Escaleno Trapezio Egenskaper, formler och ekvationer, exempel

En trapets skala Det är en fyrsidig polygon, varav två är parallella med varandra, och med dess fyra inre vinklar i olika åtgärder.

ABCD -fyrkanten visas, där sidorna AB och DC är parallella med varandra. Med detta räcker det för att göra det till en trapes, men dessutom är α-, ß-, y- och Δ -inre vinklarna alla olika, därför är trapezoid escalano.

Figur 1. ABCD -kvadrilateralt är en trapes för tillstånd 1 och Scalen för tillstånd 2. Källa: f. Zapata.

[TOC]

Element i Scaleno Trapect

Under de mest karakteristiska elementen:

-Baser och sida: Trapezoidens parallella sidor är dess baser och de två icke -parallella sidorna är sidorna.

I en skala trapezio är baserna av olika längder och sidorna också. Emellertid kan en skala trapezoid ha en sida av lika lång längd som bas.

-Median: Det är segmentet som ansluter sig till sidorna på sidorna.

-Diagonal: Diagonalen för en trapes är segmentet som går med två motsatta vertikaler. En trapes, som varje fyrkantig, har två diagonaler. I Scalene Trapezio är de av olika längd.

Andra trapezoider

Förutom Escaleno Trapezio finns det andra trapezoider: rektangeln trapezoid och isosceles trapezoid.

En trapes är rektangel när en av dess vinklar är rak, medan trapezio -isosceler har sina sidor av lika lång längd.

Trapezoidal Form har många applikationer på design- och branschnivå, till exempel i konfigurationen av flygvingar, formen på vardagliga föremål som tabeller, säkerhetskopior av stolar, containrar, plånböcker, textiltryck och mer.

figur 2. Trapezoidal form är vanligt i ALAR -flygplanskonfigurationen. Källa: Wikimedia Commons.

Egenskaper

Därefter listas egenskaperna för klättrings trapezoid, av vilka många är omfattande till de andra typerna av trapezoid. I det följande, när du pratar om "Trapezio", kommer fastigheten att vara tillämplig på alla slag, inklusive Scalene.

1. Medianen för trapezoiden, det vill säga det segment som förenar de mittpunkter som dess icke -parallella sidor är parallella med någon av baserna.

2.- Medianen av en trapezoid har en längd som är halvens halvmoum och skär sina diagonaler vid mittpunkten.

3.- Diagonalerna i en trapes korsar vid en punkt som delar upp dem i två avsnitt som är proportionella mot förhållandet mellan baserna.

4.- Summan av rutorna i diagonalerna i en trapes är lika med summan av rutorna på sidorna plus den dubbla produkten i dess baser.

5.- Segmentet som ansluter sig till mid -Diagonal -punkterna har längd lika med basreferensen för baserna.

Kan tjäna dig: injektiv funktion: vad den består av, vad är det för och exempel

6.- Vinklarna intill sidorna är kompletterande.

7.- I en skala trapes är längden på dess diagonaler olika.

8.- En trapes har en registrerad omkrets endast om summan av dess baser är lika med summan av dess sidor.

9.- Om en trapes har en registrerad omkrets, är vinkeln med toppunkt i mitten av nämnda omkrets och sidor som passerar genom ändarna på trapesidan rak.

10.- En Escaleno -trapes har ingen omskriven omkrets, den enda typen av trapes som om den har det är Isosceles.

Formler och ekvationer

Följande relationer av klättrings trapeze hänvisas till följande figur.

1.- Om ae = ed och bf = fc → ef || AB och EF || Likström.

2.- Ef = (ab + dc)/2 det är: m = (a + c)/2.

3.- Di = ib = D₁ /2 och ag = gc = D₂ /2.

4.- Dj / jb = (c / a) på liknande sätt cj / ja = (c / a).

Figur 3. Median och diagonaler i en skalen trapezoid. Källa: f. Zapata.

5.- DB² + Växelström² = Annons² + före Kristus² + 2 AB ∙ DC 

På motsvarande sätt:

d₁² + d₂² = D² + b² + 2 A ∙ C

6.- Gi = (ab - dc)/2

Det vill säga:

n = (a - c)/2

7.- α + Δ = 180⁰ och β + y = 180⁰

8.- Om α ≠ ß ≠ γ ≠ δ då D1 ≠ D2.

9.- Figur 4 visar en skala trapezoid som har en registrerad omkrets, i så fall är det uppfyllt att:

A + C = D + B

10.- I en ABCD escalene trapezoid med ett registrerat centrum i centrum eller följande uppfylls också:

∡Aod = ∡Boc = 90⁰

Figur 4. Om det är i en trapes som verifieras att summan av dess baser är lika med summan av sidorna, är det omkretsen som är inskriven i samma. Källa: f. Zapata.

Höjd

Höjden på en trapes definieras som segmentet som går från en punkt i basen vinkelrätt till motsatt bas (eller dess förlängning).

Alla höjderna på trapezen har samma mått H, så för det mesta hänvisar ordhöjden till dess mätning. Kort sagt, höjd är avståndet eller separationen mellan baserna.

Höjden H kan bestämmas om längden på en sida och en av vinklarna intill sidan är känd:

H = d sin (α) = d sin (γ) = b sin (β) = b sin (Δ)

Median

M medianmåttet på trapezoiden är basens halvkroppar:

M = (a + b)/2

Diagonaler

d₁ = √ [a² + d² - 2 ∙ A ∙ D ∙ COS (α)]

d₂= √ [a² + b² - 2 ∙ A ∙ B ∙ cos (ß)]

Det kan också beräknas om bara trapesoidens längd är känd:

d₁ = √ [b² + A ∙ C - A (B² - d²)/(a - c)]

d₂ = √ [D² + A ∙ C - A (D² - b²)/(a - c)]

Omkrets

Omkretsen är den totala längden på konturen, det vill säga summan av alla dess sidor:

Kan tjäna dig: diskret slumpmässig variabel

P = a + b + c + d

Område

Området för en trapezoid är halvkropparna i dess baser multiplicerade med dess höjd:

A = h ∙ (a + b)/2

Det kan också beräknas om median m och höjd är kända:

A = m ∙ h

Om endast längden på trapezoidsidorna är kända, kan området bestämmas av Heróns formel för trapezoid:

A = [(a+c)/| a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]]

Där S är semi -perimeter: s = (a+b+c+d)/2.

Andra relationer för klättringsklättringen

Snittet av medianen med diagonalerna och parallellen som går igenom skärningspunkten mellan diagonalerna, ger upphov till andra relationer.

Figur 5. Andra relationer för klättringsklättringen. Källa: f. Zapata.

-Relationer för median EF

Ef = (a+c)/2; T.ex. = if = c/2; Ei = gf = a/2

-Relationer för det parallella segmentet till KL -baserna, och det passerar genom punkten av Korsning j av diagonalerna

Ja KL || Ab || Dc med j ∈ KL, sedan kj = jl = (a ∙ c)/(a+c)

Konstruktion av skalen trapezium med regel och kompass

Med tanke på längdernas baser till och c, att vara en> c och med sidan av längderna B och d, varelse b> d, Vi fortsätter att följa dessa steg (se figur 6):

1.- Med regeln dras segmentet för den största AB.

2.- Från en SE och på AB är punkt P markerad så att AP = C.

3.- Med kompassen med C och Radio D Center dras en båge.

4.- Det är tillverkat centrum i B med Radio B som ritar en båge som tolkar bågen som upprättats i föregående steg. Vi kallar att skärningspunkten.

Figur 6. Konstruktion av Escaleno Trapecio med tanke på dess sidor. Källa: f. Zapata.

5.- Med centrum i att rita en radie båge d.

6.- Med centrum för att rita en radiebåge som avlyssnas mot bågen som upprättats i föregående steg. Det kommer att kallas r till skärpunkten.

7.- Segmenten BQ, QR och RA dras med regeln.

8.- ABQR -fyrkanten är en skala trapezoid, eftersom APQR är ett parallellogram, vilket garanterar att ab || Qr.

Exempel

Följande längder ges i cm: 7, 3, 4 och 6.

a) Bestäm om du med dem kan bygga en trapes av Scalene som kan omskrivas på en omkrets.

b) Hitta omkretsen, området, längden på diagonalerna och höjden på nämnda trapes, liksom radien för den registrerade omkretsen.

- Lösning till

Med hjälp av segmenten i längd 7 och 3 som baser och de i längd 4 och 6 som sidor kan en skala trapezoid byggas med proceduren som beskrivs i föregående avsnitt.

Vi måste kontrollera om det har en registrerad omkrets, men minns fastigheten (9):

Kan tjäna dig: hexagonalt prisma

En trapes har en registrerad omkrets endast om summan av dess baser är lika med summan av dess sidor.

Vi ser det verkligen:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Då uppfylls villkoret för den inskrivna omkretsen.

- Lösning B

Omkrets

Omkrets P erhålls genom att lägga till sidorna. Eftersom baserna totalt 10 och sidorna också är omkretsen:

P = 20 cm

Område

För att bestämma området tillämpas bara dess sidor: förhållandet tillämpas:

A = [(a+c)/| a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]]

Där S är semi -perimeter:

S = (a+b+c+d)/2.

I vårt fall är semi -perimeter värt S = 10 cm. Efter att ha bytt ut respektive värden:

A = 7 cm; B = 6 cm; C = 3 cm; D = 4 cm

Är kvar:

A = [10/4] √ [(3) (7) (-1) (-3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Höjd

Höjd H är relaterad till område A genom följande uttryck:

A = (a+c) ∙ h/2, där höjden kan erhållas genom clearance:

H = 2a / (a+c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,968 cm.

Registrerad omkretsradio

Radie för den registrerade omkretsen är värd hälften av höjden:

R = h/2 = 1 984 cm

Diagonaler

Slutligen är det längden på diagonalerna:

d₁ = √ [b² + A ∙ C - A (B² - d²)/(a - c)]

d₂ = √ [D² + A ∙ C - A (D² - b²)/(a - c)]

Att ersätta värdena korrekt är:

d₁ = √ [6² + 7 ∙ 3 - 7 (6² - 4²)/(7 - 3)] = √ (36+21-7 (20)/4) = √ (22)

d₂ = √ [4² + 7 ∙ 3 - 7 (4² - 6²)/(7-3)] = √ (16+21-7 (-20)/4) = √ (72)

Det är: D₁ = 4,69 cm och d₂ = 8,49 cm

Figur 7. Scalene Trapezio som uppfyller villkoret för existensen av registrerad omkrets. Källa: f. Zapata.

Träning löst

Bestäm inre vinklar på bas trapezoid AB = A = 7, CD = C = 3 och lateral BC = B = 6, DA = D = 4.

Lösning

Kosinussteoremet kan tillämpas för att bestämma vinklarna. Till exempel bestäms vinkeln ∠A = α från triangeln ABD med AB = A = 7, BD = D2 = 8,49 och DA = D = 4.

Kosinussteoremet som appliceras på denna triangel förblir så här:

d₂² = a² + d² - 2 ∙ A ∙ D ∙ COS (α), det vill säga:

72 = 49+16-56 ∙ COS (α).

Vid rensning erhålls kosinus för vinkeln a:

Cos (α) = -1/8

Det vill säga att α = arccos (-1/8) = 97,18⁰.

På samma sätt erhålls de andra vinklarna, är deras värden:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ och slutligen Δ = 82,82⁰.

Referenser

1. C. OCH. TILL. (2003). Geometrielement: med övningar och kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Matematik 2. Patria Redaktionsgrupp.
3. Freed, K. (2007). Upptäck polygoner. Utbildningsföretag.
4. Hendrik, V. (2013). Generaliserade polygoner. Birkhäuser.
5. Iriger. (s.F.). Matematik första termin Tacaná. Iriger.
6. Jr. Geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren och Hornsby. (2006). Matematik: Resonemang och applikationer (tionde upplagan). Pearson Education.
8. Patiño, m. (2006). Matematik 5. Redaktionell progreso.
9. Wikipedia. Trapets. Återhämtad från: är.Wikipedia.com