Hyperbolisk paraboloiddefinition, egenskaper och exempel

En hyperbolisk paraboloid Det är en yta vars allmänna ekvation i kartesiska koordinater (x, y, z) uppfyller följande ekvation:

(för)² - (och/b)² - Z = 0.

"Paraboloid" -valöret kommer från det faktum att variabel Z beror på rutorna på X- och Y -variablerna. Medan adjektivet "hyperboliskt" beror på att ekvationen för en hyperbola har en fast värden på z. Formen på denna yta liknar den för en ridstol.

Figur 1. Hyperbolisk paraboloid z = x² - och². Källa: f. Zapata genom Wolfram Mathematica.

[TOC]

Beskrivning av den hyperboliska paraboloiden

För att förstå arten av den hyperboliska paraboloiden kommer följande analys att göras:

1.- Det specifika fallet kommer att tas A = 1, B = 1, det vill säga att den kartesiska ekvationen för paraboloiden förblir som Z = x² - och².

2.- De betraktas som parallella plan till Zx -planet, det vill säga y = ctte.

3.- Med y = ctte är det z = x² - C, som representerar liknelser med grenarna upp och toppen under XY -planet.

figur 2. Kurvfamilj z = x² - C. Källa: f. Zapata genom geogebra.

4.- Med x = ctte är z = c - y², som representerar liknelser med grenarna ner och toppen ovanför XY -planet.

Figur 3. Kurvfamilj z = c - och². Källa: f. Zapata genom geogebra.

5.- Med z = ctte är c ​​= x² - och², som representerar hyperbolor i plan parallellt med XY -planet. När C = 0 finns det två linjer (A +45º och -45º med avseende på X -axeln) som avlyssnas vid ursprunget på XY -planet.

Figur 4. Kurvfamilj x² - och² = C. Källa: f. Zapata genom Geogebra ..

Egenskaper hos hyperbolisk paraboloid

1.- Fyra olika punkter i det tre dimensionella rymden definierar en och bara en hyperbolisk paraboloid.

Det kan tjäna dig: Begränsa egenskaper (med exempel)

2.- Hyperbolisk paraboloid är en dubbel reglerad yta. Detta innebär att trots att det är en krökt yta, för varje punkt i en hyperbolisk paraboloid passerar två olika linjer helt till den hyperboliska paraboloiden. Den andra ytan som inte är ett plan och är dubbelt reglerat är Revolution Hyperboloid.

Det är just den andra egenskapen hos den hyperboliska paraboloiden som har möjliggjort en vid användning av den i arkitekturen eftersom ytan kan genereras från balkar eller raka strängar.

Den andra egenskapen hos den hyperboliska paraboloiden tillåter en alternativ definition av den: Det är ytan som kan genereras av en rak mobil linje parallellt med ett fast plan och skär två fasta linjer som fungerar som en guide. Följande figur klargör denna alternativa definition av hyperbolisk paraboloid:

Figur 5. Hyperbolisk paraboloid är en dubbelt reglerad yta. Källa: f. Zapata.

Löst exempel

- Exempel 1

Visa att ekvationen: Z = xy, motsvarar en hyperbolisk paraboloid.

Lösning

En transformation kommer att tillämpas i X- och Y -variablerna som motsvarar en rotation av de kartesiska axlarna med avseende på Z för +45 axel. De gamla X- och Y -koordinaterna omvandlas till det nya X 'E och' enligt följande förhållanden:

x = x ' - y'

y = x ' + och'

Medan Z -koordinaten förblir densamma, det vill säga z = z '.

Genom att ersätta i ekvation z = x och vi har:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

När du tillämpar den anmärkningsvärda produkten av skillnaden med summan som är lika med skillnaden i rutor är det:

Z '= x'² - och'²

som tydligt motsvarar den definition som ursprungligen gavs av hyperbolisk paraboloid.

Avlyssningen av planen är parallella med XY -axeln med den hyperboliska paraboloiden Z = x och bestämma liksidiga hyperbolor som har asymptoter planen x = 0 e y = 0.

Kan tjäna dig: Miletus sådan teorem

- Exempel 2

Bestäm parametrarna till och b av den hyperboliska paraboloiden som passerar genom punkter A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) och D (2, -1, 32/9).

Lösning

Enligt dess egenskaper bestämmer fyra punkter i det tre dimensionella utrymmet en enda hyperbolisk paraboloid. Den allmänna ekvationen är:

Z = (x/a)² - (och/b)²

Vi ersätter de givna värdena:

För punkt A har du 0 = (0/a)² - (0/b)², ekvation som är nöjd oavsett värden på parametrarna a och b.

Byte av punkt B erhålls:

5/9 = 1/a² - 1 b²

Medan för punkt C kvarstår:

32/9 = 4/a² - 1 b²

Slutligen, för punkt D erhålls det:

32/9 = 4/a² - 1 b²

Vilket är identiskt med den tidigare ekvationen. Kort sagt, ekvationssystemet bör lösas:

5/9 = 1/a² - 1 b²

32/9 = 4/a² - 1 b²

Subtrahera den andra ekvationen för den första erhålls:

27/9 = 3/a² vilket innebär det² = 1.

På liknande sätt subtraheras den andra ekvationen av fyrdubbla av den första, erhåller:

(32-20)/9 = 4/a² - 4/A² -1 b² + 4/b²

Det förenklas som:

12/9 = 3/b² ⇒ B² = 9/4.

Kort sagt, den hyperboliska paraboloiden som passerar genom punkterna A, B, C och D har en kartesisk ekvation som ges av:

Z = x² - (4/9) och²

- Exempel 3

Enligt egenskaperna hos den hyperboliska paraboloiden passerar två linjer som är helt i det för varje punkt. För fallet z = x^2 - y^2 Hitta ekvationen för de två linjerna som passerar genom punkt P (0, 1, -1) som tydligt tillhör den hyperboliska paraboloiden, så att alla punkter i dessa linjer också tillhör samma.

Lösning

Med hjälp av den anmärkningsvärda produkten av skillnaden i rutor kan ekvationen för den hyperboliska paraboloiden skrivas enligt följande:

Kan tjäna dig: fyrkantig: element, egenskaper, klassificering, exempel

(x + y) (x - y) = c z (1/c)

Där C är en icke -nollkonstant.

Ekvationen x + y = c z, och ekvation x - y = 1/c motsvarar två plan med normala vektorer n= y m=. Vektorprodukten m x n = Riktningen för linjekorsningen av de två planen ger oss. Då har en av linjerna som passerar genom punkt P och tillhör den hyperboliska paraboloiden en parametrisk ekvation:

= + t

För att bestämma C ersätter vi punkt P i ekvation x + y = c z, erhållning:

C = -1

På liknande sätt, men med tanke på ekvationerna (x - y = k z) och (x + y = 1/k) har du den parametriska ekvationen för linjen:

= + s med k = 1.

Kort sagt, de två linjerna:

= + t y = + s

De finns helt i den hyperboliska paraboloid z = x² - och² går igenom punkten (0, 1, -1).

Som en check antar du t = 1 vad som ger oss poängen (1,2, -3) på den första raden. Du måste kontrollera om det också finns på paraboloid z = x² - och²:

-3 = 1² - 2² = 1 - 4 = -3

Vilket bekräftar att det i själva verket tillhör ytan på den hyperboliska paraboloiden.

Den hyperboliska paraboloiden i arkitekturen

Figur 6. Oceanographic of Valencia (Spanien).Källa: Wikimedia Commons.

Den hyperboliska paraboloiden har använts i arkitekturen av de stora avantgardearkitekterna, bland vilka namnen på den spanska arkitekten Antoni Gaudí (1852-1926) och särskilt den spanska också den spanska Félix Candela (1910-1997) är särskilt särskilt särskilt särskilt.

Nedan följer några verk baserade på den hyperboliska paraboloiden:

-Kapell i staden Cuernavaca (Mexiko) arbete av arkitekten Félix Candela.

-Oceanographic of Valencia (Spanien), också av Félix Candela.

Referenser

1. Encyklopedi av matematik. Styrd yta. Återhämtad från: encyklopediaofmath.org
2. Llera rubén. Hyperbolisk paraboloid. Återhämtat sig från: Rubenllera.WordPress.com
3. Weisstein, Eric W. “Hyperbolisk paraboloid.”Från Mathworld-A Wolfram Web Resource. Återhämtat sig från: Mathworld.Volfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Hämtad från: i.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Återhämtad från: är.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Styrd yta. Hämtad från: i.Wikipedia.com