Logaritmiska funktionsegenskaper, exempel, övningar

De logaritmisk funktion Det är en matematisk relation som associerar varje positivt verkligt antal x Med din logaritm och på en bas till. Detta förhållande uppfyller kraven för att vara en funktion: varje element X som tillhör domänen har en unik bild.

Därför:

f (x) = y = logg_till x , Med A> 0 och skiljer sig från 1.

Figur 1. Logaritmfunktionsgraf för bas 10 (grön), bas E (röd) och bas 1.7 (lila). Källa: Wikimedia Commons.

De viktigaste egenskaperna för logaritmisk funktion är:

-Dess domän är alla reais större än 0, inklusive 0. Med andra ord finns det ingen logaritm eller negativa siffror på någon bas. I form av ett intervall:

Sol _F = (0, ∞+)

-Logaritmen för ett nummer kan vara negativ, positiv eller 0, så att dess räckvidd eller rutt är:

RGO _F = (-∞, ∞+)

-Logaritmisk funktion växer alltid för en> 1 och minskar<1.

-Den omvända f (x) = logg_till x är den exponentiella funktionen.

I själva verket är logaritmfunktionen baserad på den omvända funktionen av den potentiella funktionen:

F^-1(x) = a^och

Sedan logaritm baserad till av ett nummer x, Det är numret och som basen måste höjas till att få x.

-Baslogaritmen är alltid 1. Således grafen av f (x) = logg_till x Önska alltid till X -axeln vid punkten (1.0)

-Den logaritmiska funktionen är transcendenta och kan inte uttryckas som polynom eller som en kvot för dessa. Förutom logaritm inkluderar denna grupp trigonometriska och exponentiella funktioner, bland andra.

[TOC]

Exempel

Den logaritmiska funktionen kan upprättas genom olika baser, men de mest använda är 10 och och, var och Det är antalet Euler lika med 2 71828 .. .

När basen 10 används kallas logaritmen decimal logaritm, vulgar logaritm, briggs eller helt enkelt logaritm för att torka.

Och om numret E används, kallas det Neperian Logaritm, av John Napier, den skotska matematikern som upptäckte logaritmerna.

Kan tjäna dig: Multiplicative Inverse: Förklaring, exempel, lösta övningar

Notationen som används för var och en är som följer:

-Decimal logaritm: logg₁₀ x = log x

-Neperian logaritm: ln x

När en annan bas kommer att användas är den absolut nödvändig. Till exempel, om det handlar om logaritmer på bas 2, skrivs det:

y = logg₂ x

Låt oss titta på nummer 10 -logaritmen i tre olika baser för att illustrera denna punkt:

Log 10 = 1

ln 10 = 2.30259

logga₂ 10 = 3.32193

Vanliga kalkylatorer tar bara med decimallogaritmer (log) och Neperian logaritm (LN -funktion). På internet finns det kalkylatorer med andra baser. I vilket fall som helst kan läsaren verifiera, med hjälp av samma, att med de tidigare värdena är det uppfyllt:

10¹ = 10

och^2.3026 = 10.000

2^3.32193 = 10.0000

Små decimalskillnader beror på mängden decimaler som tagits vid beräkningen av logaritmen.

Fördelarna med logaritmer

Bland fördelarna med att använda logaritmerna är den lätthet de ger för att arbeta med stort antal med sin logaritm istället för numret direkt.

Detta är möjligt eftersom logaritmfunktionen växer långsammare eftersom siffrorna är större, som vi uppskattar i grafiken.

Så även i fallet med mycket stort antal är deras logaritmer mycket mindre och manipulering av små antal är alltid enklare.

Dessutom uppfyller logaritmerna följande egenskaper:

-Produkt: log (a.b) = log a + log b

-Kvot: log (a/b) = log a - log b

-Kraft: logg a^b = B.logga a

Och på detta sätt blir produkter och kvoter summor och subtraktion av mindre antal, medan förstärkningen förvandlas till en enkel produkt även om kraften är hög.

Det är därför logaritmerna tillåter att uttrycka siffror som varierar i mycket stora värderingsområden, såsom ljudets intensitet, pH i en lösning, stjärnans ljusstyrka, det elektriska motståndet och jordbävningarnas intensitet på Richter skala.

Kan tjäna dig: externa alternativa vinklar: Övningar och övningar löstfigur 2. Logaritmer används på Richter -skalan för att kvantifiera jordbävningarnas storlek. Bilden visar att en byggnad kollapsade i Concepción, Chile, under jordbävningen 2010. Källa: Wikimedia Commons.

Låt oss titta på ett exempel på hanteringen av logaritmernas egenskaper:

Exempel

Hitta värdet på X i följande uttryck:

Log (5x +1) = 1 + log (2x-1)

Svar

Vi har en logaritmisk ekvation här med tanke på att det okända är på logaritmargumentet. Det löses genom att lämna en enda logaritm på varje sida av jämlikhet.

Vi börjar med att placera alla termer som innehåller "X" till vänster om jämlikhet, och de som bara innehåller siffror till höger:

log (5x+1) - log (2x -1) = 1

Till vänster har vi subtraktionen av två logaritmer, som kan skrivas som logaritmen för en kvot:

log [(5x+1)/ (2x-1)] = 1

Till höger är emellertid nummer 1, som vi kan uttrycka som log 10, som vi såg tidigare. Så:

log [(5x+1)/ (2x-1)] = log 10

För att jämlikhet ska uppfyllas, argument av logaritmerna måste vara desamma:

(5x+1)/ (2x-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x - 1)

5x + 1 = 20 x - 10

-15 x = -11

x = 11/15

Ansökningsövning: Richters skala

1957 inträffade en jordbävning i Mexiko vars storlek var 7.7 På Richter -skalan. 1960 inträffade en annan jordbävning med mest storlek i Chile, 9.5.

Beräkna hur många gånger var den chilenska jordbävningen mer intensiv än Mexiko, och vet att storleken m_R På Richter -skalan ges den av formeln:

M_R = log (10⁴ Yo)

Lösning

Storleken i en jordbävning i Richter är en logaritmisk funktion. Vi kommer att beräkna intensiteten för varje jordbävning, eftersom vi har Richter -storleken. Låt oss göra det steg för steg:

Kan tjäna dig: Primo -nummer: Egenskaper, exempel, övningar

-Mexiko: 7.7 = log (10⁴ Yo)

Eftersom den inversa av logaritmfunktionen är exponentiell, tillämpar vi detta på båda sidor av jämlikhet med avsikt att rensa I, som finns i logaritmargumentet.

Eftersom de är decimal logaritmer är basen 10. Så:

Under höger, 10 och log (10⁴ I) de avbryts (som med kvadrat och kvadratrot), är: lämnar:

10 ^7.7 = 10⁴ Yo

Intensiteten i jordbävningen i Mexiko var:

Yo_M = 10 ^7.7 / 10⁴ = 10^3.7

 -Chili: 9.5 = log (10⁴ Yo)

Samma förfarande leder oss till intensiteten i den chilenska jordbävningen i_Ch:

Yo_Ch = 10 ^9.5 / 10⁴ = 10^5.5

 Nu kan vi jämföra båda intensiteterna:

Yo_Ch / Yo_M = 10^5.5 / 10^3.7 = 10^1.8 = 63.1

 Yo_Ch = 63.1. Yo_M

Chiles jordbävning var ungefär 63 gånger mer intensiv än Mexiko. Eftersom storleken är logaritmisk växer den långsammare än intensitet, så en skillnad på 1 i storlek betyder en tio gånger större amplitud av den seismiska vågen.

Skillnaden mellan storleken på båda jordbävningarna är 1.8, därför kan vi förvänta oss en skillnad i intensiteter närmare 100 än till 10, så effektivt hände.

I själva verket, om skillnaden hade varit 2 exakt, skulle den chilenska jordbävningen ha varit 100 gånger mer intensiv än den mexikanska.

Referenser

1. Carena, m. 2019. Matematikhandbok för preuniversitet. National University of the Coast.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1: a. Diversifierat år. Co-bo-utgåvor.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice hall.
4. Larson, r. 2010. Beräkning av en variabel. 9na. Utgåva. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik för beräkning. Femte. Utgåva. Cengage Learning.