Grundläggande teorem för aritmetisk demonstration, applikationer, övningar

han Aritmetiska grundläggande teorem Han säger att alla naturliga antal större än 1 kan brytas ned som en produkt av primtal - innehar en del - och denna form är unik för det numret, även om faktorerna kan vara annorlunda.

Kom ihåg att ett primtal p Det är den som bara medger som positiva delare själv och 1. Följande siffror är kusiner: 2, 3, 5, 7, 11, 13 och så vidare, eftersom det finns oändligt. Nummer 1 betraktas inte som kusin, för att ha en enda divisor.

Figur 1. Euclides (till vänster) demonstrerade den grundläggande teoremet för aritmetik i hans bokelement (350 a.C.), Och den första fullständiga demonstrationen beror på Carl F. Gauss (1777-1855) (höger). Källa: Wikimedia Commons.

För deras del kallas siffror som inte uppfyller ovanstående siffror, Som 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 ... Låt oss ta nummer 10 till exempel och omedelbart ser vi att det kan brytas ner som en produkt på 2 och 5:

10 = 2 × 5

Både 2 och 5 är verkligen primtal. Satsen säger att detta är möjligt för valfritt nummer N:

Där p₁, p₂, p₃... P_r De är primtal och k₁, k₂, k₃,... K_r De är naturliga siffror. Så att primtal fungerar som tegel från vilka naturliga siffror byggs från multiplikation.

[TOC]

Demonstration av aritmetikens grundläggande teorem

Det börjar visa att varje nummer kan sönderdelas i främsta faktorer. Vara ett naturligt tal n> 1, kusin eller förening.

Till exempel om n = 2 kan det uttryckas som: 2 = 1 × 2, vilket är kusin. På samma sätt fortsätter vi med följande nummer:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Vi fortsätter så här och sönderdelar alla naturliga siffror tills vi når nummer N -1. Låt oss se om vi kan göra det med antalet som följer: n.

Om n är kusin kan vi sönderdelas som n = 1 × n, men anta att n är sammansatt och har en divisor d, logiskt mindre än n:

Kan tjäna dig: Beskrivande statistik: Historia, egenskaper, exempel, begrepp

1< d < n.

Ja N/D = P₁, med s₁ Ett primtal, då är n skriven som:

n = p₁.d

Om D är kusin finns det inget mer att göra, men om det inte är det finns det ett nummer N₂ som är en delare av D och mindre än detta: n₂ < d, por lo que d podrá escribirse como el producto de n₂ För en annan kusinnummer P₂:

d = p₂ n₂

Att genom att ersätta i det ursprungliga numret N skulle ge:

n = p₁ .p₂ .n₂

Anta nu n₂ Det är inte heller ett primtal och vi skriver det som produkten av ett primtal P₃, för en delare av hans₃, så att n₃ < n₂ < n₁ < n:

n₂ = p₃.n₃ → n = p₁ p₂ p₃.n₃

 Vi upprepar denna procedur ett begränsat antal gånger tills du får:

n = p₁.p₂.p₃ ... P_r

Detta innebär att det är möjligt att sönderdelas alla hela siffror från 2 till nummer N, som en produkt av primtal.

Unikhet av nedbrytning i främsta faktorer

Låt oss verifiera nu att förutom faktorens ordning är denna nedbrytning unik. Anta att du kan skriva på två sätt:

n = p₁.p₂.p₃ ... P_r = Q_1.q₂.q₃... Q_s  (med R ≤ S)

Naturligtvis q₁, q₂, q₃... de är också primtal. Som P₁ Dela till (q_1.q₂.q₃... Q_s) Sedan s₁ Det är lika med någon av "Q", oavsett Som, så vi kan säga att P₁ = Q₁. Vi delar n mellan P₁ Och vi får:

p₂.p₃ ... P_r =_.q₂.q₃... Q_s

Vi upprepar proceduren för att dela allt mellan P_r, Då får vi:

1 = Q_R+1... Q_s

Men det är inte möjligt att komma till Q_R+1... Q_s = 1 när r < s, solo si r = s. Aunque al admitir que r = s, también se admite que los “p” y los “q” son los mismos. Por lo tanto la descomposición es única.

Ansökningar

Som vi har sagt tidigare representerar primtalen om du vill, atomerna i siffrorna, deras grundläggande komponenter. Så den grundläggande teoremet för aritmetik har många tillämpningar, det mest uppenbara: vi kan lättare arbeta med stort antal om vi uttrycker dem som produkten av mindre antal.

Kan tjäna dig: hela siffror

På samma sätt kan vi hitta den maximala gemensamma multipeln (M.c.m.) och den maximala gemensamma divisorn (m.C.D.), En procedur som hjälper oss att göra summor av fraktioner lättare, hitta rötter av stort antal eller arbeta med radikaler, rationalisera och lösa tillämpningsproblem av mycket mångfaldig natur.

Dessutom är primtal extremt gåtfulla. Ett mönster känns ännu inte igen i dem och det är inte möjligt att veta vad följande kommer att vara. Den största tills tiderna hittades av datorer och har 24.862.048 siffror, Även om de nya primtalen visas mindre ofta varje gång.

Primo -nummer i naturen

Cicadas, Cycaked eller Chicharras som bor i nordöstra USA dyker upp på 13 eller 17 års cykler. Båda är primtal.

På detta sätt undviker Chicharras att sammanfalla med rovdjur eller konkurrenter som har andra födelseperioder, och inte heller de olika Chicharra -sorterna tävlar med varandra, eftersom de inte sammanfaller under samma år.

figur 2. USA: s magiska Cicada del Este framträder var 13 eller 17 år. Källa: PXFuel.

Primo -nummer och online -inköp

Primo -nummer används i kryptografi för att behålla informationen om kreditkort när du köper online -inköp. På detta sätt kommer de uppgifter som köparen anländer exakt till butiken utan att gå vilse eller falla in i skrupelfria människor.

Som? Kortdata kodas i ett nummer N som kan uttryckas som produkten av primtal. Dessa primtal är nyckeln som avslöjar uppgifterna, men de är okända för allmänheten, de kan bara avkodas på webben som de är riktade.

Att sönderdela ett nummer i faktorer är en enkel uppgift om siffrorna är små (ser övningarna löst), men i detta fall används de som viktiga primtal på 100 siffror, vilket genom att multiplicera dem ger mycket större antal, vars detaljerade nedbrytning innebär en enormt arbete.

Kan tjäna dig: punktlig uppskattning

Löst övningar

- Övning 1

Nedbrytning 1029 till främsta faktorer.

Lösning

1029 är delbar med 3. Det är känt eftersom genom att lägga till dina siffror är summan en multipel av 3: 1+0+2+9 = 12. Eftersom ordningen på faktorerna inte förändrar produkten kan vi börja där:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Å andra sidan 343 = 7³, så:

1029 = 3 × 7³ = 3 × 7 × 7 × 7

Och eftersom både 3 och 7 är primtal är detta nedbrytningen 1029.

- Övning 2

Faktor trinomial x² + 42x + 432.

Lösning

Trinomialen skrivs om i formen (x+a). (x+b) och vi måste hitta värdena på a och b, så att:

A+B = 42; till.B = 432

Numret 432 sönderdelas till främsta faktorer och därifrån väljs det, av Tanteo, lämplig kombination för fakta som läggs till 42.

432 = 2⁴ × 3³ = 23³× 2³ = 2⁴× 3² × 3 = ..

Härifrån finns det flera möjligheter att skriva 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72 .. .

Och alla kan hittas genom att kombinera produkter mellan främsta faktorer, men för att lösa den föreslagna övningen är den enda adekvata kombinationen: 432 = 24 × 18 sedan 24 + 18 = 42, sedan: sedan:

x² + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

Referenser

1. Baldor, a. 1986. Praktisk teoretisk aritmetik. Redaktör Kulturföretag för amerikanska texter s.TILL.
2. BBC World. Den dolda naturkoden. Hämtad från: BBC.com.
3. Från Leon, Manuel.Primo Numbers: Internet Guardians. Återhämtat sig från: bloggar.20 minuter.är.
4. Unk. Nummerteori I: Grundläggande teorem för aritmetik. Hämtad från: TheoriDenumeros.Wikidot.com.
5. Wikipedia. Aritmetiska grundläggande teorem. Återhämtad från: är.Wikipedia.org.