Fysiska banegenskaper, typer, exempel och övningar

De Bana Det är kurvan som beskriver en mobil när du passerar genom successiva punkter under dess rörelse. Eftersom detta kan anta otaliga varianter, så kommer de också att vara de banor som mobilen kan följa.

För att gå från en plats till en annan kan en person ta olika vägar och olika sätt: till fots genom trottoarerna på gator och vägar, eller anländer med bil eller motorcykel på en motorväg. Under en åktur genom skogen kan vandraren följa en komplicerad bana som inkluderar svängar, klättring eller släpp och tills han passerar flera gånger genom samma punkt.

Figur 1. Gå med i de extrema punkterna för varje positionsvektor Banan följt av partikeln erhålls. Källa: Algarabia [Public Domain]

Om punkterna genom vilka mobilen reser följer en rak linje, kommer banan att vara rätlinjig. Detta är den enklaste banan för att vara en -dimensionell. Att ange positionen kräver en enda koordinat.

Men mobilen kan följa en curvylbane, att kunna stängas eller öppna. I dessa fall kräver övervakningen av positionen två eller tre koordinater. Dessa är rörelser i planet respektive rymden. Detta har att göra med länkar: Begränsning av materialförhållandena. Några exempel är:

- De banor som beskriver planeterna runt solen är stängda ellipsformade banor. Även om de i vissa fall kan ungefärliga en cirkulär, som i fallet med jorden.

- Bollen som målvakten sparkar i en målspark följer en parabolisk bana.

- En fågel under flygningen beskriver krökta banor i rymden, förutom att gå på ett plan kan den stiga eller lägre nivå när som helst.

Fysikbanan kan uttryckas matematiskt när mobil position är känd när som helst. Vara r Positionsvektorn, som i sin tur har koordinater x, och och z I det mest allmänna fallet av en tre -dimensionell rörelse. Att känna till funktionen r (T) Banan kommer att vara helt bestämd.

[TOC]

Grabbar

I allmänna termer kan banan vara en ganska komplicerad kurva, särskilt om du vill uttrycka matematiskt. Därför börjar det med de enklaste modellerna, där mobiler reser på en rak linje eller på ett plan, som kan vara golvet eller något annat lämpligt:

Rörelser i en, två och tre dimensioner

De mest studerade banorna är:

- Rätlinjig, När du reser på en horisontell, vertikal eller lutande linje. En boll som kastas vertikalt uppåt denna bana eller ett föremål som också glider nedåt med ett lutande plan. De är en -dimensionella rörelser, en enda koordinat räcker för att bestämma dess position helt.

- Parabolisk, där mobilen beskriver en parabola båge. Det är ofta, eftersom alla objekt som lanseras snett under tyngdkraften (en projektil) följer denna bana. För att specificera den mobila positionen måste du ge två koordinater: x och och.

- Cirkulär, inträffar när den rörliga partikeln följer en omkrets. Det är också vanligt i naturen och daglig praxis. Många vardagliga föremål följer en cirkulär bana som däck, maskiner och satelliter i bana för att ge några exempel.

Kan tjäna dig: Equipocent Vectors: Definition, Notation, Ovess

- Elliptisk, Objektet rör sig efter en ellips. Som nämnts i början är det banan som planeterna följer i bana runt solen.

- Hyperbolisk, Astronomiska föremål under verkan av en central kraft (tyngdkraft), kan följa elliptiska (stängda) eller hyperboliska (öppna) banor, dessa är mindre frekventa än de första.

- Spiralformad, o Spiralrörelse, som en fågel som stiger upp i en termisk ström.

- Svänga eller pendular, Mobilen beskriver en båge i rundturrörelser.

Exempel

Banorna som beskrivs i föregående avsnitt är mycket användbara för att snabbt få en uppfattning om hur rörelserna för ett objekt är. I alla fall är det nödvändigt att klargöra att en mobil bana beror på observatörens placering. Detta innebär att samma händelse kan ses på olika sätt, beroende på var var och en är.

Till exempel en tjejpedal med konstant hastighet och kastar en boll upp. Hon observerar att bollen beskriver en rätlinjig bana. 

Men för en observatör som står på vägen som ser den kommer bollen att ha en parabolisk rörelse. För honom kastades bollen initialt med en lutande hastighet, resultatet av hastigheten upp av flickans hand plus cykelhastigheten.

figur 2. Denna animation visar den vertikala lanseringen av en boll gjord av en tjej som går med cykel, som hon ser (rektilinär bana) och som du ser en observatör (parabolisk bana). (Förberedd av f. Zapata).

Bana av en mobil på ett uttryckligt, implicit och parametriskt sätt

- Explicit, direkt ange kurvan eller geometrisk plats som ges av ekvationen och (x)

- Implicit, där en kurva uttrycks som f (x, y, z) = 0

-Parametrisk, På detta sätt förekommer X- och Y Z -koordinaterna beroende på en parameter som i allmänhet väljs som tid t. I detta fall består banan av funktionerna: x (t), och t) och z (t).

Därefter är två mycket studerade banor detaljerade i film: den paraboliska banan och cirkulärbanan.

Lansering i ett vakuum

Ett objekt (projektilen) kastas och bildar en vinkel A med horisontellt och med en initial hastighet v_antingen Som bilden visar. Luftmotstånd beaktas inte. Rörelsen kan behandlas som två oberoende och samtidiga rörelser: en horisontell med konstant och en annan vertikal hastighet under tyngdkraften.

x (t) = x_antingen +v_oxe.t

och (t) = y_antingen +v_Oy.T -½g.t²

Dessa ekvationer är parametriska ekvationer av projektillanseringen. Som förklarats ovan har de gemensam parameter t, vad är tid.

I figurens högra triangel kan följande ses:

v_oxe = v_antingen cos θ_Yo

v_Oy = v_antingen synd θ_Yo

Figur 3. Parabolisk bana följt av en projektil, som visar komponenterna i hastighetsvektorn. H är den maximala och r höjden är den maximala horisontella räckvidden. Källa: Ayush12Gupta [CC BY-SA 4.0 (https: // CreativeCommons.Org/licenser/BY-SA/4.0)]

Genom att ersätta dessa ekvationer som innehåller lanseringsvinkeln i de parametriska ekvationerna är det:

Kan tjäna dig: diffraktion av ljud: vad är, exempel, applikationer

x (t) = x_antingen +v_antingen cos θ_Yo.t

och (t) = y_antingen +v_antingen. synd θ_Yo.T -½g.t²

Parabolisk banaekvation

Den uttryckliga ekvationen för banan rensar t för ekvationen för x (t) och ersätter i y (t) -ekvationen (t). För att underlätta algebraiskt arbete kan det antas att ursprunget (0,0) är vid startpunkten och på detta sätt x_antingen = y_antingen = 0.

Efter förenkling av parametern "t”Det har eliminerats och ekvationen som återstår är och beroende på x:

Detta är banan ekvationen i Uttrycklig form.

Cirkulär bana

En cirkulär bana ges av:

(X - x_antingen)² + (och och_antingen)² = R²

Figur 4. En partikel rör sig i en cirkulär bana på planet. Källa: modifierad av f. Wikimedia commons sko.

Här x_antingen och och_antingen De representerar mitten av omkretsen som beskrivs av mobilen och r är radien för samma. P (x, y) är en punkt i banan. Från den skuggade rektangeln (figur 3) varnas det:

x = r. cos θ

y = r. synd θ

Parametern är i detta fall svepvinkeln θ, kallad vinkelförskjutning. I det specifika fallet att vinkelhastigheten ω (vinkel svepte per tidsenhet) är konstant, kan det bekräftas att:

θ = θ_antingen + Ωt

Där θ_antingen Det är partikelens initiala vinkelläge, som om den tas som 0, reduceras till:

θ = ωt

I detta fall återgår tiden till parametriska ekvationer som:

x = r.cos ωt

y = r. syndt

Enhetsvektorerna Yo och J De är mycket praktiska att skriva ett objekts positionsfunktion r (T). De anger anvisningarna på axeln x och på axeln och respektive. I dess termer är positionen för en partikel som beskriver en enhetlig cirkulär rörelse:

r (t) = r.cos ωt Yo + R. syndt J

Löst övningar

Motion Löst 1

En kanon kan skjuta en kula med en hastighet på 200 m/s och en vinkel på 40 ° med avseende på horisontella. Om lanseringen utförs i platt terräng och luftens motstånd föraktas, hitta: Hitta:

a) Baneekvationen och (x) ..

b) de parametriska ekvationerna x (t) och och t).

c) den horisontella räckvidden och den tid som projektilen varar i luften.

d) höjden vid vilken projektilen är belägen när x = 12.000 m

Lösning till)

a) För att hitta banan ersätts värdena som anges i ekvationen y (x) för föregående avsnitt:

och (x) = tg 40º. x - 9.8/(2 400². cos²40º) x² ⇒  och (x) = 0.8391 x - 0.0000522x²

Lösning B)

b) Lanseringspunkten väljs vid koordinatsystemets ursprung (0,0):

x (t) = x_antingen +v_oxe.T = 400'Cos 40º.T = 306.42. t.

och (t) = y_antingen +v_Oy.T -½g.t²= 400 'Sen 40º.T - 0.5 '9.8t²= 257.12 T - 4.9.t²

Lösning C)

c) För att hitta tiden som projektilen varar i luften är det gjort och (t) = 0, Att vara lanseringen görs i platt terräng:

Kan tjäna dig: vad är relativt och absolut grovhet?

0 = 257.12.T - 4.9.t²

T = 257.12/4.9 s = 52.473 s

Det horisontella maximala omfånget ersätter detta värde i x (t):

x_Max = 306.42'52.47 m = 16077.7 m

Ett annat sätt att hitta x_Max Det gör direkt y = 0 i bananekvationen:

0 = 0.8391 x_Max - 0.0000522 x²_Max

x = 0.8391 /0.0000522 m = 16078.5 m

Det finns en liten skillnad på grund av avrundning av decimaler.

D) lösning

d) För att veta höjden när x = 12000 m detta värde ersätts direkt i banekvationen:

och (12000) = 0.8391'12000 - 0.000052212000² M = 2552.4 m

Motion Löst 2

Positionsfunktionen för ett objekt ges av:

r (t) = 3t Yo + (4 -5T²) J m

Hitta:

a) Ekvationen för banan. Vilken kurva är?

b) den initiala positionen och positionen när t = 2 s.

c) Förskjutningen som gjordes efter t = 2 s.

Lösning

a) Positionsfunktionen har givits i termer av enhetsvektorerna Yo och J, som bestämmer adressen på axlarna x och och, därför:

x (t) = 3t

och t) = 4 -5T²

Banan ekvation och (x) Han rensar t av x (t) och ersätter in och t):

T = x/3

och (x) = 4 -5. (x/3)² = 4 - 5x²/9 (liknelse)

b) Den ursprungliga positionen är: r (2) = 4 J m ; Positionen i T = 2 s är r (2) = 6 Yo -16 J m

c) förflyttning Dr Det är subtraktionen av de två positionsvektorerna:

Δr = r (2) - r (2) = 6 Yo -16 J- 4 J = 6 Yo - tjugo J m

Motion löst 3

Jorden har en radie r = 6300 km och det är känt att rotationsperioden för dess rörelse runt dess axel är en dag. Hitta:

a) Ekvationen för banan på en punkt på jordens yta och dess positionsfunktion.

b) hastigheten och accelerationen av nämnda punkt.

Lösning till)

a) Positionsfunktionen för alla punktar i cirkulär bana är:

r (t) = r.cos ωt Yo + R.syndt J

Du har jordens radie r, men inte vinkelhastigheten ω, men den kan beräknas från perioden, med vetskap om att det är giltigt att säga att för cirkulär rörelsen är giltig att säga det:

Ω = 2π × Frekvens = 2π / period

Rörelseperioden är: 1 dag = 24 timmar = 1440 minuter = 86400 sekunder, därför:

Ω =  2π / 86400 s = 0.000023148 ​​s^-1

Ersätter i positionsfunktionen:

r (t) = r.cos ωt Yo + R. syndt J = 6300 (cos 0.000023148T Yo + synd 0.000023148T J) Km

Vägen i en parametrisk form är:

x (t) = 6300. cos 0.000023148T

och (t) = 6300. synd 0.000023148T

Lösning B)

b) För cirkulär rörelse, storleken på den linjära hastigheten v av en punkt är relaterad till vinkelhastighet W genom:

v = ΩR = 0.000023148 ​​s^-16300 km = 0.1458 km/s = 145.8 m/s

Till och med att vara en ständig rörelse av 145.8 m/s, Det finns en acceleration som pekar på mitten av den cirkulära bana, ansvarig för att hålla poängen i rotation. Det är centripetal acceleration till_c, getts av:

till_c = v² / R = (145.8 m/s)² / 6300 × 10³ m = 0.00337 m/s².

Referenser

1. Giancoli, D. Fysik. (2006). Principer med applikationer. 6^th Prentice hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, l. 2007. Fysik: En titt på världen. 6^ta Förkortad upplaga. Cengage Learning. 23 - 27.
3. Resnick, r. (1999). Fysisk. Volym 1. Tredje upplagan på spanska. Mexiko. Kontinentala redaktionella företag s.TILL. av C.V. 21-22.
4. Rex, a. (2011). Fysikens grunder. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Universitetsfysik med modern fysik. 14^th. Ed. Volym 1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. 7^ma. Utgåva. Mexiko. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, R., Vule, c. (2011). Fysikens grunder. 9^na Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Fysik 10. Pearson Education. 133 - 149.