Axiomatisk metod

Vad är den axiomatiska metoden?

han axiomatisk metod Det är ett formellt förfarande som används av vetenskap genom vilka uttalanden eller förslag som kallas axiomer formuleras, kopplade till varandra av en avdragsgilla relation och som är grunden för hypoteserna eller förhållandena för ett visst system.

Denna allmänna definition måste inramas inom den utveckling som denna metod har haft genom historien. Först finns det en gammal eller innehållsmetod, född i antika Grekland från Euclid och sedan utvecklats, av Aristoteles.

För det andra, redan under det nittonhundratalet, utseendet på en geometri med andra axiomer än Euclid. Och slutligen den formella eller moderna axiomatiska metoden, vars maximala exponent var David Hilbert.

Utöver dess utveckling över tid har denna procedur varit grunden för den deduktiva metoden med hjälp av geometri och logik där den har sitt ursprung. Det har också använts inom fysik, kemi och biologi.

Och till och med tillämpas inom juridisk vetenskap, sociologi och politisk ekonomi. Men för närvarande är dess viktigaste tillämpningsområde matematik och symbolisk logik och vissa grenar av fysik som termodynamik, mekanik, bland andra discipliner.

Egenskaper för den axiomatiska metoden

Medan den grundläggande egenskapen för denna metod är formuleringen av axiomer, har dessa inte alltid beaktats på samma sätt.

Det finns några som kan definieras och bygga godtyckliga. Och andra, enligt en modell där dess intuitivt garanterade sanning övervägs.

För att specifikt förstå vad denna skillnad och dess konsekvenser består av är det nödvändigt att resa utvecklingen av denna metod.

Gammal eller innehållsaxiomatisk metod 

Är etablerat i antika Grekland mot 500 -talet.C. Dess tillämpningsområde är geometri. Det grundläggande arbetet i detta steg är elementen i Euclid, även om det anses att före honom, Pythagoras, redan hade fött den axiomatiska metoden.

Kan tjäna dig: kapitalism i Mexiko: historia, egenskaper, konsekvenser

Således tar grekerna vissa fakta som axiomer, utan att några logiska bevis behövs, det vill säga utan behov av demonstration, eftersom de för dem är en uppenbar sanning av sig själv.

För sin del presenterar Euclid fem axiomer för geometri:

1. Tärningar två punkter Det finns en linje som innehåller dem eller förenar dem.
2. Varje segment kan förlängas kontinuerligt på en obegränsad linje på båda sidor.
3. Du kan dra en omkrets som har ett centrum var som helst och vilken radie som helst.
4. Raka vinklar är alla desamma.
5. Ta någon rak linje och någon punkt som inte finns i den, det finns en rak linje parallell med det och som innehåller till den punkten. Detta axiom är senare känt som parallellernas axiom och har också angetts som: genom en extern punkt till en linje kan du rita en enda parallell.

Men både Euclid och senare matematiker är överens om att den femte axiom inte är lika tydligt intuitivt som de andra 4. Även under renässansen försöker den härleda den femte av de andra 4, men det är inte möjligt.

Detta orsakade att under det nittonde århundradet, som upprätthöll de fem var anhängare av euklidisk geometri och de som förnekade den femte, var de som skapade de icke -euklidiska geometrierna.

Icke -euklidisk axiomatisk

De är precis Nikolai Ivánovich Lobachevski, János Bolyai och Johann Karl Friedrich Gauss som ser möjligheten att bygga, utan motsägelse, en geometri som kommer från andra Axiom -system än de av Euclides. Detta förstör tron ​​på axiomernas absoluta eller priori sanning och teorierna som härstammar från dem.

Därför börjar axiomer att bli utformade som utgångspunkter för en specifik teori. Även både ditt val och problemet med dess giltighet på ett eller annat sätt börjar relatera till fakta utanför den axiomatiska teorin.

Det kan tjäna dig: de 7 danserna och typiska danserna av Hidalgo mer berömda

På detta sätt visas geometriska, algebraiska och aritmetiska teorier som byggs genom den axiomatiska metoden.

Detta steg kulminerar med skapandet av axiomatiska system för aritmetik som Giuseppe Peano 1891; David Huberts geometri 1899; Alfred North Whitehead och Bertrand Russells predikatuttalanden i England 1910; Den axiomatiska teorin om Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo -uppsättningar 1908.

Modern eller formell axiomatisk metod

Det är David Hubert som börjar uppfattningen av en formell axiomatisk metod och som leder till dess kulmination, David Hilbert.

Det är just Hilbert som formaliserar det vetenskapliga språket, med tanke på deras uttalanden som formler eller tecken -sekvenser som inte har någon mening i sig själva. De får bara mening i en viss tolkning.

I "Grunden för geometri”Förklara det första exemplet på denna metodik. Härifrån blir geometri en vetenskap om rena logiska konsekvenser, som extraheras från en hypotes eller axiomsystem, bättre formulerat än det euklidiska systemet.

Detta beror på att axiomatiska teorin i den forntida systemet är baserat på bevis på axiomer. Under tiden, i grunden för formell teori, ges den genom demonstrationen av icke -kontradiktion av dess axiomer.

Steg i den axiomatiska metoden

Förfarandet som utför en axiomatisk strukturering inom vetenskapliga teorier erkänner:

• A-valet av en viss mängd axiomer, det vill säga ett antal förslag av en viss teori som accepteras utan att demonstreras.
• B-begreppen som ingår i dessa förslag bestäms inte inom ramen för den givna teorin.
• C.
• D.

Det kan tjäna dig: Sköld av den tekniska sekundären i Mexiko

Exempel

Denna metod kan verifieras genom demonstrationen av de två mest kända Euclid -teoremerna: kategorinsteoremet och höjden.

Båda uppstår från observationen av denna grekiska geometer att när höjden dras med avseende på hypotenusen inom en rektangel triangel, visas ytterligare två trianglar av originalet. Dessa trianglar liknar varandra och liknar samtidigt med ursprungets triangel. Detta innebär att deras respektive homologer är proportionella.

Det framgår att de kongruenta vinklarna i trianglarna på detta sätt verifierar den likhet som finns mellan de tre trianglarna som är involverade i enlighet med AAA -likhetskriterierna. Detta kriterium hävdar att när två trianglar har alla deras lika vinklar är liknande.

När det har visats att trianglarna är liknande kan de proportioner som anges i det första teoremet upprättas. Samma anger att måttet på varje kateto är en medium geometrisk proportionell i en rektangel -triangel.

Den andra satsen är höjden. Den specificerar att varje rektangel triangel höjden som ritas enligt hypotenusen är en medium geometrisk proportionell mellan de segment som bestäms av nämnda geometriska medelvärde över hypotenusen.

Naturligtvis har båda teoremerna många tillämpningar över hela världen inte bara inom undervisningsområdet, utan också inom teknik, fysik, kemi och astronomi.