Egenskaper Förenade nummer, exempel, övningar

De siffror De är de som har mer än två delare. Om vi ​​ser bra ut är alla siffror åtminstone delbara exakt med varandra och mellan 1. De som bara har dessa två delare kallas kusiner, och de som har fler är föreningar.

Låt oss titta på nummer 2, som bara kan delas mellan 1 och 2. Numret 3 har också två delare: 1 och 3. Därför är båda kusiner. Låt oss nu se nummer 12, som vi kan dela exakt med 2, 3, 4, 6 och 12. Att ha 5 delare, 12 är ett sammansatt nummer.

Figur 1. Primo -nummer i blått kan endast representeras av en enda rad med punkter, men inte siffrorna som komponeras i rött. Källa: Wikimedia Commons.

Och vad som händer med nummer 1, det som delar upp alla andra? Det är inte kusin, eftersom den inte har två delare, och det är inte sammansatt, därför faller inte 1 inom någon av dessa två kategorier. Men det finns många fler nummer som gör det.

Kompositnummer kan uttryckas som produkten av primtal, och denna produkt, med undantag för faktorernas ordning, är unik för varje nummer. Detta säkerställs av den grundläggande teoremet för det aritmetiska som demonstreras av den grekiska matematikern Euclides (325-365 AC).

Låt oss gå tillbaka till nummer 12, som vi kan uttrycka på flera sätt. Låt oss prova några:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2² x 3 = 3 x 2² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Formerna som markeras i fetstil är produkter av primtal och det enda som ändrar är ordningen på faktorerna, som vi vet inte förändrar produkten. De andra formerna, även om de är giltiga för att uttrycka 12, består inte bara av kusiner.

Exempel på sammansatta nummer

Om vi ​​vill bryta ner ett sammansatt nummer i dess främsta faktorer måste vi dela det mellan primtal så att divisionen är exakt, det vill säga återstoden är 0.

Denna procedur kallas Nedbrytning i främsta faktorer eller kanonisk nedbrytning. Primo -faktorer kan höjas till positiva exponenter.

Vi kommer att bryta ner numret 570 och märka att det är jämnt och därför delbart mellan 2, vilket är ett primtal.

Kan tjäna dig: vad är proportionalitetsfaktorn? (Löst övningar)

Vi kommer att använda en stapel för att separera vänsternumret från delarna till höger. De respektive kvoterna placeras under numret när de erhålls. Nedbrytningen är klar när den sista siffran i den vänstra kolumnen är 1:

570 │2
285 │

Genom att dela med 2 Kvoten är 285 som är delbar med 5, ett annat primtal, för att avsluta i 5.

570 │2
285 │5
57 │

57 är delbar mellan 3, även kusin, eftersom summan av dess siffror 5 +7 = 12 är en multipel av 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Slutligen får vi 19, som är ett primtal, vars delare är 19 och 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

När vi får 1 kan vi uttrycka 570 på detta sätt:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Och vi ser att det i själva verket är produkten av fyra primtal.

I det här exemplet började vi med att dela med 2, men samma faktorer (i en annan ordning) skulle ha erhållits om det började dela med 5 till exempel.

figur 2. Föreningen nummer 42 kan också brytas ned med ett trädformat diagram. Källa: Wikimedia Commons.

Delningskriterier

För att bryta ner ett sammansatt antal i sina främsta faktorer är det nödvändigt att dela det exakt. Uppdelningskriterierna mellan primtal är regler som gör att du kan veta när ett nummer kan delas mellan en annan exakt, utan att behöva ta upp eller bevisa.

-Delbarhet mellan 2

Allt vridmomentantal, de som slutar vid 0 eller en vridmomentfigur är delbara mellan 2.

-Delbarhet mellan 3

Om summan av siffrorna för ett nummer är en multipel av 3, är antalet också och därför delbart mellan 3.

-Delbarhet mellan 5

Siffrorna som slutar på 0 eller 5 är delbara mellan 5.

-Delbarhet mellan 7

Ett nummer kan delas mellan 7 om när du separerar den sista siffran multiplicerar det med 2 och subtrahera antalet som återstår är det resulterande värdet en multipel av 7.

Denna regel verkar lite mer komplicerad än de tidigare, men i verkligheten är det inte så mycket, så vi ser ett exempel: kommer den att vara 98 delbar mellan 7?

Kan tjäna dig: Empirisk regel: Hur man tillämpar den, vad är det för, lösta övningar

Låt oss följa instruktionerna: Vi separerar den sista siffran som är 8, vi multiplicerar den med 2 som ger 16. Numret som lämnats genom att separera 8 är 9. Låt oss subtrahera 16 - 9 = 7. Och eftersom 7 är en multipel av sig själv är 98 delbar mellan 7.

-Delbarhet mellan 11

Om summan av siffrorna i vridmoment (2, 4, 6 ...) är summan av de udda positionsfigurerna (1, 3, 5, 7 ...) subtraheras och 0 eller en multipel av 11 erhålls, den Antalet är delbart med 11.

De första multiplarna av 11 är lätt att identifieras: det finns 11, 22, 33, 44 ... 99. Men uppmärksamhet, 111 är inte, men 110 ja.

Som ett exempel, låt oss se om 143 är en multipel av 11.

Detta nummer har 3 figurer, det enda vridmomentfiguren är 4 (den andra), de två udda figurerna är 1 och 3 (första och tredje), och dess summa är 4.

Båda summorna subtraheras: 4 - 4 = 0 och hur 0 erhålls visar det sig att 143 är en multipel av 11.

-Delbarhet mellan 13

Antalet utan siffran för enheterna på 9 gånger måste subtraheras. Om kontot ger 0 eller en multipel av 13 är numret en multipel av 13.

Som exempel kommer vi att verifiera att 156 är en multipel av 13. Siffran för enheterna är 6 och antalet som återstår utan det är 15. Vi multiplicerar 6 x 9 = 54 och subtraherar nu 54 - 15 = 39.

Men 39 är 3 x 13, därför är 56 en multipel av 13.

Primo -nummer med varandra

Kan två eller flera prime- eller sammansatta nummer vara kusiner med varandra eller koppar. Detta innebär att den enda vanliga delaren de har är 1.

Det finns två viktiga egenskaper att komma ihåg om koppar:

-Två, tre och fler på varandra följande nummer är alltid kusiner med varandra.

-Detsamma kan sägas om två, tre eller flera udda siffror i följd.

Till exempel 15, 16 och 17 är primtal med varandra och är 15, 17 och 19.

Hur man vet hur många delare ett sammansatt nummer har

Ett primtal har två delare, samma nummer och 1. Och hur många delare har ett sammansatt nummer? Dessa kan vara kusiner eller föreningar.

Kan tjäna dig: prismor och pyramider

Låt n ett sammansatt nummer uttryckt i termer av dess kanoniska nedbrytning på följande sätt:

N = aⁿ . b^m. c^p... r^k

Där a, b, c ... r är de främsta faktorerna och n, m, p ... k respektive exponenter. Tja, mängden delare C som har n ges av:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Med C = prime delisorer + sammansatta delare + 1

Till exempel 570, som uttrycks enligt följande:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Alla främsta faktorer är förhöjda till 1, därför har 570:

C = (1+1) (1+1) (1+ 1) (1 +1) = 16 delare

Av dessa 10 delare vet vi redan: 1, 2, 3, 5, 19 och 570. 10 fler delare saknas, som är sammansatta nummer: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 och 285. De observerar nedbrytningen i främsta faktorer och multiplicerar också kombinationer av dessa faktorer med varandra.

Löst övningar

- Övning 1

Nedbrytning i främsta faktorer Följande siffror:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Lösning till

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Lösning B

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Lösning C

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2² x 3³

Lösning D

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Övning 2

Ta reda på om följande nummer är kusiner med varandra:

6, 14, 9

Lösning

-Delarna av 6 är: 1, 2, 3, 6

-När det gäller 14 är det delbart med: 1, 2, 7, 14

-Slutligen 9 har som delare: 1, 3, 9

Den enda delaren de har gemensamt är 1, därför är de kusiner med varandra.

Referenser

1. Baldor, a. 1986. Aritmetisk. Codex -utgåvor och distributioner.
2. Byju. Prime och Composite Numbers. Återhämtat sig från: byju.com.
3. Primo- och sammansättningssiffror. Hämtad från: Profeyennyvivas Presentationen.Filer.WordPress.com
4. Smart. Delningskriterier. Återhämtat sig från: smartick.är.
5. Wikipedia. Sammansattnummer. Hämtad från: i.Wikipedia.org.