Balacket triangelegenskaper, egenskaper, formler, område

En liksidig triangel Det är en tresidig polygon, där alla är desamma; det vill säga de har samma mått. För den egenskapen fick det namnet på liksidig (lika sidor).

Trianglarna är polygoner som betraktas som de enklaste i geometri, eftersom tre sidor, tre vinklar och tre vertikaler bildas. När det gäller den liksidiga triangeln, för att ha lika sidor, innebär det att dess tre vinklar också kommer att vara.

Ett exempel på den liksidiga triangeln

[TOC]

Egenskaper för jämviktstrianglarna

- Lika sidor

De liksidiga trianglarna är platta och stängda siffror, bestående av tre linjer med linjer. Trianglarna klassificeras efter deras egenskaper, i förhållande till deras sidor och vinklar; Jämföret klassificerades med hjälp av måtten på sina sidor som en parameter, eftersom det är exakt samma, det vill säga de är kongruenta.

Den liksidiga triangeln är ett särskilt fall av Isosceles triangel eftersom två av dess sidor är kongruenta. Det är därför alla liksidiga trianglar också är liksiktiga, men inte alla liksiktiga trianglar kommer att vara liksidiga.

På detta sätt har de liksidiga trianglarna samma egenskaper hos en isosceles triangel.

De liksidiga trianglarna kan också klassificeras genom amplituden i deras inre vinklar som en liksidig akut triangel, som har alla tre sidor och tre inre vinklar med samma mått. Vinklarna kommer att vara akuta, det vill säga de kommer att vara mindre än 90^antingen.

- Komponenter

Trianglar i allmänhet har flera rader och punkter som komponerar det. De används för att beräkna området, sidor, vinklar, median, bisektor, mediatrix och höjd.

• Median: Det är en linje som lämnar från mittpunkten på ena sidan och når motsatt toppunkt. De tre medierna deltar vid en punkt som heter Baricentro eller Centroid.
• Bisektorn: Det är en semi -rätt som delar upp vertikelns vinkel i två vinklar med lika mått, så det är känt som symmetriaxel. Den liksidiga triangeln har tre symmetrixlar. I den liksidiga triangeln dras bisektorn från toppen av en vinkel till dess motsatta sida och skär den i dess mittpunkt. Du är en sak som kallas incenter.
• MediTrix: Det är ett segment vinkelrätt mot sidan av triangeln som har sitt ursprung i mitten av detta. Det finns tre mediatiker i en triangel och de instämmer vid en punkt som kallas Circumcentro.
• Höjden: Det är linjen som går från toppunkten till sidan som är motsatt och även denna linje är vinkelrätt mot den sidan. Alla trianglar har tre höjder som sammanfaller vid en punkt som kallas ortotenter.

I följande graf observerar vi en skalen triangel där några av de ovannämnda komponenterna är detaljerade

Vi kan tydligt se komponenterna, något som är svårare i den liksidiga triangeln, eftersom vissa sammanfaller. Vi förklarar dem nedan:

Bisektorn, medianen och mediatrixen är sammanfallande

Bisektorn delar sig bredvid en triangel i två delar. I liksidiga trianglar kommer den sidan att delas upp i två exakt samma delar, det vill säga triangeln kommer att delas upp i två kongruenta rektanglar trianglar.

Således sammanfaller bisektorn från alla vinkel på en liksidig triangel med medianen och mediatrixen på motsatt sida till den vinkeln.

Kan tjäna dig: proportionalitetsrelationer: koncept, exempel och övningar

Exempel:

Följande figur visar ABC -triangeln med en midd som delar en av dess sidor i två AD- och BD -segment.

När du drar en linje från punkt D till motsatt toppunkt erhålls per definition median CD.

När CD -segmentet delar upp ABC -triangeln i två lika stora CDB- och CDA -trianglar, betyder det att det kommer att vara fallet med kongruens: sida, vinkel, sida och därför kommer CD också att vara BCD -bisector.

När man ritar CD -segmentet är toppunktvinkeln uppdelad i två lika vinklar på 30^antingen, Vinkeln på toppunktet A fortsätter att mäta 60^antingen Och CD -linjen bildar en vinkel på 90^antingen När det gäller mittpunkten d.

CD -segmentet bildar vinklar som har samma mått för ADC- och BDC -trianglar, det vill säga de är kompletterande på ett sådant sätt att måttet på var och en kommer att vara:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^antingen

2 _* Med. (ADC) = 180^antingen

Med. (ADC) = 180^antingen ÷ 2

Med. (ADC) = 90^antingen.

Och så är CD -segmentet också mediatrixen på ab -sidan.

Bisektorn och höjden är sammanfallande

När bisektorn spårar från toppen av en vinkel till mittpunkten på motsatt sida, delar detta den liksidiga triangeln i två kongruenta trianglar.

På ett sådant sätt att en vinkel på 90 bildas^antingen (hetero). Detta indikerar att detta linjesegment är helt vinkelrätt mot den sidan, och per definition skulle den linjen vara höjden.

På detta sätt sammanfaller bisektorn i alla vinkel i en liksidig triangel med höjden relativt motsatt sida av den vinkeln.

Orocentro, Baricentro, Incentro och Colecentro Coinsides

Som höjd, median, bisector och MediaTrix representeras samtidigt av samma segment, i en liksidig triangel, kommer mötespunkterna för dessa segment -ortocentret, baricenter, incenter och omskärelse -kommer att hittas vid samma punkt:

Egenskaper

Den huvudsakliga egenskapen hos de liksidiga trianglarna är att de alltid kommer att vara icosceles trianglar, eftersom isoscelerna bildas av två kongruenta sidor och jämvikten med tre.

På detta sätt ärvde de liksidiga trianglarna alla egenskaperna hos Isosceles triangel:

Inre vinklar

Summan av inre vinklar är alltid lika med 180^antingen, Och eftersom alla dess vinklar är kongruenta, så kommer var och en av dessa att mäta 60^antingen.

Yttre vinklar

Summan av yttre vinklar kommer alltid att vara lika med 360^antingen, Därför kommer varje yttre vinkel att mäta 120^antingen. Det beror på att inre och yttre vinklar är kompletterande, det vill säga genom att lägga till dem kommer de alltid att vara lika med 180^antingen.

Sidans summa

Summan av måtten på två sidor måste alltid vara större än måttet på den tredje sidan, det vill säga A + B> C, där A, B och C är mätningarna på varje sida.

Kongruentsidor

De liksidiga trianglarna har sina tre sidor med samma mått eller längd; det vill säga de är kongruenta. Därför måste du i det föregående objektet = b = c.

Kongruent vinklar

De liksidiga trianglarna är också kända som likvärdiga trianglar, eftersom deras tre inre vinklar är kongruenta med varandra. Detta beror på att alla deras sidor också har samma mått.

Det kan tjäna dig: nominell variabel: koncept och exempel

Hur man beräknar omkretsen?

Omkretsen av en polygon beräknas med sidorna av sidorna. Liksom i detta fall har den liksidiga triangeln alla sina sidor med samma mått beräknas dess omkrets med följande formel:

P = 3 _* sida.

Hur man beräknar höjden?

Eftersom höjden är linjen vinkelrätt mot basen, delar upp den i två lika delar genom att sträcka sig till motsatt toppunkt. Således bildas två trianglar lika rektanglar.

Höjden (h) representerar motsatt kateto (a), hälften av AC -sidan till den angränsande kateto (b) och BC -sidan representerar hypotenusen (c).

Med hjälp av Pythagoras teorem kan värdet på höjden bestämmas:

till² + b² = c²

Var:

till² = höjd (h).

b² = sida B / 2.

c² = sida a.

Ersätta dessa värden i Pythagoras teorem och rensa den höjd du har:

h² + ( l / 2)² = l²

h² +  l²/ 4 = l²

h² = l²  -  l²/ 4

h² = (4_*l² -  l²) / 4

h² =  3_*l² /4

√h² = √ (3_*l² /4)

Om vinkeln som bildas av de kongruenta sidorna, höjden (representerad av ett ben) är känd, kan den beräknas genom att tillämpa de trigonometriska skälen.

Kategorierna kallas motsats eller angränsande beroende på vinkeln som tas som referens.

Till exempel kommer Cateto H till exempel att vara motsatt för vinkel C, men intill vinkel B:

Således kan höjden beräknas med:

Hur man beräknar sidorna?

Det finns fall där måtten på triangelsidorna inte är kända, men dess höjd och vinklar som bildas i vertikalerna.

För att bestämma området i dessa fall är det nödvändigt att tillämpa trigonometriska skäl.

Genom att känna till vinkeln på en av dess vertikaler identifieras kategorin och motsvarande trigonometriska orsaker används:

Således kommer Cateto AB att motsätta sig vinkel C, men intill vinkeln a. Beroende på sidan eller benet som motsvarar höjden rensas den andra sidan för att få värdet på detta, och veta att i en liksidig triangel kommer de tre sidorna alltid att ha samma mått.

Hur man beräknar området?

Trianglarna beräknas alltid med samma formel, vilket multiplicerar basen efter höjd och delning med två:

Area = (b _* H) ÷ 2

Att veta att höjden ges av formeln:

Övningar

- Första träning

Sidorna på en ABC -liksidig triangel mäter 20 cm vardera. Beräkna höjden och området för den polygonen.

Lösning

För att bestämma området för den liksidiga triangeln är det nödvändigt att beräkna höjden, med att veta att när du ritar den delar den triangeln i två lika rektanglar.

På så sätt kan du använda Pythagoras teorem för att hitta det:

till² + b² = c²

Var:

A = 20/2 = 10 cm.

B = höjd.

C = 20 cm.

Uppgifterna ersätts i teoremet:

10² + b² = 20²

100 cm + b² = 400 cm

b² = (400 - 100) cm

b² = 300 cm

B = √300 cm

B = 17,32 cm.

Det vill säga, höjden på triangeln är lika med 17.32 cm. Nu är det möjligt att beräkna det givna triangelområdet genom att ersätta formeln:

Area = (b _* H) ÷ 2

Area = (20 cm _* 17.32 cm) ÷ 2

Det kan tjäna dig: linjära transformationer: egenskaper, vad är användning, typer, exempel

Area = 346,40 cm² ÷ 2

Area = 173,20 cm².

Ett annat enklare sätt att lösa övningen är att ersätta uppgifterna i den direkta formeln i området, där värdet på höjden också implicit finns:

- Andra träning

I ett fält som har formen av en liksidig triangel kommer blommor att plantera. Om omkretsen av den terrängen motsvarar 450 m, beräkna antalet meter som ockuperade blommorna.

Lösning

Att veta att omkretsen av en triangel motsvarar summan av dess tre sidor och när terrängen är formade som en liksidig triangel, kommer de tre sidorna av detta att ha samma mått eller längd:

P = sida + sida + sida = 3 _* l

3 _* l = 450 m.

L = 450 m LL 3

L = 150 m.

Nu är det bara nödvändigt att beräkna höjden på den triangeln.

Höjden delar triangeln i två kongruenta rektanglar trianglar, där en av kategorierna representerar höjden och den andra hälften av basen. Av Pythagoras teorem kan höjden bestämmas:

till² + b² = c²

Var:

till = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = höjd

Uppgifterna ersätts i teoremet:

(75 m)² + b² = (150 m)²

5.625 m + b² = 22.500 m

b² = 22.500 m - 5.625 m

b² = 16.875 m

b = √16.875 m

b = 129,90 m.

Således kommer det område som blommor kommer att ockupera:

Area = b * h ÷ 2

Area = (150 m _* 129,9 m) ÷ 2

Area = (19.485 m²) ÷ 2

Area = 9.742,5 m²

- Tredje träning

ABC Equilateral Triangle är uppdelad med ett linjesegment som går från dess toppunkt till mittpunkten D, belägen på motsatt sida (AB). Detta segment mäter 62 meter. Beräkna området och omkretsen av den liksidiga triangeln.

Lösning

Genom att veta att den liksidiga triangeln är uppdelad med ett linjesegment som motsvarar höjden och därmed bildar två kongruenta rektanglar, delar detta i sin tur också vinkeln på toppunkten C i två vinklar med samma mått, 30^antingen varje.

Höjden bildar en vinkel på 90^antingen Med avseende på segmentet AB och toppens vinkel för att sedan mäta 60^antingen.

Sedan använda vinkeln 30 som referens^antingen, CD -höjd är etablerad som en kateto intill vinkeln och BC som hypotenusa.

Från dessa data kan värdet på en av triangelns sidor bestämmas med hjälp av de trigonometriska skälen:

Liksom i den liksidiga triangeln har alla sidor exakt samma mått eller längd, det betyder att varje sida av ABC -liksidig triangel är lika med 71,6 meter. Att veta det är det möjligt att bestämma ditt område:

Area = b * h ÷ 2

Area = (71,6 m _* 62 m) ÷ 2

Area = 4.438,6 m² ÷ 2

Area = 2.219.3 m²

Omkretsen ges av summan av dess tre sidor:

P = sida + sida + sida = 3 _* l

P = 3_*l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Referenser

1. Álvaro Rendón, till. R. (2004). Teknisk ritning: Aktivitetsnotbok.
2. Arthur Goodman, L. H. (nitton nittiosex). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
3. Baldor, a. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
4. Barbosa, J. L. (2006). Platt euklidisk geometri. Sbm. Rio de janeiro, .
5. Coxford, a. (1971). Geometri en omvandlingsmetod. USA: Laidlaw Brothers.
6. Euklid, r. P. (1886). Euclids geometrielement.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometri och trigonometri.
8. León Fernández, g. S. (2007). Integrerad geometri. Metropolitan Technological Institute.
9. Sullivan, J. (2006). Algebra och trigonometri. Pearson Education.