Moment of Tröghetsformler, ekvationer och exempel på beräkning

han tröghetsmoment Från en styv kropp med avseende på en viss rotationsaxel representerar den dess motstånd mot att ändra dess vinkelhastighet runt den axeln. Det är proportionellt mot massan och även till platsen för rotationsaxeln, eftersom kroppen, enligt dess geometri, lättare kan rotera runt vissa axlar än i andra.

Anta ett omfattande objekt (bestående av många partiklar) som kan rotera runt en axel. Anta att en styrka fungerar F, tangentiellt applicerat på masselementet Δm_Yo, som producerar ett vridmoment eller ett ögonblick, som ges av τ_netto = ∑r_Yo x F_Yo. Vektorn r_Yo Det är positionen för Δm_Yo (Se figur 2).

Figur 1. Tröghetsundersökningar. Källa: Wikimedia Commons.

Detta ögonblick är vinkelrätt mot rotationsplanet (adress +K = lämnar papper). Eftersom styrkan och den radiella positionen alltid är vinkelrätt förblir tvärprodukten:

τ_netto = ∑ f_Yo r_Yo k = ∑ (Δm_Yo till_Yo) r_Yo  k = ∑ Δm_Yo (till_Yo r_Yo ) k

figur 2. En partikel som tillhör ett styvt fast ämne i rotation. Källa: Serway, R. 2018. Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Cengage Learning.

Acceleration a_Yo representerar den tangentiella komponenten i accelerationen, eftersom radiell acceleration inte bidrar till vridmoment. Beroende på vinkelacceleration α kan vi indikera att:

till_Yo = α r_Yo

Därför är nätmomentet så här:

τ_netto = ∑ Δm_Yo (α r_Yo²) K = (∑ r_Yo² Δm_Yo) a k

Vinkelacceleration α är densamma för hela objektet, därför påverkas det inte av subscriptet "I" och kan lämna summan, vilket är just det tröghetsmomentet för det symboliserade objektet med bokstaven i:

I = ∑ r_Yo² Δm_Yo

Detta är tröghetsmomentet för en diskret massfördelning. När distributionen är kontinuerlig ersätts summan med en integral och Δm blir en massdifferens Dm. Integrationen görs framför allt objektet:

I = ∫_M(r²) DM

Enheterna i tröghetsmomentet i det internationella systemet om de är kg x m². Det är en skalär och positiv mängd, eftersom det är produkten av en deg vid kvadratet på ett avstånd.

[TOC]

Exempel på beräkning

Ett utökat objekt, till exempel en stapel, skiva, sfär eller annan, vars densitet ρ Det är konstant och att veta att densitet är massa -volymkvoten, massdifferensen Dm Det är skrivet som:

ρ = DM/DV → DM = ρDv

Ersätter i integralen för tröghetsmomentet har vi:

I = ∫r² ρdv = ρ ∫r²Dv

Detta är ett allmänt uttryck, giltigt för ett tre -dimensionellt objekt, vars volym V och position r De är funktioner i rymdkoordinater x, och och z. Observera att densitet är konstant.

Tätheten ρ Det är också känt som volymetrisk densitet, men om objektet är väldigt platt, som ett ark eller mycket tunt och smalt som en stav, kan andra former av densitet användas, låt oss se:

Kan tjäna dig: Jordrotationsrörelse

- För ett mycket fint ark är densitet som ska användas σ, ytdensiteten (massa per enhetsarea) och ger är områdets skillnad.

- Och om det är en tunn stång, där bara längden är relevant används linjär massdensitet λ och en längdskillnad, enligt axeln som används som referens.

I följande exempel betraktas alla objekt som styva (icke -utformbara) och har enhetlig densitet.

Tröghetsmomentet i en tunn stång med avseende på en axel som passerar genom dess centrum

Här kommer vi att beräkna tröghetsmomentet för en tunn, styv, homogen bar, av längd L och massa M, med avseende på en axel som passerar genom medlen.

För det första är det nödvändigt att upprätta ett koordinatsystem och bygga en figur med adekvat geometri, såsom denna:

Figur 3. Geometri för att beräkna tröghetsmomentet för en tunn stång med avseende på en vertikal axel som passerar genom dess centrum. Källa: f. Zapata.

Han valdes X -axel längs baren och Axel y Som rotationsaxel. Förfarandet för att upprätta integral kräver också att du väljer en massdifferens på baren, kallad Dm, som har en differentiell längd Dx och ligger i positionen x godtycklig med avseende på centrum x = 0.

Enligt definitionen av linjär massdensitet λ:

λ = m/l

När densiteten är enhetlig, vilket är giltigt för M och L, är det också för DM och DX:

λ = dm/dx → dm = λdx.

Å andra sidan är masselementet på plats x, Sedan genom att ersätta denna geometri i definitionen har vi en bestämd integral, vars gränser är extremiteterna i stången enligt koordinatsystemet:

Byte av linjär densitet λ = m/l:

För att hitta tröghetsmomentet i stången med avseende på en annan rotationsaxel, till exempel en som passerar genom ett av dess ändar, kan du använda Steiner Theorem (se träning löst i slutet) eller utföra en direkt beräkning som liknar den visas här, men korrekt modifiering av geometri.

Tröghetsmomentet för ett album med avseende på en axel som passerar genom dess centrum

Ett mycket tunt album, av föraktlig tjocklek är en platt figur. Om degen är jämnt fördelad över hela området A är massdensitet σ:

σ = M/a

Så mycket Dm som ger motsvarar massan och området för den differentiella ringen som visas i figuren. Vi antar att hela uppsättningen kretsar kring axeln och.

Du kan föreställa dig att albumet är komponerat att många radiokoncentriska ringar r, var och en med sitt respektive tröghetsmoment. Lägga till bidrag från alla ringar tills du når radion R, Du kommer att ha den totala trögheten i albumet.

σ = DM/DA → DM = σger

Figur 4. Geometri för att beräkna tröghetsmomentet för ett album, med avseende på den axiella axeln. Källa: f. Zapata.

Där M representerar hela degen på albumet. Området för ett album beror på dess radie r som:

Kan tjäna dig: hastigheten för förökning av en våg

A = π.r²

Härleda R:

Da /dr = 2 = 2π.R → da = 2π.rdr

Ersätta ovanstående i definitionen av i:

Efter utvärderingen av de integrerade resultaten:

Ersätter σ = m/(π.R² ) är kvar:

Tröghetsmomentet av en fast sfär med avseende på en diameter

En radie r sfär kan betraktas som en serie staplade skivor ovanpå varandra, där varje Infinitesimal Mass -album Dm, radio r och tjocklek DZ, Det har ett ögonblick av tröghet som ges av:

gav av_disk = (½) r²Dm

För att hitta denna skillnad togs och ersattes formeln för föregående avsnitt helt enkelt M och R förbi Dm och r, respektive. Ett album som detta kan ses i geometrien i figur 5.

Figur 5. Geometri för att beräkna tröghetsmomentet för en fast radiusfär med avseende på en axel som passerar genom en diameter. Källa: f. Zapata.

Genom att lägga till alla ögonblick av oändliga tröghet av staplade skivor erhålls momentet av total tröghet på sfären:

Yo_sfär = ∫di_disk

Vilket motsvarar:

I = ∫_sfär (½) r²Dm

För att lösa integralen måste du uttrycka Dm ordentligt. Som alltid uppnås det från densitet:

ρ = m/v = dm/dv → dm = ρ.Dv

Volymen på en differentiell skiva är:

DV = basområde x höjd

Albumets höjd är tjockleken DZ, Medan basområdet är πr², därför:

Dv = πr²DZ

Och att byta ut i den integrerade skulle vara så här:

I = ∫_sfär(½) r²Dm = ∫ (½) r²(ρπr²Dz)

Men innan det integreras måste det. Genom Pythagoras teorem:

R² = r² + z² → R² = R² - z²

 Det leder oss till:

I = ∫_sfär(½) ρ r²(πr²dz) = ∫_sfär(½) ρ π r⁴DZ= ∫_sfär(½) ρ π (r² - z²)² DZ

För att integrera hela sfären märker vi att Z varierar mellan -r och R därför:

Veta att ρ = m/v = m/[(4/3) πr³] Slutligen erhålls det efter förenkling:

Tröghetsmoment i en fast cylinder med avseende på den axiella axeln

För detta objekt används en metod som liknar den som används för sfären, bara den här gången är det lättare om cylindern föreställs för radiocylindriska skal r, tjocklek Doktor och höjd H, Som om de var en lökskikt.

Figur 6. Geometri för att beräkna tröghetsmomentet för en fast radiecylinder R avseende på den axiella axeln. Källa: Serway, R. 2018. Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Häck.

Volymen Dv av ett cylindriskt skikt är:

Dv = 2π.Rl.Doktor

Därför är Cascaron -massan:

Kan tjäna dig: Mikroskopisk skala: Egenskaper, grevepartiklar, exempel

DM = ρ.Dv = ρ. 2π.r.L.Doktor

Detta uttryck ersätts i definitionen av tröghetsmoment:

 Givet att ρ = m / (π.R²L) är kvar:

Den föregående ekvationen indikerar att cylinderns tröghetsmoment inte beror på dess längd, utan endast på dess massa och dess radie. Ja L Förändrad skulle tröghetsmomentet med avseende på den axiella axeln fortsätta att vara densamma. Av denna anledning, Yo av cylindern sammanfaller med det för det tidigare beräknade tunna albumet.

Tröghetsmomentet i ett rektangulärt ark med avseende på en axel som passerar genom dess centrum

De Axel y Horisontellt som rotationsaxel. Figuren nedan visar nödvändig geometri för att utföra integration:

Figur 7. Geometri för beräkning av tröghetsmomentet för en rektangulär platta med avseende på en parallell axel till arket och som passerar genom dess centrum. Källa: f. Zapata.

Det areelement som anges i rött är rektangulärt. Dess område är därför bas x höjd: därför:

da = a.DZ

Därför är massdifferensen:

Dm = σ.da = σ.(till.Dz)

När det gäller avståndet från areelementet till rotationsaxeln är det alltid z. Vi ersätter allt detta i integralen i tröghetsmomentet:

Nu ersätts ytmassdensiteten σ av:

σ = m/ab

Och det är definitivt så här:

Observera att det är som den tunna stången.

Tröghetsmomentet av en fyrkantig ark med avseende på en axel som passerar genom dess centrum

För en fyrkant på sidan L, I det tidigare uttrycket giltigt för en rektangel, värdet av b av den L:

Teorier av tröghetsmomentet

Det finns två särskilt användbara teorier för att förenkla beräkningen av tröghetsmoment med avseende på andra axlar, som annars kan vara komplicerade att hitta för bristen på symmetri. Dessa teorem är:

Steiners teorem

Även kallad Parallell axelsats, Relaterar tröghetsmomentet beträffande en axel med en annan som passerar genom objektets massa centrum, så länge axlarna är parallella. För att applicera det måste avståndet D vara känt mellan de två axlarna och naturligtvis massan m för objektet.

Vara Yo_z tröghetsmomentet för ett utökat objekt med avseende på Z, I Axis_Centimeter Tröghetsmomentet med avseende på en axel som passerar genom masscentret (CM) för nämnda objekt, då uppfylls det:

Yo_z = Jag_Centimeter + VD²

Eller i notationen av följande figur: Yo_{z '} = Jag_z + VD²

Figur 8. Steiner sats eller parallella axlar. Källa: Wikimedia Commons. Jack se [CC BY-SA (https: // CreativeCommons.Org/licenser/BY-SA/3.0)]

Vinkelrätt

Detta sats gäller för platta ytor och säger: tröghetsmomentet för ett platt föremål runt en axel vinkelrätt mot det är summan av tröghetsmoment runt två axlar vinkelrätt mot den första axeln:

Yo_z = Jag_x + Yo_och

Figur 9. Vinkelrätt. Källa: f. Zapata.

Om objektet har symmetri så Yo_x och Yo_och De är desamma, då uppfylls det:

Yo_z = 2i_x

Träning löst

Hitta tröghetsmomentet i stången med avseende på en axel som passerar genom en av dess ändar, till exempel den som visas i figur 1 (nedan och till höger) och figur 10.

Figur 10. Tröghetsmomentet i en homogen stång runt en axel som passerar genom ena änden. Källa: f. Zapata.

Lösning:

Vi har redan tröghetsmomentet i stången runt en axel som passerar genom dess geometriska centrum. Eftersom baren är homogen är dess masscentrum vid den punkten, så detta kommer att vara vårt Yo_Centimeter Att tillämpa Steiners teorem.

Om stångens längd är L, Z -axeln är på ett avstånd d = l/2, därför:

Yo_z = Jag_Centimeter + VD²= (1/12) ml²+M (l/2)²= (1/3) ml²

Referenser

1. Bauer, w. 2011. Fysik för teknik och vetenskap. Volym 1. MC Graw Hill. 313-340
2. Rex, a. 2011. Fysikens grunder. Pearson. 190-200.
3. Parallell axelsats. Återhämtat sig från: hyperfysik.Phy-astrage.Gsu.Edu.
4. Serway, R. 2018. Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Häck.
5. Sevilla universitet. Tröghetsmoment av sfäriska fasta ämnen. Återhämtat sig från: Laplace.oss.är.
6. Sevilla universitet. Tröghetsmomentet i ett partikelsystem. Återhämtat sig från: Laplace.oss.är.
7. Wikipedia. Parallell axelsats. Hämtad från: i.Wikipedia.org