Vänner eller vänliga exempel och hur man hittar dem

De Vänner eller vänliga nummer Det finns två naturliga siffror A och B vars summa av delarna av en av dem (inte inklusive antalet) är lika med det andra numret, och summan av delarna av denna andra (inklusive det heller) är lika med den första problem.

Många par med siffror som delar denna nyfikna egendom har hittats. De är inte för små antal, minderåriga är 220 och 284, upptäckta för flera århundraden sedan. Så låt oss ge dem som ett exempel på vad denna speciella vänskap mellan siffror betyder.

Figur 1. Paret vänner 220 och 284 var redan kända i århundraden. Källa: Pixabay.

Delarna av 220, inklusive 220, är: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 och 110. Å andra sidan är delarna av 284, inklusive 284: 1, 2, 4, 71 och 142.

Nu lägger vi till delarna av det första numret, som är 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Vi observerar att i själva verket är summan 284, nummervän.

Sedan läggs delarna på 284:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

Och den första medlemmen i paret erhålls.

De forntida grekiska matematikerna från Pythagorean School, grundad av Pythagoras (569-475 till.C.), Författaren till den berömda teoremet med samma namn, lyckades upptäcka detta speciella förhållande mellan dessa två siffror, som många mystiska egenskaper tillskrivs.

De var också kända av de islamiska matematikerna från medeltiden, som lyckades bestämma en allmän formel för att hitta vänner om 850 -talet i vår era.

[TOC]

Formel för att hitta vänner

Den islamiska matematikern Thabit Ibn Qurra (826-901) hittade ett sätt att generera några vännernummer. Hylsa p, q och r Tre primtal, det vill säga siffror som bara medger för 1 och sig själva som delare.

När du uppfyller följande:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2ⁿ - 1

Kan tjäna dig: Corollary (Geometry)

R = 9.2^2n-1 - 1

Med n ett antal större än 1, då:

A = 2ⁿPQ och B = 2ⁿr 

Sminka ett par vänner. Vi kommer att prova formeln för n = 2 och se vilka par vänner nummer som genererar:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Så:

A = 2ⁿPq = 2². 5. 11 = 220

B = 2ⁿR = 2². 71 = 284

Formeln för den medeltida matematiska.

Satsen fungerar emellertid inte för alla vänner som hittills hittats, bara för n = 2, n = 4 och n = 7.

Århundraden senare drog den schweiziska matematikern Leonhard Euler (1707-1783) en ny regel för att hitta vänliga siffror, baserat på Thabit Ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Som alltid är siffrorna P, Q och R kusiner, men nu finns det två hela exponenter: M och N, varav M måste uppfylla följande villkor:

1 ≤ m ≤ n-1

Vännerparet är bildat på samma sätt:

A = 2ⁿpq 

B = 2ⁿr 

Om M = N-1 erhålls igen Thabits teorem, men som är fallet med den islamiska matematikerns teorem, tillfredsställer inte alla vänliga siffror Euler-regeln. Men med det mängden vänliga siffror som är kända fram till dess ökade.

Här är de första paren av exponenter (M, N) för att hitta några vänliga siffror:

(1,2), (3,4), (6.7), (1.8) och (29.40)

Senare, i träningsavsnittet, hittar vi paret vänliga siffror som bildas tack vare exponenterna (3,4) av Euler -regeln.

Exempel på vänner nummer

-220 och 284

Kan tjäna dig: slumpmässigt experiment: koncept, provutrymme, exempel

-1184 och 1210

-2620 och 2924

-5020 och 5564

-6232 och 6368

-10.744 och 10.856

-12.285 och 14.595

-17.296 och 18.416

Naturligtvis kan många fler par med vänliga nummer genereras med dator.

Hur man bryter ner ett nummer och hittar dina delare

Låt oss nu se hur man hittar delarna av ett nummer, för att bekräfta om de är vänner. Enligt definitionen av vänliga siffror behövs alla delare av varje deltagare för att kunna lägga till dem, utom siffrorna själva.

Nu kan naturliga siffror delas in i två grupper: primtal och sammansatta nummer.

Primo -nummer medger bara exakta delare till 1 och sig själva. Och siffrorna som komponeras av deras del, kan alltid uttryckas som produkten av primtal och ha andra delare, bortsett från 1 och av sig själva.

Ett alla sammansatta nummer, som 220 eller 284, kan uttryckas på detta sätt:

N = aⁿ . b^m. c^p... r^k

Där a, b, c ... r är primtal och n, m, p ... k är exponenter som tillhör naturliga siffror, vilket kan vara värt från 1 och framåt.

När det gäller dessa exponenter finns det en formel att veta hur många (men inte vilka) delare har numret n. Låt C vara detta belopp:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

När numret n har uttryckts i termer av prime -siffror och det är känt hur många delare har, har du redan verktygen för att veta vad deras delare är, både kusiner och icke -kusiner. Och det är nödvändigt att träffa dem alla för att kontrollera om de är vänner, utom den sista, vilket är själva numret.

Löst övningar

- Övning 1

Hitta alla delare av paret vänner 220 och 284.

Lösning

Först hittar vi de främsta delarna på 220, som är ett sammansatt nummer:

Kan tjäna dig: punktlig uppskattning

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

Nedbrytningen i främsta faktorer på 220 är:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. elva

Därför n = 2, m = 1, p = 1 och äger:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 Divisores

De första delarna som varnas för nedbrytningen av antalet är: 1, 2, 4, 5 och elva. Och de är också 110 och 55.

5 av dem skulle saknas, som tillverkar produkter mellan kusiner och deras kombinationer: 2².5 = tjugo;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 Och slutligen 1 och hans egen 220.

En analog procedur för 284 följs:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 delare

Dessa delare är: 1, 2, 4, 71, 142 och 284, som anges i början.

figur 2. Med den beskrivna metoden kan dessa par analyseras för att verifiera att de är vännernummer. Källa: f. Zapata.

- Övning 2

Kontrollera Euler -formeln för n = 4 och m = 3 genererar listan över primtal (p, q, r) = (23,47, 1151). Vad är paret av vänner som bildas med dem?

Lösning

Prime -nummer P, Q och R beräknas av:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Att ersätta värdena på m = 3 och n = 4 erhålls:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Nu tillämpas formeln för att hitta paret vänner nummer A och B:

A = 2ⁿpq 

B = 2ⁿr 

A = 2ⁿPq = 16. 23. 47 = 17.296

B = 2ⁿR = 16. 1151 = 18.416

Och de är faktiskt bland listan över de första paren med vänner som vi visar tidigare.

Referenser

1. Baldor, a. 1986. Aritmetisk. Codex -utgåvor och distributioner.
2. Allt om primtal. VÄNNER NUMMER. Återhämtat sig från: sjuksköterska.org.
3. Wolfram Mathworld. Eulers regel. Återhämtat sig från: Mathworld.Volfram.com.
4. Wikipedia. Vänliga nummer. Hämtad från: i.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. VÄNNER NUMMER. Återhämtad från: är.Wikipedia.org.