Fourier Transform -egenskaper, applikationer, exempel

De Fouriertransform Det är en metod för analytisk tillräcklighet orienterad till integrerbara funktioner som tillhör familjen till Tomfattande ransformerad. Det består av en omdefinition av funktioner F (t) när det gäller cos (t) och SEN (t).

De trigonometriska identiteten hos dessa funktioner, tillsammans med deras härlednings- och antideriveringsegenskaper, tjänar till att definiera Fouriers omvandling genom följande komplexa funktion:

Vilket är uppfyllt medan uttrycket är vettigt, det vill säga när den felaktiga integralen är konvergent. Algebraiskt sägs det att Fouriers omvandling är en linjär homeomorfism.

Varje funktion som kan bearbetas med Fourier Transform måste presentera NULLITY utanför en definierad parameter.

[TOC]

Egenskaper

Källa: Pexels

Fourier Transform möter följande egenskaper:

Existens

För att verifiera förekomsten av Fourier -omvandlingen till en f (t) -funktion definierad i Royals R, Följande 2 axiomer måste uppfyllas:

1. f (t) är kontinuerligt för allt för allt R
2. f (t) är integrerbar i R

Fourier Transformation Linearity

Låt m (t) och n (t) två två funktioner med definierade Fourier transformerade, med konstanter a och b vilken som helst.

F [a m (t) + b n (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [NT Z)

Som också förlitar sig på lineariteten i integralen med samma namn.

Fourier förvandlades från ett derivat

Du har en funktion F  vilket är kontinuerligt och integrerbart i alla reais, där:

Och derivatet av F (f ') Det är kontinuerligt och definieras i bitar i allt R

Fourier -transformationen av ett derivat definieras av integration av delar av följande uttryck:

F [f '(t)] (z) = izF [f (t)] (z)

I högre ordning härleds kommer det att tillämpas på ett homologt sätt, där du för alla n 1 måste:

F [f ⁿ'(t)] (z) = (iz)ⁿF [f (t)] (z)

Differentiering av Fourier -transformen

Du har en funktion F  vilket är kontinuerligt och integrerbart i alla reais, där:

I (d/dz)F [f (t)] (z) = F  [t .  f (t)] (z)

Fourier förvandlades från en översättning

För alla θ som tillhör en uppsättning och T som tillhör uppsättningen S ', du måste:

F [ τ_till θ] =  och^-Jag F [ θ]                                 F [ τ_tillT ] =  och^-Iax  F [ T]   

Med  τ_till  arbetar som översättningsoperatör på vektorn till.

Översättning av Fourier Transform

För alla θ som tillhör en uppsättning och T som tillhör uppsättningen S ', du måste:

τ_till F [θ] =  F [och^-Iax.θ]                                τ_till Med ] =  F [och^-Jag . T]

Kan tjäna dig: Hypercubo: definition, dimensioner, koordinater, utspelade

För alla till som tillhör R

Fourier Transform of a Scale Group

För alla θ som tillhör en uppsättning. T som tillhör uppsättningen S '

λ tillhör R - 0  Du måste:

F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] (och/λ)                 

F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (och/λ)

Ja F Det är en kontinuerlig och rent integrerbar funktion, där A> 0. Så:

F [f (at)] (z) =   (1/a) F [f (t)] (z/a) 

För att demonstrera detta resultat kan vi fortsätta med variabelns förändring.

När t → + sedan s = vid → + ∞

När t → - sedan s = vid → - ∞

Symmetri

För att studera symmetrin för Fourier Transformeras.

Du har θ och Δ som tillhör S. Därifrån kan det härledas att:

Erhållande

1 / (2π)^d  F [θ ], F [Δ] Parseval identitet

1 / (2π)^D/2  || F [θ ] ||_L²_R^d     Planerformel

Fourier förvandlades från en produkt till upplösning

Jagar liknande mål som i Laplace -omvandlingen, funktionerna för funktionerna hänvisar till produkten bland dess Fourier -transformationer.

Den har F och G som 2 funktioner begränsade, definierade och helt integrerbara:

F (f *g) = f (f) . F (g)

Sedan när du gör variabel ändring

t + s = x; Den dubbla integrerade dubbla integralen fortsätter

F (f) . F (g) = f (f . g)

Kontinuitet och fall i oändligheten

För alla θ som tillhör R, f [ θ] följer kriterierna för kontinuerlig funktion begränsad i r^d.

Också F [ θ] (y) → 0 i c si | y | → ∞

Historia

Detta matematiska koncept presenterades av Joseph B. Fourier 1811 medan han utvecklade ett fördrag angående Värmespridning. Det antogs snabbt av olika grenar av vetenskap och teknik.

Det upprättades som det huvudsakliga arbetsverktyget i studien av ekvationer med partiella derivat, jämför även med arbetsförhållandet mellan Laplace transformerade och vanliga differentiella ekvationer.

Vad är Fourier -transformen för?

Det tjänar främst till betydande ekvationer, samtidigt som uttrycksuttryck härrör till kraftelement, som anger differentiella uttryck i form av integrerbara polynomer.

I optimering, modulering och modellering av resultat fungerar det som ett standardiserat uttryck, och är en frekvent resurs för teknik efter flera generationer.

Fouriers serie

De är definierade serier när det gäller kosen och bröst; De tjänar till att underlätta arbetet med allmänna periodiska funktioner. När de tillämpas är de en del av upplösningsteknikerna för partiella och vanliga differentiella ekvationer.

Det kan tjäna dig: verklig verklig variabel funktion och dess grafiska representation

Fourier -serien är ännu mer allmänna än Taylors serie, eftersom de utvecklar periodiska diskontinua -funktioner som inte har någon representation i Taylor -serien.

Andra former av Fourier -serien

Att analytiskt förstå Fourier -transformationen är det viktigt.

-Fourier -serien på en 2L -periodfunktion

Många gånger är det nödvändigt att anpassa strukturen i en Fourier-serie, till periodiska funktioner vars period är p = 2l> 0 i intervallet [-l, l].

-Fourier -serien i jämna och udda funktioner

Intervallet [-π, π] beaktas som erbjuder fördelar när man utnyttjar de symmetriska egenskaperna hos funktionerna.

Om f är vridmoment är Fourier -serien etablerad som en serie kosenos.

Om F är udda, är Fourier -serien etablerad som en serie bröst.

-Komplex notering av Fourier -serien

Om du har en f (t) -funktion, som uppfyller alla utvecklade krav i Fourier-serien, är det möjligt att beteckna den i intervallet [-t, t] med hjälp av dess komplexa notation:

Ansökningar

Källa: Pexels

Beräkning av den grundläggande lösningen

Fourier's Transform är ett kraftfullt verktyg i studien av partiella differentiella ekvationer av den linjära typen med konstant koefficienter. Ansök om funktioner med domäner inte begränsade lika.

Liksom Laplace -transformen förvandlar Fourier Transform en funktion av partiella derivat, till en vanlig differentiell ekvation mycket lättare att använda.

Cauchys problem för värmeekvationen presenterar ett frekvent tillämpningsfält av Fourier -transformen där funktionen genereras Dirichlet värme eller kärnkärna.

När det gäller beräkningen av den grundläggande lösningen presenteras följande fall där det är vanligt att hitta Fourier -transformationen:

-Laplace -ekvation

-Värmeekvation

-Schrödinger -ekvation

-Vågekvation

Signalteori

Det allmänna skälet till tillämpningen av Fourier -transformationen i denna gren beror mest på den karakteristiska nedbrytningen av en signal som en oändlig överlappning av lättare behandlingsbara signaler.

Det kan vara en ljudvåg eller en elektromagnetisk våg, Fourier -transformen uttrycker den i en enkel vågöverlappning. Denna representation är ganska ofta inom elektroteknik.

Kan tjäna dig: vertikal linje

Å andra sidan är de exempel på tillämpning av Fourier -omvandlingen inom signalteorin:

-Systemidentifieringsproblem. Etablerad f och g

-Problem med konsistensen av utsignalen

-Problem med signalfiltreringen

Exempel

Exempel 1

Definiera Fourier -transformen för följande uttryck:

Vi kan också representera det på följande sätt:

F (t) = Sin (t) [h_{(T + K)} - H_{(T - k)} ]

Rektangulär puls definieras:

p (t) = h_{(T + K)} - H_{(T - k)}

Fourier Transform tillämpas på nästa uttryck som liknar moduleringsteorem.

f (t) = p (t) sin (t)

Var: F [w] = (1/2) I [P (W + 1) - P (W - 1)]

Och Fourier -transformen definieras av:

F [w] =  (1/2) I [(2/2W+1) Sen (K (W+1)) - (2/2W+1) Sen (K (W-1))]

Exempel 2

Definiera Fourier -transformen för uttryck:

Per definition uttrycker vi omvandlingen enligt följande

Eftersom f (h) är en jämn funktion kan det bekräftas det

Dering inom integralen med avseende på Z kan uttrycket skrivas om. Detta steg är betydelsefullt i arbetet med differentiella ekvationer.

Integration av delar tillämpas genom att välja variabler och deras skillnader enligt följande

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e^-h)²                       V = (e^-h)² / 2

Ersätta det

Efter utvärdering under den grundläggande beräkningen

Tillämpa tidigare kunskap relaterad till de differentiella ekvationerna i den första ordningen, uttrycket betecknas som

För att få K utvärderar vi 

Slutligen definieras Fouriers omvandling som

Föreslagna övningar

• Bestäm uttrycket Fourier -transform
• Lös följande felaktiga integral med Paresevals jämlikhet
• Få omvandlingen av uttrycket w/(1+w²)

Referenser

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier -analys. Addison-Wesley Iberoamericana, Autonomous University of Madrid, 1995.
2. Lejon, j. L., Matematisk analys och numeriska metoder för vetenskap och teknik. Springer-Verlag, 1990.
3. Lieb, e. H., Gaussiska kärnor har bara Gaussiska maximisatorer. Uppfinna. Matematik. 102, 179-208, 1990.
4. Dym, h., McKean, h. P., Fourier -serier och integraler. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des -distributioner. Ed. Hermann, Paris, 1966.