Poisson -koefficientkoefficient, formler, värden, exempel

han Poisson -koefficient Det är en dimensionslös mängd, kännetecken för varje material. Det är ett tecken på deformationen av ett material före tillämpningen av vissa ansträngningar.

När en materiell bit som genomgår spänning eller komprimering lider av en deformation, är kvoten mellan tvärgående deformation och longitudinell deformation just Poisson -koefficienten.

Figur 1. Poissons koefficient mäter förhållandet mellan longitudinell sträckning och tvärgående förträngning. (Förberedd av Ricardo Pérez)

Till exempel sträcker sig en gummicylinder som genomgår spänningar i dess ändar i längsgående riktning, men den är tvärs smal. Figur 1 visar en stapel vars ursprungliga dimensioner är: lång L och diameter D.

Stången utsätts för en t -spänning vid dess ändar, och som en följd av denna spänning lider en sträcka, så att den nya längden är l '> l. Men när du sträcker sig inträffar en minskning av dess diameter också till det nya värdet: D ' < D.

Kvoten mellan sträckning (positiv) och minskning (negativ) multiplicerad med (-1) är ett positivt antal mellan 0 och 0,5. Detta nummer är den så kallade Poisson ν -koefficienten (grekisk bokstav).

[TOC]

Poisson -koefficientformel

För att beräkna Poisson -koefficienten är det nödvändigt att bestämma den longitudinella och tvärgående enhetsdeformationen.

Longitudinell enhetsdeformation ε_L Det är sträckan uppdelad mellan den ursprungliga längden:

ε_L = (L ' - l) / l

På liknande sätt, tvärgående enhetlig deformation ε_T Det är den radiella förträngningen som är uppdelad mellan den ursprungliga diametern:

ε_T = (D ' - d) / d

Därför beräknas Poisson -koefficienten med följande formel:

ν = - ε_T / ε_L 

Förhållande till elasticitetsmodulen och styvhetsmodulen

Poisson ν -koefficient är relaterad till modulen OCH av elasticitet (eller ung modul) och med styvhetsmodulen G, av följande formel:

Kan tjäna dig: Geometrisk optik: Vilka studier, lagar, applikationer, övningar

ν = e /(2g) - 1

Poisson -koefficientvärde för material

figur 2. Rostfritt stål har Poisson -koefficient mellan 0,30 och 0,31. Källa: Pixabay.

Exempel på beräkning

Exempel 1

En stång med ett visst plastmaterial har en längd av 150 mm och cirkulär sektion på 20 mm i diameter. När en kompressionskraft på 612,25 kg-F utsätts för en kompressionskraft, observeras en förkortning på 14 mm och samtidigt en ökning med 0,85 mm i stångens diameter.

Beräkna:

a) Longitudinell enhetlig deformation.

b) transversal enhetlig deformation.

c) Poissons koefficient för det materialet.

d) Youngs elasticitetsmodul som motsvarar materialet.

e) styvhetsmodulen för den plasten.

Lösning till

Kom ihåg att longitudinell enhetsdeformation εL är sträckan dividerad med den ursprungliga längden:

εl = (l ' - l) / l

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0.0933

Observera att den longitudinella enhetsdeformationen är dimensionlös, och i detta fall har den gett negativt eftersom det var en minskning av dess longitudinella dimension.

Lösning B

På liknande sätt är enhetlig tvärgående deformation εt radiell minskning, dividerad med den ursprungliga diametern:

εt = (d ' - d) / d

εt = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Transversal enhetlig deformation har varit positiv eftersom det har ökat stångens diameter.

Lösning C

För beräkningen av Poisson -koefficient måste vi komma ihåg att det definieras som det negativa av kvoten mellan tvärgående deformation och longitudinell deformation:

ν = - εt / εl 

ν = - 0,0425 / (-0.0933) = 0,4554

Det bör komma ihåg att Poissons koefficient är ett positivt dimensionslöst antal och för de flesta material är det mellan 0 och 0,5.

Kan tjäna dig: Darcy Law

Lösning D

Youngs elasticitetsmodul, betecknad med bokstav E, är proportionalitetskonstanten i Hookes lag. Genom E är den normala ansträngningen σl relaterad till den enhetliga deformationen εL, enligt följande:

σl = e εl 

Normal ansträngning definieras som kvoten mellan den normala kraften (i detta fall parallellt med stångens axel) och tvärsnittet:

σl = f / a = f / (π / 4 * d^2)

I denna övning är Force F 612,25 kg-F, som kommer att göras till Newtons som är kraftenheten:

F = 612,25 kg-F = 612,25 * 9,8 n = 6000 n = 6 kN

För sin del är tvärsnitt A:

A = (π/4 * d^2) = (3,1416/4) * (20 * 10^-3 m)^2 = 3,1416 * 10^-4 m^2

Slutligen är den normala ansträngningen som tillämpas på baren:

σl = f / a = 6000 N / 3,1416 * 10^-4 m^2 = 19.098.593 PA = 19,098 MPa

För att beräkna Youngs elasticitetsmodul rensar vi och av Hookes lag σl = e εl:

E = σl / εl = 19.098.593 PA / 0,0933 = 204,7 MPa

Lösning E

R -styvhetsmodulen är relaterad till Youngs EG -modul och Poisson ν -koefficienten med denna formel:

E / (2 g) = 1 + ν 

Därifrån kan du rensa G:

G = e / (2 (1 + v)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Exempel 2

Du har en 4 mm och 1 m lång diameterkabel. Genom att veta att kopparens unga modul är 110000 MPa och att dess Poisson-koefficient är 0,34, uppskattar den sträckning och minskning i diameter som tråden lider när en vikt på 100 kg-F.

Lösning

För det första är det nödvändigt att beräkna den normala dragkraften som vikten utövar på tråden efter denna formel:

Kan tjäna dig: Vektorer i rymden: Hur man grafer, applikationer, övningar

σl = f / a = f / (π / 4 * d^2)

Kraften F är 980 N och tvärsnittet är:

A = (π/4 * d^2) = (3,1416/4) * (4 * 10^-3 m)^2 = 1.2566 * 10^-5 m^2

Då är dragkraften:

σl = 980 N / 1 2566 * 10^-5 M^2 = 77.986.000 PA

Beräkning av enhetlig ledningsdeformation

Youngs elasticitetsmodul, betecknad med bokstav E, är proportionalitetskonstanten i Hookes lag som relaterar den normala ansträngningen σl till den enhetliga deformationen εL:

σl = e εl 

Därifrån kan den longitudinella enhetsdeformationen av koppartråden rensas:

εl = σl / e = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10^-4

Beräkning av tvärgående enhetlig deformation

Å andra sidan, för att känna till den tvärgående enhetliga deformationen, tillämpas Poisson -koefficienten:

ν = - εt / εl 

Slutligen måste du tvärs enhetlig deformation är: 

εt = -ν εl = -0,34 * 7,09 * 10 ^-4 = -2,41 * 10 ^-4

Kabel Absolut stretchberäkning

Slutligen, för att känna till den absoluta sträckningen av kabeln, måste följande förhållande tillämpas:

ΔL = εl * l = 7,09 * 10^-4 * 1 m = 7,09 * 10^-4 m = 0,709 mm

Det vill säga med den vikten sträckte kabeln knappt 0,709 millimeter.

Beräkning av minskningen i diameter

För att få absolut krympning i diameter använder vi följande formel:

Δd = εt * d = -2,41 * 10 ^-4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^-4 mm = -0 000964 millimeter.

Denna minskning i diameter är så liten att det är svårt att uppskatta med blotta ögat, till och med dess mätning kräver ett högt precisionsinstrument.

Referenser

1. Öl F ... Materialmekanik. Femte. Utgåva. 2010. MC Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Materialmekanik. Åttonde upplagan. Prentice hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Materialmekanik. Åttonde upplagan. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fysik: Principer med applikationer. 6: e upplagan. Prentice hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Allmänna fysikanteckningar. Unk. 87-98.