För att tillämpa identiteten måste "f (x)" -funktionen skrivas om enligt följande “3*(utan (3x)/3x)”. Nu är både bröstargumentet och nämnaren lika.

Så när "X" tenderar att "0" är att använda identitet "3*1 = 3". Därför är gränsen för f (x) när "x" tenderar att "0" är lika med "3".

- Övning 2

Beräkna gränsen för "g (x) = 1/x - cos (x)/x" när "x" tenderar att "0".

När “x = 0” ersätts i g (x) en obestämdhet av typen ∞ -∞. För att lösa det subtraheras fraktionerna, vilket ger som ett resultat "(1-cos (x))/x".

Nu, genom att tillämpa den andra trigonometriska identiteten, är gränsen för g (x) att "x" tenderar att "0" är lika med 0.

- Övning 3

Beräkna gränsen för "H (x) = 4tan (5x)/5x" när "x" tenderar att "0".

Återigen om H (x) utvärderas i "0" kommer en obestämdhet av typ 0/0 att erhållas.

Omskrivning som (5x) som utan (5x)/cos (5x) Det visar sig att h (x) = (utan (5x)/5x)*(4/cos (x))).

Det kan tjäna dig: inskriven vinkel i en cirkel: definition, sats, exempel

Att använda att gränsen för 4/cos (x) när "x" tenderar att "0" är lika med "4/1 = 4" och den första trigonometriska identiteten erhålls som gränsen för h (x) när "x" tenderar "0" är lika med "1*4 = 4".

Observation

Trigonometriska gränser är inte alltid enkla att lösa. I den här artikeln visades endast grundläggande exempel.

Referenser

1. Fleming, w., & Varberg, D. OCH. (1989). Prealculus matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, w., & Varberg, D. OCH. (1989). Precalculus matematik: en problemlösande strategi (2, illustrerad ED.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, w., & Varberg, D. (1991). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
4. Larson, r. (2010). Prealkulus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Lojal, j. M., & Viloria, n. G. (2005). Platt analytisk geometri. Mérida - Venezuela: Venezuelansk redaktion C. TILL.
6. Pérez, c. D. (2006). Prequalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, s. OCH. (2007). Beräkning (Nionde ed.). Prentice hall.
8. Saenz, j. (2005). Differentialberäkning med tidiga transcendenta funktioner för vetenskap och teknik (Second Edition Ed.). Hypotenusa.
9. Scott, C. TILL. (2009). Cartesian Plane Geometry, del: Analytical Conics (1907) (Omtryck ed.). Blixtkälla.
10. Sullivan, m. (1997). Prequalculus. Pearson Education.