Ungefärlig mätning av amorfa figurer Exempel och träning

De Ungefärlig mätning Av de amorfa figurerna består av en serie metoder som används för att bestämma området eller omkretsen av geometriska figurer som inte är trianglar, rutor, cirklar, etc. Vissa är utdragbara till tre dimensionella siffror.

I grund och botten består mätningen av att göra en retikulerad regelbundet, såsom rektanglar, rutor eller trapezoider, som täcker ungefär ytan. Noggrannheten i tillvägagångssättet för det område som erhålls med dessa metoder ökar med finessen eller densiteten hos retikuleringen.

Figur 1. Stenar formade som amorfa figurer. Källa: PXFuel.

Figurerna 1 och 2 visar olika amorfa figurer. För att beräkna området, en retikulerad, sammansatt av 2 x 2 rutor, som i sin tur är indelade i tjugo femtorgar på 2/5 x 2/5.

Att lägga till områdena i huvudkvadrarna och de sekundära rutorna erhålls det ungefärliga området för den amorfa figuren.

figur 2. En retikulerad för att beräkna området för en av de amorfa figurerna på ett ungefärligt sätt. Källa: f. Zapata

[TOC]

Område under en kurva

Det är ofta nödvändigt att beräkna området under en kurva mellan två gränsvärden. I det här fallet kan rektangulära ränder i stället för en fyrkantig retikulering spåras ungefär området under nämnda kurva.

Summan av alla rektangulära ränder kallas Riemanns summa eller summa. Figur 3 visar en partition av intervallet [a, b] som du vill bestämma ungefär området under kurvan.

Figur 3. Partition av intervallet [a, b] i fyra underintervaler, som vanligtvis tas från samma bredd. Rektanglarnas höjd bestäms av värdet på kurvan för en TK som tillhör subintervalen. Källa: f. Zapata.

Anta att du vill beräkna området under kurvan som ges av funktionen y = f (x), där x tillhör intervallet [a, b] inom vilket du vill beräkna området. För detta görs en partition av N -element inom detta intervall:

Kan tjäna dig: 60 delare

Partition = x0 = a, x1, x2, ..., xn = b.

Därefter uppnås det ungefärliga området under kurvan som ges av y = f (x) i intervallet [a, b] med följande summa:

S = ∑_{K = 1}ⁿ med_k) (x_k - x_K-1)

Där t_k är mellan x_K-1 och x_k: x_K-1 ≤ t_k ≤ x_k .

Figur 3 visar summan av riemann för kurvan y = f (x) i intervallet [x0, x4]. I detta fall gjordes en partition av fyra underinterval och summan representerar det totala arean för de grå rektanglarna. 

Denna summa representerar en metod till området under kurvan F mellan Abscissas x = x0 och x = x4.

Tillvägagångssättet till området under kurvan förbättras i den utsträckning antalet n av partitioner är större och tenderar att vara exakt området under kurvan när antalet n Partitioner tenderar att oändliga. 

Om kurvan representeras av en analytisk funktion, värdena f (t_k) De beräknas utvärdera nämnda funktion i värdena t_k. Men om kurvan inte har ett analytiskt uttryck kvarstår följande möjligheter:

1. Närma sig kurvan med en funktion, till exempel ett polynom.
2. Ta de kartesiska koordinaterna för punkterna där kurvan avlyssnas med linjerna x = t_k.

Regelbundna intervaller

Beroende på valet av tk -värde i intervallet [x_k, x_K-1] kan summan överskatta eller underskatta det exakta värdet på området under kurvan för funktionen y = f (x). Det mest tillrådliga är att ta TK -punkten där det saknade området är ungefär lika med det återstående området, även om det inte alltid är möjligt att göra ett sådant val.  

Kan tjäna dig: Multiplicative Inverse: Förklaring, exempel, lösta övningar

Ta TK i slutet

Det mest praktiska är då att använda regelbundna intervall på breda Δx = (b - a)/n, där a och b är minsta och maximala värden för abscissen, medan n är antalet underavdelningar.

I så fall närmar sig området under kurvan av:

Area = f (a+Δx)+f (a+2Δx)+...+f [a+(n-1] Δx+f (b)*Δx

I det föregående uttrycket togs TK i höger ände av underintervallet.

Ta TK till vänster

En annan praktisk möjlighet är att ta Tk -värdet till vänster, i vilket fall summan som ungefärliga området uttrycks som:

Area = [f (a)+f (a+Δx)+...+f (a+(n-1) Δx)*Δx

Tk som centralt värde

Om TK väljs som det centrala värdet för den regelbundna underintervallet för Δx -bredd, är summan som ungefärliga området under kurvan:

Area = [f (a+Δx/2)+f (a+3Δx/2)+...+f (b- Δx/2)]*Δx

Någon av dessa uttryck tenderar till det exakta värdet i den utsträckning att antalet underavdelningar är godtyckligt stort, det vill säga att Δx tenderar att noll, men i detta fall är antalet summan mycket stort med den följd beräkningskostnaden. 

Exempel

Figur 2 visar en amorf figur, vars kontur liknar stenarna i bild 1. För att beräkna dess område placeras det på en retikulerad med huvudtorg på 2 x 2 enheter till torget (till exempel kan de vara 2 cm²).

Och eftersom varje kvadrat delas upp i 5 x 5 underavdelningar, har varje underavdelning ett område på 0,4 x 0,4 kvadratiska enheter (0,16 cm²).

Figuren i figuren skulle beräknas enligt följande:

Kan tjäna dig: Vanlig faktorisering: Exempel och övningar

Area = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²

Det vill säga:

Area = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².

Träning löst

Beräkna ungefär området under kurvan som ges av funktionen f (x) = x² BET A = -2 upp till B = +2. För att göra detta, skriv summan för n regelbundna partitioner av intervallet [a, b] och ta sedan den matematiska gränsen för fallet att antalet partitioner tenderar att oändliga. 

Lösning

Först definieras partitionsintervallet som 

Δx = (b - a)/n. 

Då är summan till höger som motsvarar funktionen f (x) så här:

A = -2 och b =+2 ersätts så att intervallet eller steget är Δx = 4/n. I detta fall summan för funktionen f (x) = x² är:

 Den fyrkantiga binomialen utvecklas: 

[-2 +(4i/n)]² = 4 - 16 I /N + (4 /n)² Yo²

Och sedan ersätts det i summan:

Att separera summeringarna och ta de ständiga mängderna som en vanlig faktor för varje summa erhålls:

 Den första av summan, den andra är:

Och den tredje är:

Ersätta i uttrycket av det summa du har:

S (f, n) = 16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6N²

När du väljer ett stort värde för N har du en bra inställning till området under kurvan. I detta fall är det emellertid möjligt att uppnå det exakta värdet som tar den matematiska gränsen när N tenderar att oändliga:

Area = lim_{N-> ∞}[16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n²]

Område = 16 - (64/2)+ (64/3) = 16/3 = 5.333.

Referenser

1. Casteleiro, J. M. 2002. Omfattande beräkning (illustrerad utgåva). Madrid: ESIC -redaktion.
2. Larson, r. 2010. Beräkning av en variabel. 9na. Utgåva. McGraw Hill.
3. Purcell, E. 2007. Beräkning med analytisk geometri. 9na. Utgåva. Pearson Education.
4. Oanisk. Historia om begreppet integrerad. Återhämtat sig från: arkiv.Oanisk.är
5. Uis. Riemann summor. Återhämtat sig från: matematik.Uis.Edu.co
6. Wikipedia. Område. Återhämtad från: är.Wikipedia.com